高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行导学案，共8页。

从点、直线、平面的位置关系的定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出性质定理和判定定理，能用已获得的结论证明直线与平面、平面与平面平行.
4.1 直线与平面平行
[教材要点]
要点一 直线与平面平行的性质
eq \x(状元随笔) 定理中有三个条件：①直线l和平面α平行，即l∥α；②直线l在平面β内，即l ⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝a . 三个条件缺一不可．
要点二 直线与平面平行的判定
eq \x(状元随笔) 1.定理中的三个条件“l ⊄α，a ⊂α，l ∥a”缺一不可．
2．该定理告诉我们，要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面内找到一条直线与已知直线平行．这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题)．
3．判定定理给我们提供了一种画线面平行的方法：通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一条边平行．
[教材答疑]
[教材P218思考交流]
(1)不正确．如
(2)不正确．如
(3)正确．假设α内存在直线与直线l平行则该直线要么在平面α内，要么和平面α平行．所以假设不成立．
(4)不正确．如
(5)不正确．如l与a相交或异面．如图：
(6)不正确．如l与a不平行．如图：
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．( )
(2)若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.( )
(3)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.( )
2．下列结论正确的是( )
A．过直线外一点，与该直线平行的平面只有一个
B．过直线外一点，与该直线平行的直线有无数条
C．过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条
D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行
3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交
4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．
题型一 线面平行的性质定理的应用——师生共研
例1 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF.
要证AP∥GF，根据线面平行的性质定理，只需证AP∥平面BDE，即只需证AP与平面BDE内的某一条直线平行.
方法归纳
(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．
跟踪训练1 如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
题型二 直线与平面平行的判定——微点探究
微点1 中位线模型
要证BC1∥平面A1CD，从平面A1CD内寻找一条直线与BC1平行．例2 如图，直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
方法归纳
“要证线面平行，先证线线平行”，三角形的中位线，梯形的中位线是证明线线平行的主要工具．当条件中出现“中点”字样的条件时，要想到中位线，如中点不够，往往需要再“找”或“作”中点，即“由中点想中位线，取中点连中位线”．
微点2 平行四边形模型
例3 如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.
方法归纳
使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般遵循“先找后作”的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线．
跟踪训练2 (1)如图所示，四棱锥P ­ ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC.
(2)已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ，如图所示．求证：PQ∥平面CBE.
题型三 直线与平面平行判定、性质定理的综合应用
——师生共研
例4 如图，在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
方法归纳
判定和性质之间的推理关系是由线线平行⇒线面平行⇒线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化．
跟踪训练3
如图所示，四边形EFGH为空间四面体A ­ BCD的一个截面，若截面为平行四边形．求证：AB∥平面EFGH.
易错辨析 判断直线与平面平行时忽略直线在平面内的情形致误
例5 已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都平行的平面( )
A．有且只有一个 B．有两个
C．没有或只有一个 D．有无数个
解析：过点M作直线a′∥a，过点M作直线b′∥b，则直线a′，b′确定平面α.当a，b都不在由a′，b′确定的平面α内时，过点M且与a，b都平行的平面只有一个；当a⊂α或b⊂α时，过点M且与a，b都平行的平面不存在．
答案：C
易错警示
§4 平行关系
4．1 直线与平面平行
新知初探·课前预习
要点一
交线 l⊂β α∩β＝a
要点二
平面外 平面内 l⊄α，a⊂α，且l∥a⇒l∥α
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)×
2．解析：过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条，只要直线与平面无公共点，就是直线与平面平行．
答案：C
3．解析：因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.
答案：D
4．解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由基本事实4得CD∥EF.
答案：平行
题型探究·课堂解透
题型一
例1 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点O是AC的中点，
又E是PC的中点，∴AP∥OE.
∵AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴AP∥平面BDE.
∵平面PAGF∩平面BDE＝GF，
∴AP∥GF.
跟踪训练1 证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，
∴AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，
∴AB∥PQ，
∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
∴四边形MNPQ为平行四边形．
题型二
例2 证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
例3 证明：
如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.
∵OF綊eq \f(1,2)B1C1，BE綊eq \f(1,2)B1C1，∴OF綊BE，
∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.
∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
跟踪训练2
(1)证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.
在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，则EG∥FC.
在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．
在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，则BE∥MO.
又MO⊂平面AFC，BE⊄平面AFC，所以BE∥平面AFC.
(2)证明：作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图所示，
即PM∥QN，eq \f(PM,AB)＝eq \f(EP,EA)，eq \f(QN,CD)＝eq \f(BQ,BD).
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
题型三
例4 解析：过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，如图．
因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，
平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN.
所以四边形BFNM是平行四边形．
所以MN＝BF＝1.
又EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝eq \f(1,2)EC＝1.
故MN是△ACE的中位线．
所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
跟踪训练3 证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
∵EF⊂平面ABC，
平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.
又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH.
∴AB∥平面EFGH.
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________平行
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥α  ))⇒l∥a
图形语言
文字语言
如果________一条直线与此________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
图形语言
符号语言
______________
易错原因
纠错心得
解题时易忽略a⊂α或b⊂α的情况，从而错选A
直线与平面的位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与不在平面内(包括直线与平面平行和相交)；另一种分法是直线与平面平行(无公共点)和直线与平面不平行(直线在平面内和直线与平面相交)