高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念学案设计，共6页。

最新课标
(1)通过方程的解，认识复数．
(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
1.1 复数的概念
[教材要点]
要点一 复数的概念及其代数表示法
1．复数的定义：形如________(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做________，满足：i2＝________.
2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即________，这种表示形式叫做复数的代数形式，其中实数a叫做复数z的________，实数b叫做复数z的________．
要点二 复数的分类
1．复数的分类
2．集合表示
要点三 复数相等
两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)
相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di，当且仅当________且________．
eq \x(状元随笔) 1.理解复数与复数集的概念应注意以下几点
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数代数形式的应用
(1)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)
若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
[教材答疑]
[教材P164思考交流]
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
用Venn图表示：
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数z1＝2i，z2＝i，则z1>z2.( )
(3)复数z＝－1－2i的虚部是2i.( )
(4)复数z＝bi是纯虚数．( )
2．复数z＝－3－5i的实部和虚部分别是( )
A．3和5i B．3和－5i
C．－3和－5i D．－3和－5
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1 B．m＝－1
C．m＝1 D．m≠1
4．若x，y为实数且满足(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i，则x＝________，y＝________.
题型一 复数的概念——自主完成
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．2
2．下列说法错误的有______．(填序号)
①若z∈C时，z2≥0；②若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；③若a>b，则a＋i>b＋i.
3．给出以下命题：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②形如a＋bi的数一定是虚数；③两个复数不能比较大小；④若a∈C，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确命题的个数是________．
eq \x(状元随笔) 在理解和应用复数概念时，一定要明确复数实部和虚部的定义，复数的代数形式，根据题意，解出结果．
题型二 复数的分类——师生共研
例1 实数m取什么值时，复数z＝m2－5m＋6＋(m2－3m)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
变式探究 本例中的条件改为“m∈R，复数z＝eq \f(mm＋2,m－1)＋(m2＋2m－3)i，”当m为何值时，
(1)z为实数？
(2)z为虚数？
(3)z为纯虚数？
方法归纳
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解，否则容易产生增根．特别要注意，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为a＝0且b≠0.
跟踪训练1 “a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型三 复数相等——师生共研
例2 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值．
(2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值．
先设出方程的实根，代入后转化为复数相等问题．(3)若关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
方法归纳
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解．
跟踪训练2 (1)设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i，a，b∈R，则a＋bi＝( )
A．2＋3i B．－3＋2i
C．3－2i D．－3－2i
(2)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________.
(3)已知x2－y2＋2xyi＝2i，则z＝x＋yi＝________.(x，y∈R)
易错辨析 对复数虚部的认识不清致错
例3 若z＝i＋i2(i为虚数单位)，则z的虚部是( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：∵z＝i＋i2＝－1＋i，∴z的虚部为1，故选A.
答案：A
易错警示
第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1．1 复数的概念
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．a＋bi 虚数单位 －1
2．z＝a＋bi 实部 虚部
要点二
1．b＝0 b≠0 a＝0 a≠0
要点三
a＝c b＝d
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．答案：D
3．解析：∵z是纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1＝0，,m－1≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝±1,m≠1，))
∴m＝－1.故选B.
答案：B
4．解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝2，,x－y＝3.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－4.))
答案：－1 －4
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：复数2－bi(b∈R)的实部为2，虚部为－b，由题意知2＋(－b)＝0.∴b＝2.
答案：D
2．解析：①错误，若z＝i，则z2＝－1<0；②错误，当a＝－1时，(a＋1)i＝0∈R；③错误，两个虚数不能比较大小．
答案：①②③
3．解析：①复数由实数和虚数组成，虚数中包含着纯虚数，故①错；②形如a＋bi的数不一定是虚数，也可能是实数，故②错；③中两个复数并非不可以比较大小，当两个复数都是实数时就可以比较大小，故③错；④中当a＝－3时，(a＋3)i＝0，不是纯虚数，故④错．因此正确命题的个数为0.
答案：0
题型二
例1 解析：(1)当m满足m2－3m＝0，即m＝0或m＝3，z为实数．
(2)当m满足m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，z为虚数．
(3)当m满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－5m＋6＝0,m2－3m≠0))，即m＝2时，z为纯虚数．
变式探究 解析：(1)要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且eq \f(mm＋2,m－1)有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且eq \f(mm＋2,m－1)有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z为纯虚数，m需满足eq \f(mm＋2,m－1)＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.
跟踪训练1 解析：若a＝1，则复数z＝4i是纯虚数，
若复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i是纯虚数，
则a2－1＝0且a＋1≠0，
所以a＝1.
因此“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件．
答案：A
题型三
例2 解析：(1)由复数相等的充要条件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))
(2)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋am＋2＝0，,2a＋m＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,m＝－2\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\r(2)，,m＝2\r(2)，))
所以a＝±eq \r(2).
(3)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq \f(71,5).
跟踪训练2 解析：(1)由2＋ai＝b－3i，a，b∈R，得a＝－3，b＝2.则a＋bi＝－3＋2i.
(2)由复数相等的充要条件知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3a＝a2,－a2＝4a))，∴a＝－4.
(3)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝－1)).∴z＝1＋i或－1－i.
答案：(1)B (2)－4 (3)1＋i或－1－i
易错原因
纠错心得
对复数虚部认识不清，误认为虚部是i.
对于复数的实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，而且要注意当a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.