2023新教材高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合与组合数公式教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.2.3　组合

6.2.4　组合数

第1课时　组合与组合数公式

知识点1　组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

1．怎样理解组合，它与排列有何区别？

[提示]　(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．

(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．

(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．

1．(多选题)下列选项是组合问题的是(　　)

A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法

B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法

C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法

D．3本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法

BD　[AC与顺序有关，是排列问题，BD与顺序无关，是组合问题．]

知识点2　组合数的概念

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．

2．如何理解组合与组合数这两个概念？

[提示]　同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3．

2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数为________．

3　[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同．

所以共有甲↔乙，甲↔丙，乙↔丙三种票价．]

知识点3　组合数公式及其性质

(1)公式：C＝＝．

(2)性质：C＝C，C＋C＝C．

(3)规定：C＝1．

3．(1)C＝________；(2)C＝________．

(1)15　(2)18　[(1)C＝＝15．(2)C＝C＝18．]

类型1　组合的概念

【例1】　(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：

①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？

②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？

③2022年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？

(2)(对接教材P22例5)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．

[解]　(1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．

②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．

③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．

(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即

所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．

判断一个问题是不是组合问题的方法技巧

(1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题．

(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来．

[跟进训练]

1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：

①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？

②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？

③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？

(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．

[解]　(1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．

②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．

③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．

(2)可按a→b→c→d顺序写出，即

所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd．

类型2　组合数公式的计算与应用

【例2】　(1)式子可表示为(　　)

A．A B．C

C．101C D．101C

(2)计算：C＋C．

(3)求证：C＝C．

(1)D　[分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，

故

＝101·＝101C．]

(2)[解]　由组合数定义知：

所以4≤n≤5，又因为n∈N*，所以n＝4或5．

当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5；

当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16．

(3)[证明]　∵右边＝C

＝·＝＝C，

左边＝C，∴左边＝右边，

∴原式成立．

关于组合数计算公式的选取技巧

(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．

(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．

(3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算．

[跟进训练]

2．(1)计算：C＋C；

(2)求等式＝中的n值．

[解]　(1)由组合数的意义可得

即∴≤n≤．

∵n∈N*，∴n＝10，∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466．

(2)原方程可变形为＋1＝，C＝C，

即

＝·，化简整理，得n2－3n－54＝0．解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．

类型3　组合数的两个性质

【例3】　C＋C＋C＋…＋C＝__________．(用数字作答)

220　[C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＝220．]

组合数公式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式C的主要作用有：

1计算m，n较大时的组合数．

2对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．

特别地，当m>时计算C，用性质C＝C转化，减少计算量．

[跟进训练]

3．(1)化简：C－C＋C＝________；

(2)已知C－C＝C，求n的值．

(1)0　[原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0．]

(2)[解]　根据题意，C－C＝C，变形可得C＝C＋C，

由组合数的性质，可得

C＝C，

故8＋7＝n＋1，解得n＝14．

1．若C＝C，则x的值为(　　)

A．4 B．3

C．3或4 D．7

C　[由组合数性质知x＝4或x＋4＝7，即x＝4或x＝3．]

2．计算：C＋C＝(　　)

A．8 B．10

C．12 D．16

B　[C＋C＝＋4＝6＋4＝10．]

3．C＝10，则n的值为________．

5　[由题意知＝10，解得n＝5或n＝－4(舍去)．]

4．计算C＋C＋C＝________．

120　[C＋C＋C＝C＋C＝C＝＝120．]

5．C＋C＝________．

31　[由题意及组合数公式知

解得n＝6．

所以原式＝C＋C＝C＋C＝12＋19＝31．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．写出本节课学习的公式．

[提示]　①C＝＝；②C＝1；③C＝C；④C＋C＝C．

2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？

[提示]　关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．

3．写组合时可采取什么方法？

[提示]　可采用“顺序后移法”或“树形图法”．