2023新教材高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列6.2.2排列数第2课时排列的综合应用教师用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时　排列的综合应用

类型1　数字排列问题

【例1】　用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？

(1)六位奇数；

(2)个位数字不是5的六位数；

(3)不大于4 310的四位偶数．

[思路点拨]　明确奇数和偶数的特点，注意“0”这个特殊元素，利用直接法或间接法求解．

[解]　(1)第一步，排个位数，有A种排法；

第二步，排十万位，有A种排法；

第三步，排其他位，有A种排法．

故共有AAA＝288个六位奇数．

(2)法一(直接法)：

十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．

第一类，当个位排0时，有A个；

第二类，当个位不排0时，有AAA个．

故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个)．

法二(排除法)：

0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位且5在个位的情况．

故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．

(3)分三种情况，具体如下：

(ⅰ)当千位上排1，3时，有AAA个．

(ⅱ)当千位上排2时，有AA个．

(ⅲ)当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个；

形如41××的偶数有AA个；

形如43××的偶数只有4 310和4 302这两个数．

故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)．

数字排列问题的常用方法及注意事项

常用方法：主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．

注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．

[跟进训练]

1．用0，1，2，3，4五个数字，可组成多少个五位数？可组成多少个无重复数字的五位数？

[解]　(1)各个数位上数字允许重复，故采用分步乘法计数原理，4×5×5×5×5＝2 500(个)．

(2)考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列为A，故共有A·A＝96个；另外，也考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，A种填法，然后将其余4个数字在剩余四个位置上全排列为A种，故共有A·A＝96(个)．

类型2　排队、排节目问题

角度1　排队问题

【例2】　有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法总数．

(1)甲只能在中间或者两边位置；

(2)男生必须排在一起；

(3)男女各不相邻；

(4)甲乙两人中间必须有3人．

[解]　(1)根据题意，分2步进行分析：

①甲只能在中间或者两边位置，则甲有3个位置可选，

②将剩下的6人全排列，安排在剩下的6个位置，有A＝720种情况，

则有3×720＝2 160(种)不同的排法．

(2)根据题意，分2步进行分析：

①将3个男生看成一个整体，有A种情况，

②将男生整体与4名女生全排列，有A种情况，

则有A×A＝720(种)不同的排法．

(3)根据题意，分2步进行分析：

①将4个女生全排列，有A种情况，排好后，中间有3个空位可用，

②将3个男生全排列，安排在3个空位中，有A种情况，

则有A×A＝144(种)不同的排法．

(4)根据题意，分3步进行分析：

①将甲乙2人全排列，有A种情况，

②排好后，在剩下的5人中任选3人，安排在甲乙两人之间，有A种情况，

③将排好的5人看成一个整体，与剩下的2人全排列，有A种情况，

则有A×A×A＝720(种)不同的排法．

角度2　排节目问题

【例3】　某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：

(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；

(2)两个唱歌节目不相邻；

(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．

[解]　(1)先排歌曲节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有AA＝1 440(种)排法．

(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌曲节目，有A种插入方法，所以共有AA＝30 240(种)排法．

(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有AAA＝2 880(种)．

排队、排节目问题的解题策略

(1)合理归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题．特殊元素、特殊位置优先法；相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法等．

(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理．

(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果．

[跟进训练]

2．7名同学，站成一排：

(1)甲站在最中间的排法共有多少种？

(2)甲、乙两名同学相邻的排法共有多少种？

(3)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？

[解]　(1)先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排列，共有A＝720(种)排列方法．

(2)先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有A＝2(种)方法，再与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A＝720(种)方法，

∴这样的排法一共有A·A＝1 440(种)．

(3)先将其余四个同学排好有A＝24种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有A种方法，

∴一共有AA＝1 440(种)方法．

3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻．问：有多少种不同的排法？

[解]　先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为A种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A·A＝604 800(种)．

类型3　排列问题的综合应用

角度1　元素的“在”与“不在”问题

【例4】　3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．

2 880　[第一步，安排甲，在除中间，两端以外的4个位置上任选一个位置安排，有A种排法．

第二步，安排其余6名，有A种排法．

由分步乘法计数原理知，共有AA＝2 880(种)不同排法．]

角度2　固定顺序排列问题

【例5】　7人站成一排．

(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有________种不同排法；

(2)甲在乙的左边，有________种不同的排法．

(1)840　(2)2 520　[(1)法一：7人的所有排列方法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有＝840(种)．

法二：(插空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故共有A＝7×6×5×4＝840(种)不同排法．

(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有A＝2 520种．]

角度3　分类讨论思想

【例6】　用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数并由小到大排列，则第114个数是多少？

[解]　分以下几类：

1×××型的四位数有A＝60(个)；

3×××型的四位数有A＝60(个)；

39××型的四位数有A＝12(个)．

因此可得到千位数字是1与千位数字是3，百位数字小于9的数共有60＋60－12＝108(个)，所以第114个数必是39××型，按由小到大的顺序分别是3 916，3 917，3 918，3 961，3 967，3 968，…，故由小到大排列第114个数是3 968．

1．“在”与“不在”排列问题解题原则及方法

(1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．

(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．

提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会儿考虑元素，一会儿考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．

2．固定顺序的排列问题的求解方法

定序问题除法策略．n个不同元素的全排列有A种排法，m个特殊元素的全排列有A种排法．当这m个元素顺序确定时，共有种排法．

[跟进训练]

4．(1)有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有________种不同的安排方法．

(2)4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有________种不同的站法．

(1)300　(2)504　[(1)法一(分类法)：分两类．

第1类，化学被选上，有AA种不同的安排方法；

第2类，化学不被选上，有A种不同的安排方法．

故共有AA＋A＝300种不同的安排方法．

法二(分步法)：第1步，第四节有A种排法；第2步，其余三节有A种排法，故共有AA＝300种不同的安排方法．

法三(间接法)：从6门课程中选4门安排在上午，有A种排法，而化学排第四节，有A种排法，故共有A－A＝300(种)不同的安排方法．

(2)4名男生和2名女生站成一排共有A＝720(种)站法，其中男生甲站最左端有A＝120(种)站法，女生乙站最右端有A＝120(种)站法，男生甲站最左端且女生乙站最右端有A＝24(种)站法，故满足条件的共有720－120－120＋24＝504(种)站法．]

1．6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为(　　)

A．18 B．72

C．36 D．144

D　[6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为A·A＝144．]

2．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)

A．36 B．30

C．40 D．60

A　[奇数的个位数字为1，3或5，所以个位数字的排法有A种，十位数字和百位数字的排法种数有A种，故奇数有A·A＝3×4×3＝36(个)．]

3．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．

48　[从2，4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A＝48(个)．]

4．将5辆列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有________种．

78　[当b列车停在第一轨道上时，有A种不同的停放方法；当b列车不停在第一轨道上时，第一轨道上有A种列车可以停放，第二轨道上也有A种列车可以停放，其他轨道上有A种不同的停放方法，故共有A＋AAA＝78(种)不同的停放方法．]

5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．

186　[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果，A－A＝186(种)．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．含有“特殊元素”的排列的解题策略是什么？

[提示]　采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求．

2．对于元素有特殊位置的排列解题思想是什么？

[提示]　以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．

3．对于“元素相邻”和“元素不相邻”的排列的解决方法是什么？

[提示]　元素相邻问题采用“捆绑”法，不相邻问题采用“插空”法．