2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.5正态分布教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.5　正态分布1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．2．通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征．(重点)3．了解正态分布的均值、方差及其含义．(重点)4．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．(难点)1．通过学习正态分布，培养数学抽象和直观想象素养．2．借助“3σ”原则解题，提升数学运算素养．自然界与工程技术中的随机变量是最常见的．诸如，机械加工中零件的几何尺寸(直径、长度、宽度、高度)、强度、重量、使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点．它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，这种变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？知识点1　正态曲线1．连续型随机变量大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量．2．正态曲线的定义若f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线与x轴之间的面积为1．(3)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(4)曲线在x＝μ处达到峰值．(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．1．(多选题)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有(　　)A．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交B．曲线关于直线x＝μ对称C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状D．曲线与x轴之间的面积为1BCD　[A中正态密度曲线与x轴永远不相交，A错，其余均正确．]知识点2　正态分布1．正态分布的定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．2．正态分布的特征(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x轴平移，参数μ反映了正态分布的集中位置．(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度．(3)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．3．3σ原则假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)是一个只与k有关的定值．特别地，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．在正态分布随机变量X满足的公式中，μ与σ分别表示随机变量X什么值？[提示]　μ是反映随机变量X取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量X总体波动大小的特征，可以用样本的标准差估计．2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝(　　)A． B．C． D．D　[P(X<2)＝P(X>2)＝．] 类型1　正态分布的概念及正态曲线的性质【例1】　如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．[思路点拨]　给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．[解]　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20．由＝，得σ＝．于是正态密度函数的解析式是f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2．利用正态曲线的性质求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ．(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象求σ．[跟进训练]1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其正态密度函数为f(x)＝e，则下列说法不正确的是(　　)A．这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．这次考试的数学成绩的标准差为10B　[由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同；分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确．] 类型2　服从正态分布变量的概率问题【例2】　设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．[解]　因为ξ～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2，(1)P(－1<ξ≤3)＝P(1－2<ξ≤1＋2)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7．(2)因为P(3<ξ≤5)＝P(－3<ξ≤－1)，所以P(3<ξ≤5)＝[P(－3<ξ≤5)－P(－1<ξ≤3)]＝[P(1－4<ξ≤1＋4)－P(1－2<ξ≤1＋2)]＝[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9．(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝[1－P(－3<ξ≤5)]＝[1－P(1－4<ξ≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]≈(1－0.954 5)＝0.022 75．利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)．②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．[跟进训练]2．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体X在(－1，1)内取值的概率．[解]　由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)≈0.682 7．又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)≈0.341 35． 类型3　正态分布的实际应用【例3】　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．[解]　μ＝110，σ＝20，μ＋σ＝130，故分数在110～130之间的人数所占的百分比约是＝34.135%．μ－σ＝90，所以及格的人数所占的百分比约是＋50%＝84.135%，130分以上人数所占的百分比约是＝15.865%．所以及格的人数约为54×84.135%≈45(人)，130分以上的人数约为54×15.865%≈9(人)．1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是转化，同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．[跟进训练]3．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90，100)．(1)试求考试成绩X位于区间[70，110]内的概率是多少；(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在[80，100]内的考生大约有多少人．[解]　∵X～N(90，100)，∴μ＝90，σ＝10．(1)由于X在区间[μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率约为0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110．于是考试成绩X位于区间[70，110]内的概率约为0.954 5．(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100．由于变量X在区间[μ－σ，μ＋σ]内取值的概率约为0.682 7，因此考试成绩X位于区间[80，100]内的概率为0.682 7，一共有2 000名考生．所以考试成绩在[80，100]内的考生有2 000×0.682 7≈1 365人．1．如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3>0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3A　[由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3．]2．已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝0.012，则P(－1≤ξ≤1)＝(　　)A．0.976  B．0.024C．0.488 D．0.048C　[由题意知，对称轴为x＝1，则P(ξ<－1)＝P(ξ>3)＝0.012，故P(－1≤ξ≤1)＝＝0.488．]3．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　)A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等D　[对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D．]4．设X～N，则P(－1＜x＜1)≈________．0.954 5　[∵X～N，∴μ＝0，σ＝，∴P(－1＜X＜1)＝P(0－2σ＜X＜0＋2σ)≈0.954 5．]5．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(－1<ξ<4)＝0.85，则P(0<ξ<5)＝________．0.85　[∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，∵P(－1<ξ<0)＝P(4<ξ<5)，∴P(0<ξ<5)＝P(－1<ξ<4)＝0.85．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出三个常用的概率值吗？[提示]　P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7．P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．2．正态密度曲线有哪些特征？[提示]　(1)集中性：正态曲线的高峰位于正中央．(2)对称性：正态曲线关于x＝μ对称且不与x轴相交．(3)均匀变动性：正态曲线由峰值开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降．