2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用章末综合提升教师用书新人教A版选择性必修第二册

第5章 一元函数的导数及其应用

类型1　导数的几何意义

1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．

2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．

【例1】　已知函数f(x)＝x3＋x－16．

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

[解]　(1)∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13．

∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，

即y＝13x－32．

(2)设切点为(x0，y0)，

则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，

∴直线l的方程为

y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16．

又∵直线l过点(0,0)，

∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16．

整理得，x＝－8，

∴x0＝－2．

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26．

又∵k＝3×(－2)2＋1＝13，

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，

∴切线的斜率k＝4．

设切点坐标为(x0，y0)，

则f ′(x0)＝3x＋1＝4，

∴x0＝±1．

∴或

即切点为(1，－14)或(－1，－18)．

切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18．

即y＝4x－18或y＝4x－14．

类型2　函数的单调性与导数

利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f ′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解．

求解参数范围的步骤为：

(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f ′(x)；

(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；

(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f ′(x)＝0．若f ′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．

【例2】　若函数f(x)＝x3－x2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，试求实数a的取值范围．

[解]　f ′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f ′(x)≤0在区间(1,4)上恒成立，且f ′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．

由f ′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0．

因为x∈(1,4)，所以x－1∈(0,3)，所以a≥＝x＋1．

因为x＋1∈(2,5)，而a≥x＋1恒成立，所以a≥5．

由f ′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0．

因为x∈(6，＋∞)，所以x－1＞5，所以a≤＝x＋1．

因为x＋1∈(7，＋∞)，而a≤x＋1恒成立，

所以a≤7．

经检验，a＝5和a＝7都符合题意，

所以实数a的取值范围是[5,7]．

类型3　函数的极值与导数

1．已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤

(1)求函数的导数f ′(x)；

(2)由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数．

2．对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．

【例3】　(1)函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a在x＝2处取得极值8，则a＝(　　)

A．－4或6 B．－4

C．6 D．4或－6

(2)设a∈R，若函数y＝x＋aln x在区间有极值点，则a取值范围为(　　)

A． B．

C．∪(e，＋∞) D．(－∞，－e)∪

(1)B　(2)B　[(1)对函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a，求导得，f ′(x)＝3x2－2ax－b．

又∵在x＝2处有极值为8，∴

解得或

①当时，f ′(x)＝3x2＋8x－28＝0，

解得x1＝2，x2＝－，

∴有两个不等的实数根，满足题意；

②当时，f ′(x)＝3x2－12x＋12＝0⇒3(x2－4x＋4)＝0⇒3(x－2)2＝0，

∴x有两个相等的实数根，在此处无极值，不满足题意．故a的值是－4，故选B．

(2)函数y＝f(x)＝x＋aln x在区间有极值点⇔y′＝0在区间有零点．f ′(x)＝1＋＝(x＞0)．

∴f ′·f ′(e)＜0，∴(e＋a)＜0，

解得－e＜a＜－．∴a的取值范围为．故选B．]

类型4　函数的最值与导数

求连续函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；

(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．

【例4】　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．

[解]　(1)因为f ′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3．

又因为函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2．

所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2．

(2)由(1)得f(x)＝x3－3x2＋2，

得f ′(x)＝3x2－6x．

由f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2．

①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f ′(x)＜0，f(x)在[0，t]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2．

②当2＜t＜3时，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：

f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．

f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，

所以f(x)max＝f(0)＝2．

类型5　导数在生活中的应用

解决优化问题的步骤

(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．

(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．

【例5】　如图，曲线AH是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所，已知空地ABCD和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形(单位：米)，AB＝144，AD＝150，CH＝30，若以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图平面直角坐标系，则曲线AH的方程为y＝a，记AM＝t，规划的两块用地的面积之和为S．

(1)求S关于t的函数S(t)；

(2)求S的最大值．

[解]　(1)根据所建平面直角坐标系，可得点H(144，120)，所以120＝a，解得a＝10，又AM＝t，所以P(t,10)，所以S关于t的函数关系式为S(t)＝t·(150－10)＋(144－t)·10＝150t－20t·＋1 440·(0＜t＜144)．

[解]　令m＝，则S＝150m2－20m3＋1 440m(0＜m＜12)，

所以S′＝300 m－60m2＋1 440＝－60(m＋3)(m－8)，S′＝0⇒m＝8(负值舍去)；S′＞0⇒0＜m＜8；S′＜0⇒8＜m＜12；

所以函数S在区间(0,8)上单调递增，在区间(8,12)上单调递减，

所以当m＝8即t＝64时，S取得最大值，为10 880平方米．

所以S的最大值为10 880平方米．