2023新教材高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列6.2.2排列数第1课时排列与排列数公式教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.2.1　排列

6.2.2　排列数

第1课时　排列与排列数公式

知识点1　排列

(1)排列的概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)相同排列的两个条件

①两个排列的元素完全相同．

②元素的排列顺序相同．

1．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？

[提示]　关键是在安排取出的元素时是有序还是无序．有序是排列，否则不是．

2．由实数组成的排列与数列一样吗？

[提示]　不一样．由实数组成的排列中元素不能重复，而数列中的各项可以重复．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． (　　)

(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．                            (　　)

(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．                            (　　)

(4)从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．               (　　)

(5)从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．               (　　)

[提示]　(1)×　因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同．

(2)√　因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．

(3)×　因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．

(4)√　因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同，结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．

(5)√　因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√

知识点2　排列数与排列数公式

3．排列与排列数有何区别？

[提示]　“一个排列”是指：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，是一个数，所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列．

2．(1)A＝________．(用数字表示)

(2)1×2×3×4×5×6×7×8＝________．(用排列数表示)

(1)120　(2)A　[(1)A＝5×4×3×2＝120．

(2)最大的数为8，共8个因式，所以可表示为A．]

类型1　排列的概念

【例1】　判断下列问题是否为排列问题．

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；

(2)选2个小组分别去植树和种菜；

(3)选2个小组去种菜；

(4)选10人组成一个学习小组；

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(6)某班40名学生在假期相互通信．

[思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．

[解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．

(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．

(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．

所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．

1．解决本题的关键有两点：一是“取出的元素不重复”，二是“与顺序有关”．

2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．

[跟进训练]

1．判断下列问题是不是排列问题．

(1)从2，3，5，7，9中任取两数作为对数的底数与真数，可得多少个不同的对数值？

(2)空间有10个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这10个点共可组成多少个不同的四面体？

(3)某班有10名三好学生，5名后进生，班委会决定选5名三好学生对5名后进生实行一帮一活动，共有多少种安排方式？

(4)若从10名三好学生中选出5名和5名后进生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？

[解]　(1)对数的底数与真数不同，所得的结果不同，是排列问题．

(2)四面体与四个顶点的顺序无关，不是排列问题．

(3)选出的5名三好学生与5名后进生进行一帮一活动与顺序有关，是排列问题．

(4)选出的5名三好学生与5名后进生组成一个学习小组与顺序无关，不是排列问题．

综上所述，(1)(3)属于排列问题．

类型2　写出简单问题的所有排列

【例2】　(对接教材P16T1)(1)从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数，则可组成不同的两位数有(　　)

A．9个 B．12个

C．15个 D．18个

(2)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来．

(1)B　[用树形图表示为：

由此可知共有12个．

(2)[解]　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理知，有4×3×2×1＝24(种)．

画出树形图．

由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA．

利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略

1适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．

2策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按“树形图”写出排列．

[跟进训练]

2．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有(　　)

A．9个 B．12个

C．15个 D．18个

B　[本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：

由此可知共有12个．]

3．A，B，C，D四个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？将它们列出来．

[解]　先确定起点，有4种方法，再确定终点，有3种方法．由分步乘法计数原理知，共需要4×3＝12种不同的机票．列举如下：

起点站　终点站　　飞机票

类型3　排列数公式的应用

角度1　排列数的计算与证明

【例3】　(1)计算；

(2)证明：A＝A·A(k≤m≤n，k，m，n∈N*)．

[解]　(1)原式

＝

＝

＝＝．

(2)证明：右边＝·＝＝A＝左边，

∴原等式成立．

角度2　与排列数相关的方程或不等式

【例4】　(1)解方程3A＝4A；

(2)解不等式：A>6A．

[解]　(1)由3A＝4A，得＝，

即＝，

化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13．

∵0<x≤8且0<x－1≤9，x∈N，∴原方程的解为x＝6．

(2)原不等式可化为>，

即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，

∴x<8或x>13．

又∵易得2<x≤9，x∈N，

∴2<x<8，x∈N．

故x＝3，4，5，6，7．

∴不等式的解集为{3，4，5，6，7}．

1．排列数的计算方法

(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．

(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．

2．解含排列数的方程或不等式的注意点

计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量．A中隐含了如下条件：m，n∈N*，m≤n，A的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围．

[跟进训练]

4．(1)计算；

(2)证明：A＝A＝(n＋1)·A．

[解]　(1)法一：＝＝＝．

法二：＝＝＝＝．

(2)证明：∵A＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1，

A＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2，

∴A＝A．

又∵(n＋1)·A＝(n＋1)·n!

＝(n＋1)·n×(n－1)×…×3×2×1

＝(n＋1)！＝A，

∴A＝A＝(n＋1)·A．

1．已知下列问题：

①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；

②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；

③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；

④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．

其中是排列问题的有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

B　[①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．]

2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　)

A．A B．A

C．n！－4! D．A

D　[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3(个)因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝A．]

3．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　)

A．6 B．4

C．8 D．10

B　[列树形图如下：

，共4种．]

4．A－6A＋5A＝________．

120　[原式＝A－A＋A＝A＝5×4×3×2×1＝120．]

5．A>2的解集为________．

{n|n>4且n∈N*}　[由A>2得⇒n>4且n∈N*，

所以A>2的解集为{n|n>4且n∈N*}．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．你能写出排列数公式吗？

[提示]　A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，

A＝(m，n∈N*，且m≤n)．

2．排列与排列数是一回事吗？

[提示]　不是一回事．一个排列是完成一件事的一种方法，排列数是指所有排列的个数．

3．怎样灵活选择两个排列数公式？

[提示]　A＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．

A＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．