2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值教师用书新人教A版选择性必修第二册

第2课时　函数的最大(小)值

1．理解函数的最值的概念．(难点)
2．了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)
3．会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)
1．通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养．
2．借助函数最值的求解问题，提升数学运算核心素养．


费马(1601—1665)是一位17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称费马为“业余数学家之王”，是由于他具有律师的全职工作．17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就，是17世纪数学家中最多产的明星．
他将无穷小的思想运用到求积问题上，已具今日微积分的雏形，这也是费马的卓越成就之一．他在牛顿出生前的13年，提出了有关微积分的主体概念．
大约在1637年，他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》．让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧．
知识点1　函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
函数的极值与最值的区别是什么？
[提示]　函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得． (　　)
(2)开区间上的单调连续函数无最值． (　　)
(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值． (　　)
(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
[提示]　(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．
(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．
(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．
(4)正确．
知识点2　求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2．函数y＝3x－4x3在区间[0,2]上的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．0 D．－1
A　[设f(x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)．
∵x∈[0,2]，∴当x＝时，f ′(x)＝0．
又∵f(0)＝0，f ＝1，f(2)＝－26，
∴函数y＝3x－4x3在区间[0,2]上的最大值是1．]

类型1　求不含参数的函数的最值
【例1】　求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈．
[解]　(1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1．
当x变化时，f ′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,2)
2
f ′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
－1
↗
11
↘
－1
↗
11
从表中可以看出，当x＝－2或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1．
当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11．
(2)f ′(x)＝2cos 2x－1，令f ′(x)＝0，得cos 2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±．∴x＝±．
∴函数f(x)在上的两个极值分别为
f ＝－，f ＝－＋．
又f ＝－，f ＝．
比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－．

求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的方法
(1)求函数f(x)的导函数f ′(x)；
(2)解方程f ′(x)＝0，求出使得f ′(x)＝0的所有点；
(3)计算函数f(x)在区间[a，b]内使得f ′(x)＝0的所有点以及端点的函数值；
(4)比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值．


1．求函数f(x)＝x3－12x＋6，x∈[－3,3]的单调区间，并求函数f(x)的最值．
[解]　依题意得f ′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，列表如下：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,2)
2
(2,3)
3
f ′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
15
↗
22
↘
－10
↗
－3
所以函数f(x)在(－3，－2)和(2,3)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，且函数f(x)的最大值是22，最小值是－10．
类型2　求含参数的函数的最值
【例2】　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
[解]　由题意，得f ′(x)＝3x2－2ax．
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝．
①当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a．
②当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0．
③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝

含参函数最值问题的解法
对于含参函数的最值问题，要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．


2．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
[解]　f ′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f ′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0．
若a＞0，则令f ′(x)＝0，解得x＝±．
∵x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
(1)若0＜＜1，即0＜a＜1时，如下表所示：
x
0
(0，)

(，1)
1
f ′(x)

＋
0
－

f(x)
0
单调递增
2a
单调递减
3a－1
则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a．
(2)若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f ′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1．
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1．
类型3　用导数证明不等式
【例3】　当x＞0时，证明：不等式ln(x＋1)＞x－x2．

利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2．因此要证明原不等式，即证f(x)＞0在x＞0时恒成立．

[证明]　设f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2，则
f ′(x)＝－1＋x＝．
当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)＞0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，
∴当x＞0时，不等式ln(x＋1)＞x－x2成立．

证明不等式f(x)＞g(x)，x∈(a，b)的方法
(1)将要证明的不等式f(x)＞g(x)移项可以转化为证明f(x)－g(x)＞0；
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性；
(3)若[f(x)－g(x)]′＞0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上单调递增．只需保证F(a)＞0；
(4)若[f(x)－g(x)]′＜0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上单调递减．只需保证F(b)＞0．


3．证明：当x＞0时，ln x≤x－1．
[证明]　设f(x)＝ln x－(x－1)，可得f ′(x)＝－1＝．
当x＞1时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当0＜x＜1时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
可得x＝1时，f(x)取得极大值，且为最大值．
即f(x)max＝0．所以f(x)≤0，即ln x≤x－1．
类型4　已知函数最值求参数
【例4】　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a，b的值．

先求导，求出f ′(x)＝0的解，通过列表讨论，列出方程组，求出a，b的值．

[解]　求导得f ′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
∵a>0，
∴x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f ′(x)

＋
0
－

f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3．
又∵f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋30)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1．
令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
极大值1－m
↘
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m．
h(t)