2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性教师用书新人教A版选择性必修第二册

5.3　导数在研究函数中的应用5.3.1　函数的单调性1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养．2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升数学运算及逻辑推理的核心素养． 如图为某市一天内的气温变化图：(1)观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．(2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？问题：观察图形，你能得到什么信息？知识点1　函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f ′(x)的正负f(x)的单调性f ′(x)＞0单调递增f ′(x)＜0单调递减“在某区间内f ′(x)>0(f ′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f ′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性．例如函数f(x)＝x3，在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但因为f ′(x)＝3x2，所以f ′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f ′(x)>0．如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？[提示]　f(x)是常数函数．1．若定义域为R的函数f(x)的导数f ′(x)＝2x(x－1)，则f(x)在区间________上单调递增，在区间________上单调递减．(1，＋∞)　(－∞，1)　[f ′(x)＞0得x＞1，f ′(x)＜0时x＜1．∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．]知识点2　判断函数y＝f(x)的单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f ′(x)的零点；第3步，用f ′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．(0，＋∞)　[∵f(x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1．由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0．∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]知识点3　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．               (　　)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．  (　　)(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．                            (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√[提示]　(1)√　函数f(x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确．(2)×　切线的“陡峭”程度与|f ′(x)|的大小有关，故错误．(3)√　函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．(4)√　若f ′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f ′(x)＝0不影响函数单调性． 类型1　导函数与原函数的关联图象【例1】　(1)已知函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是(　　)A　　　　B　　　　　C　　　　D(2)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)A　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　D(1)A　(2)C　[(1)x＜－2时，f ′(x)＜0，则f(x)单调递减；－2＜x＜0时，f ′(x)＞0，则f(x)单调递增；x>0时，f ′(x)<0，则f(x)单调递减．则符合上述条件的只有选项A．故选A．(2)由f(x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f(x)单调递减，f ′(x)＜0，当x∈(1,4)时，f(x)单调递增，f ′(x)＞0，当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f ′(x)＜0，由选项各图知：选项C符合题意，故选C．]研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点(1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势．(2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)可能为(　　)A　　　　　B　　　　　C　　　　　DD　[观察函数f(x)的图象得：f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上先递增，再递减，后又递增，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f ′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)的值先大于0，接着变为f ′(x)的值小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f ′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符．] 类型2　利用导数求函数的单调区间【例2】　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2e－x．先求定义域，再对原函数求导，结合导数f ′(x)的正负确定函数的单调区间．[解]　(1)f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝6x－＝＝，由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞．由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜．∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为．(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)．∵f ′(x)＝(x2)′·e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域，得下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f ′(x)－0＋0－f(x)↘f(0)＝0↗f(2)＝↘∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．1．利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求导数f ′(x)．(3)在定义域内，解不等式f ′(x)>0得到函数的单调递增区间，解不等式f ′(x)<0得到函数的单调递减区间．2．在利用导数求函数单调区间时，首先必须求出函数的定义域，然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间，单调区间是定义域的子集．3．当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时，这些区间之间不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，而只能用“，”或“和”连接．2．已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x，求f(x)的单调区间．[解]　f(x)＝(x－2)ex－x2＋x，x∈R，∴f ′(x)＝ex＋(x－2)ex－x＋1＝(x－1)(ex－1)．令f ′(x)＞0，解得x＞1或x＜0．令f ′(x)＜0，解得0＜x＜1．∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)． 类型3　含有参数的函数单调性的讨论【例3】　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．[解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ax＋1－＝．(1)当a＝0时，f ′(x)＝，由f ′(x)＞0，得x＞1，由f ′(x)＜0，得0＜x＜1．∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．(2)当a>0时，f ′(x)＝，∵a＞0，∴＞0．由f ′(x)＞0，得x＞1，由f ′(x)＜0，得0<x<1．∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≥0时，f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f ′(x)；(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；(4)在不同的参数范围内，解不等式f ′(x)＞0和f ′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间．3．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．[解]　f ′(x)＝x2＋2x＋a，方程x2＋2x＋a＝0的根的判别式Δ＝4－4a＝4(1－a)，若Δ≤0，则a≥1，f ′(x)＝x2＋2x＋a≥0，所以f(x)在R上单调递增．若Δ＞0，则a＜1，方程x2＋2x＋a＝0有两个不同的实数根x1＝－1－，x2＝－1＋．当x＜x1或x＞x2时，f ′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f ′(x)＜0．综上可知，当a≥1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)，单调递减区间为(－1－，－1＋)． 类型4　已知函数单调性求参数的取值范围【例4】　已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0．又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数．所以a≤0．[母题探究]1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．[解]　由f ′(x)＝3x2－a，①当a≤0时，f ′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，当－＜x＜时，f ′(x)＜0．∴f(x)在上为减函数，∴f(x)的单调递减区间为，∴＝1，即a＝3．2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的取值范围．[解]　由题意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴即∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．[解]　∵f(x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，由f ′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜＜1，即0＜a＜3．故a的取值范围为(0,3)．1．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．2．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f ′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0．4．若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调的，则a的最大值是________．3　[由题意可得：y′＝－3x2＋a，若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调的，则导函数在区间[1，＋∞)上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故－3x2＋a≤0，即a≤3x2在区间[1，＋∞)上恒成立，据此可得：a≤3，即a的最大值是3．]1．设f(x)＝x－sin x，则f(x)是(　　)A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数   D．是没有零点的奇函数B　[因为f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．又f ′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)单调递增．故f(x)既是奇函数又是增函数．故选B．]2．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)A．(－∞，40) B．(－∞，40]C．(40，＋∞) D．[40，＋∞)B　[∵f(x)＝4x2－kx－8，∴f ′(x)＝8x－k．∵f(x)在[5，＋∞)上单调递增，∴f ′(x)＝8x－k≥0在[5，＋∞)上恒成立．即k≤8x，x∈[5，＋∞)恒成立．而8x≥8×5＝40．∴k≤40．故选B．]3．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln(2x)，则f(x)的单调递增区间为________．和(2，＋∞)　[由题意知函数的定义域为{x|x＞0}，f ′(x)＝2x－5＋＝．令f ′(x)＝0，可得x1＝，x2＝2．当x∈时，f ′(x)＞0，函数f(x)在上单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增．∴f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)．]4．已知函数y＝x3－x2＋ax－5在(－∞，＋∞)上总是单调函数，则a的取值范围是________．[1，＋∞)　[依题意y′＝x2－2x＋a，这是一个开口向上的二次函数，由于原函数总是单调函数，故导函数的判别式Δ＝(－2)2－4a≤0，解得a≥1．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)利用导数求函数单调性的思路是怎样的？[提示]　利用导数求函数的单调性一般通过解不等式的方法完成，其步骤为：①确定函数f(x)的定义域；②求导函数f ′(x)；③解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，并写出解集；④根据③的结果确定函数f ′(x)的单调区间．(2)利用导数研究含参数函数的单调性，一般有哪几种情况？如何解决这几种情况？[提示]　利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：①区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．②区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．③最高次项系数不确定型此类问题一般要就最高次项的系数a，分a＞0，a＝0，a＜0进行讨论．(3)总结由函数的单调性求参数的取值范围的方法有哪几种？[提示]　①可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，根据已知条件，求出参数的取值范围，但最后要注意检验．②可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在区间(a，b)上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．③若已知f(x)在区间I上的单调性，且区间I含有参数时，可先求出f ′(x)的正负区间，令I是f(x)的单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．高中数学“导数的由来”导数是高中数学的重要内容，也是高考考查的重点，它给我们解决复杂函数问题带来了很多的方便．导数是微积分中的重要基础概念．当函数y＝f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f ′(x0)．导数是函数的局部性质．一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率．如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率．导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近．例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度．不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数．若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导．然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导．对于可导的函数f(x)，f ′(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数．寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导．实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则．反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分．微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的．求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念．大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》．在作切线时，他构造了差分f(A＋E)－f(A)，发现的因子E就是我们所说的导数f ′(A)．