（6）立体几何初步（B卷）——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）暑假作业

（6）立体几何初步（B卷）

——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）暑假作业

1.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为(   )

A. B. C. D.

2.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为(   )

A. B. C.1 D.

3.如图，在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱与底面垂直，且分别是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

4.在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则(   )

A.平面平面 B.平面平面

C.平面平面 D.平面平面

5.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是(   )

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

6.如图，在三棱锥中，，平面ABC，，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

7.如图，点分别是正方体的棱的中点，则(   )

A.平面

B.平面

C.直线与平面所成的角为45°

D.平面平面

8.如图，已知正三棱柱，，E，F分别是棱BC，上的点.记EF与所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则(   )

A. B. C. D.

9.如图，在母线长为3，底面圆的半径为1的圆柱中，垂直于底面，分别是圆柱上、下底面的圆心，是底面圆O的直径，C是弧的中点，则下列结论中错误的是(   )

A.平面平面

B.异面直线与所成角的余弦值为

C.和平面所成角的正弦值为

D.三棱锥的体积是

10.（多选）已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是(   )

A.若，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

11.（多选）已知正方体，则(   )

A.直线与所成的角为

B.直线与所成的角为

C.直线与平面所成的角为

D.直线与平面ABCD所成的角为

12.（多选）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是(   )

A.

B.平面平面PDF

C.二面角的余弦值为

D.点P在平面DEF内的射影是的外心

13.（多选）如图，在四棱锥中，底面，四边形ABCD是直角梯形，，，，F是AB的中点，E是PB上一点，则下列说法正确的是(   )

A.若，则平面

B.若，则四棱锥的体积是三棱锥体积的6倍

C.三棱锥中有且仅有3个面是直角三角形

D.平面平面ACE

14.如图所示，已知三棱柱的 所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为________.

15.如图，AB是半圆柱底面的直径，PA是半圆柱的高，C是上一点，且，D为PB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为________.

16.已知圆柱的底面圆O的半径为4，矩形为圆柱的轴截面，C为圆O上一点，，圆柱的表面积为，则三棱锥的体积与其外接球的体积之比为____________.

17.在正三棱锥中，为正三角形，于点M，，则正三棱锥的外接球的球心到平面PAC的距离为________.

18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，是正三角形，，E是PA的中点.

(1)证明：.

(2)求三棱锥的体积.

19.如图1，在梯形中，，点E在线段上， ，将沿翻折至的位置，连接，点F为中点，连接，如图2.

(I)在线段上是否存在一点Q，使平面平面?若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由;

(Ⅱ)当平面平面时，求三棱锥的体积.

20.在三棱锥中，点D在以AB为直径的半圆弧上，且平面平面ABC，，.

（1）证明：平面BCD；

（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求三棱锥的表面积.

答案以及解析

1.答案：C

解析：设圆锥的内切球的半径为r，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，

则圆锥的体积.故选C.

2.答案：C

解析：设等边三角形ABC的边长为a，因为其面积为，所以，解得.故的外接圆半径.设球O的半径为R，因为球O的表面积为，所以，得.所以O到平面ABC的距离.故选C.

3.答案：D

解析：如图，取的中点G，连接，则，且为异面直线与所成的角.又F是的中点，.又三棱柱的侧棱与底面垂直，平面.

在中，，故选D.

4.答案：A

解析：如图，对于选项A，在正方体中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，又，所以，又易知，，从而平面，又平面，所以平面平面，故选项A正确；对于选项B，因为平面平面，所以由选项A知，平面平面不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线与直线必相交，故平面与平面不平行，故选项C错误；对于选项D，连接，，易知平面平面，又平面与平面有公共点，所以平面与平面不平行，故选项D错误.故选A.

5.答案：B

解析：选项A，若，则或，故A错误；

选项B，由，得，又，所以，故B正确；

选项C，若，则当时，平面可能相交，故C错误；

选项D，由，不能得出，故不能得到，故D错误.故选B.

6.答案：B

解析：如图，取PC的中点为E，连接EO，则.平面ABC，平面ABC，.又，，平面PAC.又，平面PAC，为直线CO与平面PAC所成的角.设，则，，，.故选B.

7.答案：C

解析：如图，连接.结合已知条件及正方体的性质可知，.因为平面，所以与平面不平行，因此A不正确.连接.易得.又，所以为直线与所成的角.因为，所以，所以与不垂直，所以与平面，不垂直，因此B不正确.由平面，得为直线与平面所成的角.易得，所以直线与平面所成的角为45°，因此C正确.因为， 与平面相交，所以直线与平面相交，则平面与平面相交，因此D不正确.故选C.

8.答案：A

解析：由题意设.当点E，F分别与点B，重合时（如图1），连接，EF与所成的角为，即，所以.因为平面ABC，所以EF与平面ABC所成角为，即，所以.取BC的中点G，连接FG，AG，则由为正三角形知.又由平面ABC，知.又，所以平面，所以，所以二面角的平面角为，即，易知，所以，所以，此时有.

当点F与点重合且点E为BC中点时（如图2），连接AE，.易知EF与所成的角为，即；EF与平面ABC所成角为，即；二面角的平面角为，即.因为在中，，即，所以.综合上面E，F的两种特殊位置知，，故选A.

