（5）立体几何初步（A卷）——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）暑假作业

（5）立体几何初步（A卷）

——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）暑假作业

1.若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台的中截面的面积为(   ).

A.10 B.8 C.9 D.

2.如图，在正四棱台中，棱，的夹角为，，则棱，的夹角为(   )

A. B. C. D.

3.用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点O'是斜边B'C'的中点，且，则中BC边上的高为(   )

A.1 B.2 C. D.

4.在三棱柱中，平面ABC，，，则异面直线与所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

5.在正四棱锥中， 底面是边长为 2 的正方形， 侧面是腰长为的等腰三角形， 则正四棱锥的外接球的体积为(   )

A. B. C. D.

6.如图，已知正方体，分别是，的中点，则(   )

A.直线与直线垂直，直线平面
B.直线与直线平行，直线平面
C.直线与直线相交，直线平面
D.直线与直线异面，直线平面

7.如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，，给出下列结论.

①AB与是相交直线；

②平面；

③平面平面；

④平面，

其中正确的结论是(   )

A.①② B.③④ C.②③ D.②④

8.已知球O的半径，三棱锥内接于球O，平面ABC，且，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为(   )

A. B. C. D.

9.如图，在所有棱长均相等的直三棱柱中(侧棱与底面垂直的三棱柱)，E是的中点，则下列结论中错误的选项是(   )

A.平面

B.异面直线AE与所成角的正切值为

C.平面

D.三棱锥的体积是三棱柱体积的

10.（多选）如图，四边形ABCD为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则(   )

A. B. C. D.

11.（多选）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论正确的是(   )

A.

B.平面ABCD

C.的面积与的面积相等

D.三棱锥的体积为定值

12.（多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为，侧棱长近似为米，则下列结论正确的是(   ).

A.正四棱锥的底面边长近似为3米

B.正四棱锥的高近似为米

C.正四棱锥的侧面积近似为平方米

D.正四棱锥的体积近似为立方米

13.（多选）已知四棱雉的顶点都在球心为O的球面上，且平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，设E，F分别是PB，BC的中点，则(   ).

A.平面平面PCD

B.四棱锥的外接球的半径为

C.P，B，C三点到平面AEF的距离相等

D.平面AEF截球O所得的截面面积为

14.正方体中，M是AB的中点，则与CM所成角的余弦值为___________.

15.已知四棱锥的底面ABCD是边长为a的正方形，且平面ABCD，，点M为线段PC上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，CM的长为__________.

16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的序号是______________.

①平面EOF；②平面EOF；③；④；⑤平面平面AOF.

17.已知多面体ABCDEFG（如图所示），AB，AC，AD两两互相垂直，平面平面DEFG，平面平面ADGC，，则直线DC与平面BCF所成角的正弦值为________.
 

18.如图，已知四棱柱的底面为菱形，，，E为AC上一点，过和点E的平面分别交BC，CD于点M，N.

（1）求证：平面平面；

（2）若，，，求四棱锥的体积.

19.在如图所示的几何体中，底面是正方形，四边形是直角梯形，，且四边形底面分别为的中点，.

(I)求证:平面平面;

(Ⅱ)求多面体的体积.

20.如图，是棱长为4的正方体，E是的中点.

(I)证明:;

(Ⅱ)求三棱锥的体积.

答案以及解析

1.答案：C

解析：设圆台的上、下底面半径分别为、，圆台中截面的半径为，则，，解得，，所以，所以.

2.答案：D

解析：如图，分别延长，，，交于点P，连接AC.在正四棱台中，棱，的夹角为，，所以是边长为2的等边三角形，所以.又，所以，所以，所以棱，的夹角为，故选D.

3.答案：D

解析：直观图是等腰直角三角形，，，.根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，的BC边上的高.故选D.

4.答案：D

解析：平面ABC，，又，，又，，平面，该三棱柱可以补形成长方体，连接，，则，是与所成的角或其补角.令，则，在中，，，由余弦定理得.故选D.

5.答案：C

解析：如图， 连接AC，BD， 交于点M， 连接SM， 则 平面ABCD， 所以正四棱锥的外接球的球心O 在SM 上， 连接OA， 设球O 的半径为R. 因为 侧面是腰长为 的等腰三角形， 所以. 在中， ， 即， 解得， 所以正四棱锥的外接球的体积为， 故选 C.

6.答案：A

解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知平面，故，排除B，C项；连接，可知，所以平面ABCD，A项正确；因为AB不垂直于平面，，所以直线MN不垂直于平面，D项错误.

7.答案：D

解析：本题考查空间线面间的位置关系.对于①，在直三棱柱中，根据异面直线的定义知AB与是异面直线，所以①错误；对于②，的中点为D，且O是与的交点，所以O是的中点，连接OD，则因为平面，平面，所以平面，所以②正确；对于③，因为平面，所以平面AOD与平面相交，所以③错误；对于④，因为在直三棱柱中，，所以四边形是正方形，平面，因为，所以平面，所以④正确，故选D.

