2023新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第2课时集合的表示教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　集合的表示1．初步掌握集合的两种表示方法－－列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)1．通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养．四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》(作者 罗贯中)、《水浒传》(作者 施耐庵)、《西游记》(作者 吴承恩)、《红楼梦》(作者 曹雪芹、高鹗)．四大名著是中国古典文学的精品，承载着中国文化的精髓．中国古典四大名著能组成集合吗？如何表示该集合？知识点1　列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)A．{(－2，2)}　　　　 B．{－2，2}C．{－2} D．{2}B　[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2，2}．]以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？(1)满足x<1的所有实数组成的集合A；(2)所有有理数组成的集合Q．知识点2　描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？[提示]　(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5．(2){x|x<5，x∈R}．用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关键是代表元素．如{x|x>3，x∈R}是数集，{(x，y)|y＝x＋1}是点集．2．(1)用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}(2)用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．(1)C　(2){x|x<3}　[(1)该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C．(2)用描述法可表示为{x|x<3}．] 类型1　用列举法表示集合【例1】　(对接教材P3例题)用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．[解]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．(2)小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}．(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝．(4)由得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用花括号括起来．提醒：花括号“{　}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}．[跟进训练]1．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；(3)方程组的解组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N．[解]　(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1，0，1，2，故A＝{－2，－1，0，1，2}．(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，∴M＝{2，3}．(3)解得∴B＝{(3，2)}．(4)15的正约数有1，3，5，15，故N＝{1，3，5，15}． 类型2　用描述法表示集合【例2】　用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．[解]　(1){x∈R|1<x<10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．用描述法表示集合的2个步骤提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．[跟进训练]2．用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合；(3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合．[解]　(1){(x，y)|x∈R，y＝0}．(2){(x，y)|y＝x2－4}．(3){x|x≠1}． 类型3　集合表示方法的综合应用【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．明确集合A的含义，由此转化成代数问题，即方程解的个数问题．[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}．[母题探究](变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1．综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．[跟进训练]3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)　[当a＝0时，方程有实数解x＝－1，符合题意；当a≠0时，由Δ＝1－4a≤0，解得a≥．故实数a的取值范围为．]1．集合{x∈N|x－3<2}的另一种表示法是(　　)A．{0，1，2，3，4}　 B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}A　[{x∈N|x－3<2}＝{x∈N|x<5}＝{0，1，2，3，4}．故选A．]2．(多选)由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)A．{－2，0，2，4，6，8，10}B．{0，2，4，6，8，10}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}AD　[由题意可知，满足题设条件的有选项AD，故选AD．]3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}C．{(－2，1)} D．{(1，－2)}D　[由得∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]4．大于－2小于3的整数用列举法表示为________；用描述法表示为________．{－1，0，1，2}　{x|－2<x<3，且x∈Z}　[大于－2小于3的整数为－1，0，1，2，故用列举法表示为{－1，0，1，2}，用描述法表示为{x|－2<x<3，且x∈Z}．]5．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．{－1，4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？[提示]　列举法和描述法．2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？[提示]　(1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1上的点(x，y)组成的集合．