2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题教师用书新人教A版选择性必修第二册

5.1　导数的概念及其意义

5.1.1　变化率问题

知识点1　平均变化率

对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：

(1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1．

(2)函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1)．

(3)平均变化率＝＝．

1．Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？

[提示]　Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率可正可负可为零．

知识点2　瞬时速度与瞬时变化率

(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝ ．

1．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________ s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s．

2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．当Δt→0时→1.8 t0．即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，由1.8t0＝3.6得t0＝2．]

知识点3　割线斜率与切线斜率

(1)割线与切线的关系

如图所示，当点Pn(xn，f(xn))沿着曲线无限接近点P(x0，f(x0))时，割线PPn无限趋近于一个确定的位置．这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线．

(1)　　　 　　　　　(2)

(3)　　　　 　　　　(4)

(2)割线与切线的斜率

①设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率．

②当点P逐渐靠近点P0，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率 就是y＝f(x)在x0处的切线的斜率，即k＝ ．

2．曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？

[提示]　不一定．

二次曲线与其切线有且只有一个公共点，其他曲线与其切线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．如图．

2．过曲线y＝f(x)＝x2图象上一点(2,4)及邻近一点(2＋Δx,4＋Δy)作割线，则当Δx＝时割线的斜率为________，在点(2,4)处的切线斜率为________．

　4　[Δx＝时，割线的斜率k1＝＝，在(2,4)处切线斜率k2＝ ＝ (4＋Δx)＝4．]

类型1　求平均变化率

【例1】　(1)如图，函数y＝f(x)在[1,5]上的平均变化率为(　　)

A． B．－

C．2 D．－2

(2)函数y＝－2x2＋1在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率为________．

(1)B　(2)－4－2Δx　[(1)＝＝＝－．故选B．

(2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，

所以平均变化率为＝＝－4－2Δx．]

1．求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；

第二步，求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；

第三步，求平均变化率＝．

2．求平均变化率的一个关注点

求点x0附近的平均变化率，可用的形式．

1．质点的运动规律为s＝t2＋3(t表示时间，s表示位移)，则在时间[3,3＋Δt]中，质点的平均速度等于(　　)

A．6＋Δt B．6＋Δt＋

C．3＋Δt D．9＋Δt

A　[Δs＝(3＋Δt)2＋3－(32＋3)＝6Δt＋(Δt)2，

∴平均速度＝＝6＋Δt．故选A．]

类型2　求瞬时速度

【例2】　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．

[解]　∵＝

＝＝3＋Δt，

∴ ＝ (3＋Δt)＝3．

∴物体在t＝1 s处的瞬时变化率为3，

即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s．

求运动物体瞬时速度的三个步骤

设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：

(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))．

(2)求平均速度：＝．

(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．

2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2．

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．

[解]　(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，

∵Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，

∴＝＝3－Δt， ＝ (3－Δt)＝3．

∴物体的初速度为3．

(2)取一时间段[2,2＋Δt]，

∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，

∴＝＝－1－Δt，

 ＝ (－1－Δt)＝－1．

∴此物体在t＝2时的瞬时速度为－1．

类型3　求函数在某点的切线斜率或方程

【例3】　(1)已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．

(2)求曲线f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的切线的斜率，并求出切线方程．

求切线斜率及方程可按下列顺序进行：求平均变化率→求瞬时变化率即斜率→求出切线方程．

(1)2　[∵Δy＝(1＋Δx)－－

＝Δx＋1－＝Δx＋，

∴＝＝1＋，

∴斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2．]

(2)[解]　显然点P(1,2)在曲线上，所以切线的斜率为

k＝

＝ ＝

＝ (Δx＋2)＝2．

故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．

求函数y＝f(x)在点x0处的切线斜率的三个步骤

3．求曲线y＝x2－2x＋2在点(2,2)处的切线方程．

[解]　∵Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，

∴＝2＋Δx，

k＝ (2＋Δx)＝2．

即曲线在点(2,2)处的切线斜率为2．

∴切线方程为y－2＝2(x－2)，

即2x－y－2＝0．

1．函数f(x)＝x在区间[0,1]上的平均变化率为(　　)

A．－1 B．1

C．2 D．－2

B　[＝＝1．故选B．]

2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　)

A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率

B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率

C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率

D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率

C　[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]

3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为   (　　)

A．6 B．18

C．54 D．81

B　[由题可得 ＝

 ＝ (18＋3Δt)＝18．故选B．]

4．设函数f(x)在x＝1处切线斜率为2，则 ＝________．

　[根据条件知k＝ ＝2，

∴ ＝ ＝．]

5．过曲线y＝f(x)＝图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________．

　1　[割线的斜率k＝＝＝＝2＝．

 ＝

＝ ＝ ＝1，故切线斜率为1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)你理解的平均速度和瞬时速度有什么区别和联系？

[提示]　区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．

联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数什么样的实质？

[提示]　函数y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．

(3)求函数y＝f(x)在x＝x0处的切线方程的步骤是什么？

[提示]　①求斜率：k＝ ；

②写方程：用点斜式y－f(x0)＝k(x－x0)写出切线方程；

③变形式：将点斜式变为一般式．