8.答案：D

解析：如图，取AB的中点D，连接DC，DP，由，得；因为平面ABC，平面ABC，所以；因为，所以平面PAB，故为PC与平面PAB所成角.设的外接圆圆心为，半径为r，连接，OA，，，则，即，解得.所以，所以.由题可知，则，

所以，故选D.

9.答案：B

解析：如图，连接，，，由题意可知是等边三角形，E是的中点，所以.在直三棱柱中，，，所以平面，故选项A正确；在三棱柱中，，异面直线AE与所成角即为与AE所成角.设直三棱柱的棱长为a，则，所以在中，，故选项B错误；在三棱柱中，，由线面平行的判定定理可知平面，故选项C正确：由棱锥和棱柱的体积公式可知选项D正确，故选B.

10.答案：CD

解析：由题意，可将几何体补全为如图所示的正方体，不妨设，则，，三棱锥的体积，三棱锥的体积，

显然是边长为的正三角形，所以.

易证平面，，所以平面ACE，且，

从而三棱锥的体积，进一步可得出选项C，D正确.

11.答案：ABD

解析：A项，为正方体平面，故A项正确；

B项，显然，即，所以平面ABCD，故B项正确；

C项，易证是边长为的正三角形，故点A到的距离，而点B到的距离，所以，，故C项错误；

D项，显然点A到平面BEF的距离，所以为定值，故D项正确.

12.答案：BD

解析：如图，在正四棱锥中，O为正方形ABCD的中心，则平面ABCD，则为侧棱与底面所成的角，且.

设底面边长为2a，则，.

在中，，所以米，则正四棱雉的底面边长为6米，高为米，的高为(米)，所以侧面积(平方米)，体积(立方米)，故选BD.

13.答案：BCD

解析：对于A，取线段PC的中点O，连接EO，OD，则，所以，，在梯形ADOE中，AE与OD不平行，若平面平面PCD，因为平面平面，平面平面，所以，这和AE与OD不平行相矛盾，故A错误；

对于B，由题意可将该四棱锥补形为一个长方体，易知球心O为长方体的对角线的中点，即PC的中点，故球O的直径，所以，故B正确；

对于C，E为PB的中点，则P，B两点到平面AEF的距离相等，同理F为BC的中点，则B，C两点到平面AEF的距离相等，故C正确；

对于D，设球心到平面AEF的距离为d，截面圆的半径为r，由题意可知，球心O到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，，，，因为，所以，点E到平面ABF的距离为，在三棱锥中，由等体积法可得，即，解得，所以，所以截面圆的面积为，故D正确.故选BCD.

14.答案：

解析：将正方体补成一个长方体，连接，

所以是异面直线与CM所成角(或其补角)，

设正方体的棱长为a.

在三角形中，，

那么.

15.答案：

解析：连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的表面积最小时，四棱锥外接球的半径最小.设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点.当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，

连接OC，在中，.当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，O与重合，.设CM的中点为N，连接，易知，则，

所以，解得，所以.

16.答案：②

解析：依题意，得，，，平面EOF，故①正确，②错误.由①知，平面EOF，又平面EOF，，故③正确.由①可得.又，，平面AOF.又平面AOF，，故④正确.由④及平面AOE，得平面平面AOF，故⑤正确.故答案为②.

17.答案：

解析：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体.由图可知平面BCF与平面CFG为同一平面，所以直线DC与平面BCF所成的角即直线DC与平面CFG所成的角，设其为.设点D到平面CFG的距离为h.因为，所以，解得.因为，所以.
 

18.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）证明：四边形ABCD为菱形，.

又，，.

又，平面.

平面ABCD，平面平面，.

，，平面，

平面平面.

（2），，，

.

在中，过点O作交于点F.

，，

.

由（1）知平面平面.

，平面.

又平面，

由等体积法得

.

19.答案：(I)见解析

(Ⅱ)

解析：(I)证明:分别为的中点，

.

又∵四边形是正方形，

，

.

平面平面，

平面平面.

又平面，

∴平面平面.

(Ⅱ)∵四边形是直角梯形，，

.

又∵四边形底面，平面平面平面，

平面，

是四棱锥的高，

.

∵四边形是正方形，

.

平面平面，

.

又平面.

平面，即是三棱锥的高，

，

∴多面体的体积.

20.答案：(I)见解析

(Ⅱ)

解析：(I)证明：连接.

∵四边形是正方形，

.

在正方体中，

平面，

又平面，

.

又平面，平面，

平面.

又平面，

.

(Ⅱ)设与交于点F，连接.

在正方体中，.

又分别是的中点，

，

∴四边形是平行四边形，

.

过平面平面，

平面.

又正方体的棱长为4，

.