2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则教师用书新人教A版选择性必修第二册

5.2.1　基本初等函数的导数

5.2.2　导数的四则运算法则

知识点1　几个常用函数的导数

这6个函数都是幂函数f(x)＝xα，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了．

1．(1)已知f(x)＝，则f ′(x)＝________________；

(2)已知f(x)＝，则f[f ′(4)]＝____________________．

(1)0　(2)　[(1)∵为常数，

∴f ′(x)＝0．

(2)∵f(x)＝，∴f ′(x)＝．

∴f ′(4)＝＝，∴f[f ′(4)]＝f ＝＝．]

知识点2　基本初等函数的导数公式

函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax的求导有什么内在联系？

[提示]　f(x)＝ln x时f ′(x)＝，

而f(x)＝logax＝，

∴f ′(x)＝＝×(ln x)′＝．

由于根式函数可以转化为幂函数的形式，因此可以利用幂函数求导公式解决根式函数的求导问题．

2． (多选题)以下运算正确的是(　　)

A．＝ B．＝cos

C．(2x)′＝2xln 2 D．(lg x)′＝

CD　[对于A，因为＝－，所以A不正确；

对于B，因为＝＝0，所以B不正确；

对于C，因为(2x)′＝2xln 2，所以C正确；

对于D，因为(lg x)′＝，所以D正确．]

知识点3　导数的运算法则

(1)和差的导数

[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．

(2)积的导数

①[f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；

②[cf(x)]′＝cf ′(x)．

(3)商的导数

＝(g(x)≠0)．

3．(1)＝______；(2)(xex)′＝______．

(1)　(2)(1＋x)ex　[(1)＝＝．

(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex．]

类型1　利用导数公式求函数的导数

【例1】　求下列函数的导数．

(1)y＝cos ；

(2)y＝；

(3)y＝；

(4)y＝lg x；

(5)y＝5x；

(6)y＝cos．

[解]　(1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0．

(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6．

(3)∵y＝＝＝x，∴y′＝x．

(4)∵y＝lg x，∴y′＝．

(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5．

(6)y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x．

1．对基本初等函数的导数公式的理解：不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数．

2．上述公式可分为四类：①②属于幂函数；③④属于三角函数；⑤⑥属于指数函数，f(x)＝ex是f(x)＝ax的特例；⑦⑧属于对数函数，f(x)＝ln x是f(x)＝logax在a＝e时的特殊情况．对于简单函数的求导，关键是合理转化，将函数关系式转化成可以直接利用公式的基本函数，以免求导过程中出现指数或系数的运算错误．

1．求下列函数的导数：

(1)y＝x；

(2)y＝(x＞0)；

(3)y＝sin(π－x)．

[解]　(1)∵y＝x＝x，

∴y′＝＝x＝．

(2)∵y＝＝(x＞0)，∴y′＝()′＝．

(3)y＝sin(π－x)＝sin x，∴y′＝cos x．

类型2　利用运算法则求导数

【例2】　求下列函数的导数：

(1)y＝x4－3x2－5x＋6；

(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

(3)y＝．

[解]　(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5．

(2)法一　y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′

＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′

＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)

＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)

＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2

＝3x2＋12x＋11．

法二　因为(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，

所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11．

(3)y′＝

＝

＝＝．

仔细观察和分析函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形．另外，对较复杂的函数求导时，可先化简再求导，特别地，对于对数函数的真数是根式或分式时，可先根据对数函数的性质将真数转化为有理式或整式，然后求导．

2．求下列函数的导数：

(1)y＝x2－sincos；

(2)y＝xtan x．

[解]　(1)y＝x2－sincos＝x2－sin x，

∴y′＝2x－cos x．

(2)y′＝(xtan x)′＝

＝

＝

＝．

类型3　导数计算的综合应用

【例3】　(1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．

(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f ′(x)＝xcos x．

(1)尝试利用导数的几何意义．

(2)尝试运用求导的运算法则及待定系数法求解．

(1)y＝3x　[因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以结合导数的几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝3，所以切线方程为y＝3x．]

(2)[解]　由已知得f ′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′

＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′

＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′·cos x＋(cx＋d)(cos x)′

＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x

＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x．

又∵f ′(x)＝xcos x，

∴即

解得a＝d＝1，b＝c＝0．

含参数的函数的求导问题

(1)求导是对自变量的求导，要分清解析式中的自变量和参变量．

(2)函数f(x)中含有f ′(a)时，通常将导数f ′(x)中的x取a，求出f ′(a)的具体值，代入函数f(x)中，从而确定函数的解析式．

(3)函数式中含有参数的，一般利用待定系数法、导数的运算法则确定参数的值即可．

3．(1)已知函数f(x)＝，若f ′(1)＝，则实数a的值为(　　)

A．2 B．4

C．6 D．8

(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1,5)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．

(1)B　(2)f(x)＝2x3－9x2＋12x　[(1)∵f(x)＝∴f ′(x)＝＝．

∵f ′(1)＝，

∴＝，

解得a＝4．故选B．

(2)因为f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，

f(1)＝5，所以解得

故函数f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x．]

1．(多选题)下列运算中正确的是(　　)

A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′

B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′

C．＝

D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′·sin x

AD　[A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；C项中，＝，错误；D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，正确．故选AD．]

2．下列函数满足f ′(x)＝f(x)的是(　　)

A．f(x)＝ex B．f(x)＝cos x

C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ln x

A　[若f(x)＝ex，则f ′(x)＝ex＝f(x)，故A正确；若f(x)＝cos x，则f ′(x)＝－sin x≠f(x)，故B错误；若f(x)＝sin x，则f ′(x)＝cos x≠f(x)，故C错误；若f(x)＝ln x，则f ′(x)＝≠f(x)，故D错误．故选A．]

3．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为(　　)

A． B．

C．－ D．－

D　[因为y′＝3x2，所以切线的斜率k＝3×1＝3，而直线ax－by－2＝0的斜率k′＝，由题设k′k＝－1，即k′＝＝－，故选D．]

4．函数y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程为_________________．

2x－y＋1＝0　[当x＝0时，y＝sin 0＋e0＝1，即点(0,1)在函数y＝sin x＋ex的曲线上．y＝sin x＋ex的导数y′＝cos x＋ex，在点(0,1)处的切线斜率为k＝cos 0＋e0＝2，即在点(0,1)处的切线方程为2x－y＋1＝0．]

5．求下列函数的导数：

(1)y＝；

(2)y＝log2x2－log2x；

(3)y＝；

(4)y＝－2sin ．

[解]　(1)y′＝()′＝＝x＝x＝．

(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，

∴y′＝(log2x)′＝．

(3)法一　y′＝＝cos x＋·(cos x)′＝cos x－sin x＝－x－cos x－sin x＝－－sin x＝－－sin x＝－．

法二　y′＝＝

＝

＝－＝－．

(4)∵y＝－2sin

＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，

∴y′＝(sin x)′＝cos x．

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)如何理解常见的几个幂函数的求导？

[提示]　几个常见函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f(x)＝xα(α∈R)时，f ′(x)＝αxα－1．

(2)你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？

[提示]　①若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小．

②若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导．

(3)对于三角函数关系式，如何求导？

[提示]　对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．

(4)求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？

[提示]　①求解以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的步骤：

ⅰ．求出函数f(x)的导数f ′(x)；

ⅱ．求切线的斜率f ′(x0)；

ⅲ．写出切线方程y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)，并化简．

②若已知点(x1，y1)不在曲线上，则先设切点为(x0，y0)，再解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．