2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.3简单复合函数的导数教师用书新人教A版选择性必修第二册

5.2.3　简单复合函数的导数

知识点1　复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．

知识点2　复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(μ)和μ＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

下列对函数的求导正确的是(　　)

A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2

B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝

C．y＝cos，则y′＝sin

D．y＝22x－1，则y′＝22xln 2

D　[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin，∴C错误；D中，y′＝22x－1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2．故D正确．]

类型1　求简单复合函数的导数

【例1】　求下列函数的导数：

(1)y＝e2x＋1；

(2)y＝5log2(1－x)；

(3)y＝cos；

(4)y＝(sin x)4．

[解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1．

(2)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝．

(3)函数y＝cos可看作是由y＝cos u和u＝2x－复合而成的，

∴y′＝－sin u·＝－2sin．

(4)函数y＝(sin x)4可看作是由y＝u4和u＝sin x复合而成的，

∴y′＝4u3·(sin x)′＝4sin3xcos x．

1．解答此类问题常犯两个错误

(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；

(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．

2．复合函数求导的步骤

1．求下列函数的导数：

(1)y＝103x－2；

(2)y＝ln(ex＋x2)；

(3)y＝sin2；

(4)y＝sin3x＋sin x3．

[解]　(1)令u＝3x－2，则y＝10u．

所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′

＝3×103x－2ln 10．

(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u．

∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝．

(3)法一　∵y＝sin2＝，

∴y′＝＝sin．

法二　y′＝＝2sin

＝2sin·cos·＝sincos

＝sin．

(4)y′＝(sin3x＋sin x3)′

＝(sin3x)′＋(sin x3)′

＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2

＝3sin2xcos x＋3x2cos x3．

类型2　复合函数求导与导数的运算法则的综合应用

【例2】　求下列函数的导数：

(1)y＝cos4x－sin4x；(2)y＝；

(3)y＝x；(4)y＝x3cos x．

首先分清函数的结构构成及复合函数的复合关系，再合理按顺序求导．

[解]　(1)y＝cos4x－sin4x

＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos 2x，

∴y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x．

(2)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝．

∴y′＝

＝＝．

(3)y′＝(x)′＝x′＋x()′

＝＋＝．

(4)y＝x3cos x，

∴y′＝(x3)′cos x＋x3·(cos x)′

＝3x2cos x－x3sin x．

复杂函数的求导注意事项

(1)仔细观察和分析函数的结构特征，紧紧扣住求导运算法则，联系基本函数求导公式．不具备求导法则的可适当恒等变形；

(2)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成较简单的函数，再用复合函数的求导法则求导．

2．求下列函数的导数：

(1)y＝；

(2)y＝e－xsin 2x；

(3)y＝ln－1；

(4)y＝cos(－2x)＋32x＋1．

[解]　(1)∵y＝，

∴y′＝＝．

(2)y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x

＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．

(3)∵y＝ln－1＝ln(2x＋1)－1，

∴y′＝××(2x＋1)′＝．

(4)y′＝－2sin 2x＋(2x＋1)′32x＋1ln 3

＝－2sin 2x＋2·32x＋1ln 3．

类型3　导数运算法则的综合应用

【例3】　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)

A． B．2

C．3 D．0

(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，求a的值．

(1)曲线上离直线2x－y＋3＝0最近的点一定是与2x－y＋3＝0平行且与曲线y＝ln(2x－1)相切的直线的切点．

(2)尝试用导数的几何意义．

(1)A　[设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．

∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，

解得x0＝1，

∴y0＝ln(2－1)＝0，

即切点坐标为(1,0)．

∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，

即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是．]

(2)[解]　令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f(x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．

利用导数的几何意义解题时的注意点

(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．

(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．

(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．

(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．

3．已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f(x)的导函数，且a＝f ′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程．

[解]　由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，

得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，

则a＝f ′＝3－2sin＋2cos＝1．

由y＝x3得y′＝3x2．

∴k＝y′|x＝1＝3．又x＝1时y＝1．

∴所求切线方程为

y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．

1．设函数f(x)＝ln 2x＋，则f ′(1)＝(　　)

A． B．1

C．－ D．1－

B　[f ′(x)＝，则f ′(1)＝1．故选B．]

2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)

A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x

B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x

D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x

B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′

＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′

＝2xcos 2x－2x2sin 2x．]

3．设f(x)＝sin xcos x，则f(x)在点处的切线的斜率为(　　)

A． B．

C．－ D．－

A　[法一　f ′(x)＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos 2x，∴k＝f ′＝cos＝．

法二　f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，

∴f ′(x)＝(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝cos 2x，

∴k＝f ′＝．]

4．(多选题)下列结论中正确的是(　　)

A．若y＝cos ，则y′＝sin

B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2

C．若y＝ln 5x，则y′＝

D．若y＝e2x，则y′＝e2x

AB　[对于A，y′＝－sin·＝sin，A正确；

对于B，y′＝cos x2·(x2)′＝2x cos x2，B正确；

对于C，y′＝·(5x)′＝，C错误；

对于D，y′＝e2x·(2x)′＝2e2x，D错误．]

5．已知函数f(x)＝(2x－1)2＋5x，则f ′(x)＝________；曲线y＝f(x)在点(2,19)处的切线方程是______．

8x＋1　17x－y－15＝0　[f ′(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1．

又f ′(2)＝17，

故切线方程是y－19＝17(x－2)，

即17x－y－15＝0．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)求复合函数的导数，应该注意哪些问题？

[提示]　求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．

(2)利用复合函数求导法则求复合函数的导数的一般步骤是什么？

[提示]　“分解—求导—还原”．

即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数的形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量还原成自变量．注意不要漏掉第③步．