2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布章末综合提升教师用书新人教A版选择性必修第三册

第7章 随机变量及其分布 章末综合提升 类型1　条件概率条件概率是概率的重要内容之一，是后续学习的基础．在高考中经常涉及，一般以选择和填空的形式考查，试题难度不大，属基础题．求条件概率的常用方法为：(1)定义法，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝．(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝．【例1】　坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．[解]　设“第一次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第一次和第二次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB．(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A＝42．根据分步乘法计数原理，n(A)＝A·A＝24，∴P(A)＝＝＝．(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝．法一：第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝÷＝．法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝24，所以P(B|A)＝＝＝． 类型2　离散型随机变量的期望与方差期望与方差是概率统计中的两个重要概念．常与实际问题相结合，综合考查学生的应用能力和数学建模素养．试题难度为中档，解决该类问题的方法和步骤为：【例2】　随着社会的发展，家用轿车已经走进千家万户．某品牌汽车4S店举办国庆大促销活动．规定在本店交两万元购车定金的客户都可以参加抽奖活动．抽奖活动规则：在一个不透明的盒子中现场放入大小完全相同的1个红球与4个白球共5个球，充分搅拌均匀，客户从中随机取出1个球，如果取出红球即为第1次摸球中奖，停止摸球；否则把球放回充分搅拌，然后再从中随机取出1个球，如果取出红球即为第2次摸球中奖，停止摸球；以此类推最多4次摸球，无论中不中奖都停止摸球．活动并且规定第1次摸球中奖获奖金2 000元，第2次摸球中奖获奖金1 000元，第3次摸球中奖获奖金500元，第4次摸球中奖获奖金300元，直到第4次摸球不中奖，获参与奖奖金100元．若某客户甲参加了此次交定金购车摸奖活动，问：(1)记事件A为“客户甲一共摸了4次球”，求事件A发生的概率；(2)若该客户参加此次抽奖活动获得的奖金为X元，求X的分布列及均值．[解]　(1)由题意可得每次摸得红球中奖事件的概率为，不中奖概率为，每次摸球中奖相互独立，∵A＝{客户甲一共摸了4次球}，说明前3次摸球都未摸得红球，∴P(A)＝××＝．(2)由题意知X的所有可能取值为：100，300，500，1 000，2 000；P(X＝100)＝＝，P(X＝300)＝×＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1 000)＝×＝，P(X＝2 000)＝．∴X的分布列为X1003005001 0002 000PE(X)＝100×＋300×＋500×＋1 000×＋2 000×＝＝695.68． 类型3　n重伯努利试验与二项分布n重伯努利试验和二项分布是概率中的重要模型，是学习方差、均值的基础．是高考中常考内容，以选择、填空的形式出现．有时在解答题中有所涉及，题目难度不大，属低档题，二项分布的实际应用是常考题型，解题思路为(1)根据题意设出随机变量．(2)分析出随机变量服从二项分布．(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)．(4)写出二项分布的分布列．【例3】　甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．[解]　(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C×＝，P(ξ＝1)＝C××＝，P(ξ＝2)＝C××＝，P(ξ＝3)＝C×＝，故ξ的分布列为ξ0123P(2)甲队得2分，乙队得1分，两事件相互独立，由(1)得，甲队得2分的概率P(ξ＝2)＝，乙队得1分的概率P＝××＋××＋××＝．根据独立事件概率公式得，“甲队得2分，乙队得1分”的概率P(C)＝×＝． 类型4　正态分布的应用正态分布是概率统计的重要内容，也是高考的重要内容．既可以以选择题、填空题的形式单独考查，难度较小，又可以与离散型随机变量的均值、方差及实际应用问题综合考查，难度中等偏上．求正态分布的概率主要有两种方法：(1)注意“3σ原则”的应用．记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．【例4】　某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500，502)，请你判断考生成绩X在550～600分的人数．[解]　∵考生成绩X～N(500，502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550≤X≤600)＝[P(500－2×50≤X≤500＋2×50)－P(500－50≤X≤500＋50)]≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人)．