9.答案：D

解析：对于选项A，为圆O的直径，所以.又平面平面，所以.因为，所以平面.又平面，所以平面平面，故选项A正确;对于选项B，取弧的中点D(不与点C重合)，连接，易知四边形为平行四边形.所以，所以或其补角是异面直线与所成的角，易知平面.又平面，所以，所以为直角三角形.在中，，，所以，故选项B正确;对于选项C，连接，易知平面，则为和平面所成的角.在中，，.所以，故选项C正确;对于选项D，，故选项D错误，故选D.

10.答案：ABD

解析：A中，直线m和平面可能垂直，也可能平行或m在平面内，故A不正确；B中，直线m与n平行、异面或相交，故B不正确；C中，，则直线或，又，所以，故C正确；D中，缺少条件，故D不正确，故选ABD.

11.答案：ABD

解析：A项，如图，易证，显然，所以，故A项正确；

B项，因为，，所以平面，从而，故B项正确；

C项，如图，设，则，，所以平面，

从而即为直线与平面所成的角，易证为正三角形，O为的中点，所以，故C项错误；

D项，显然即为直线与平面ABCD所成的角，且，故D项正确.

12.答案：ABC

解析：A项，正方形ABCD中的、、折叠后形状没有发生变化，分别为、、，射影PD，PE，PF两两垂直，故平面PEF，所以，故A项正确；

B项，平面PDF，所以平面平面PDF，故B项正确；

项，如图，取EF中点G，连接PG，DG.设，因为E，F分别是AB，BC中点，所以，折叠后，而，所以，，故即为二面角的平面角，且由平面PEF知，折叠前，易求得，所以折叠后，故，所以，故C项正确；

D项，因为PD，PE，PF不全相等，所以点P在平面DEF内的射影不是的外心，故D项错误.

13.答案：AD

解析：因为，所以E是PB的中点.又因为F是AB的中点，所以，所以平面，A项正确；

因为，所以E是PB的中点，所以P点到平面ABCD的距离是点E到平面ABCD距离的2倍，因为，，所以，所以四棱锥的体积是三棱锥体积的3倍，B项错误；

因为底面ABCD，所以，，.又由题意，得，所以平面PCD，故，即三棱锥四个面均为直角三角形，C项错误；

连接CF，易证四边形AFCD为正方形，所以，，，故，即.又，所以平面BCP，即平面平面，D项正确.

14.答案：

解析：因为三棱柱的所有棱 长均为1，所以底面为正三角形，所以，

又因为底面，

所以三棱柱的体积为，

因为三棱锥、三棱锥与三棱柱等底等高，

所以，由此可得三棱锥的体积.

15.答案：

解析：设，如图，取PC的中点E，连接DE，AE，易得，所以异面直线AD与BC所成的角为.

又，所以平面PAC.

又 平面PAC，所以，所以.

又，

所以在中，.

16.答案：

解析：本题考查三棱锥及其外接球的体积、圆柱的表面积.如图所示，由题意知圆柱的表面积，故.在中，，所以，所以，所以，.由题意知平面，所以，结合，得平面，所以.取的中点，则由与为直角三角形知，为三棱锥外接球的球心，球的半径，所以外接球的体积，所以.

17.答案：

解析：依题意，为等腰三角形，且；而，

因此，故，

在中，.

取正三角形ABC的中心Q，则平面ABC，且正三棱锥的外接球球心O在直线PQ上.

由于，在中，根据勾股定理得.

设正三棱锥的外接球半径为R，则由得，解得.

在中，，故，所以，

设的外接圆半径为r，则根据正弦定理得，解得，

所以O到平面PAC的距离等于.

18.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)因为，

所以，

因为，

所以，

由余弦定理得，

所以，

所以，

因为，

所以平面PCD，则.

(2)由(1)知，平面平面ABCD，

且平面平面，

因为是正三角形，取CD中点O，

连接PO，

则平面ABCD，因为，所以，

因为E是PA的中点，所以E到平面ABCD的距离.

所以.

19.答案：(I)存在

(Ⅱ)

解析：(I)当Q是的中点时，平面平面，证明如下:

如图，连接.

依题意得，且，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以.

因为平面平面，所以平面.

因为分别为的中点，

所以.

因为平面平面，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

(Ⅱ)依题意由

得为边长为2的等边三角形.

取的中点M，连接，

因为，

所以由余弦定理得.

在中，因为，

所以.

因为平面平面，平面平面平面，所以平面.

因为F为的中点，

所以F到平面的距离，

所以.

20.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）证明：因为平面平面ABC，

平面平面，，

所以平面ABD.

又平面ABD，

所以.

又点D在以AB为直径的半圆弧上，

所以.

因为，BD，平面BCD，

所以平面BCD.

（2）过点D作AB的垂线DO交AB于点O.

因为平面平面ABC，平面平面，

所以平面ABC，

所以当点O为AB的中点时，三棱锥的体积取得最大值，

则.

因为平面ABD，平面ABD，

所以.

在中，.

由（1）知平面BCD，平面BCD，

所以.

，，

，

，

所以此时三棱锥的表面积为

.