2023新教材高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第2课时公式五和公式六教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　公式五和公式六1．了解公式五和公式六的推导方法．2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(重点、难点、易混点)1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养．2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养．观察单位圆，回答下列问题：(1)角α与角－α，角α与角＋α的终边有什么关系？(2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？知识点　诱导公式五、六 公式五公式六终边关系角－α与角α的终边关于直线y＝x对称角＋α与角α的终边垂直图形公式sin＝cos α，cos＝sin αsin＝cos α，cos＝－sin α如何由公式四及公式五推导公式六？[提示]　sin＝sin＝sin＝cos α．cos＝cos＝－cos＝－sin α．诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角． (　　)(2)sin(90°＋α)＝－cos α． (　　)(3)cos＝－sin α． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．(1)已知sin α＝，则cos＝________；(2)若α∈，sin＝，则cos α＝________．(1)　(2)　[(1)∵sin α＝，∴cos＝sin α＝．(2)∵α∈，sin＝cos α＝，∴cos α＝．] 类型1　利用诱导公式化简求值【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)A．　　　　　 B．C．－ D．－(2)(对接教材P193例题)已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为(　　)A．－　　　B．　　　C．－　　　D．从角入手，你能发现待求角与已知角之间的内在联系吗？如何借助这种关系选择诱导公式进行化简求值？(1)B　(2)A　[(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝．故选B．(2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°．又cos(60°＋α)＝>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－＝－．故选A．]利用互余(互补)关系求值的步骤(1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等．(2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．(3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．[跟进训练]1．(1)已知sin＝，则cos的值为________；(2)已知sin＝，则cos的值为________．(1)　(2)－　[(1)cos＝cos＝sin＝．(2)cos＝cos＝－sin＝－．] 类型2　利用诱导公式证明恒等式【例2】　(1)求证：＝；(2)求证：＝－tan θ．[证明]　(1)右边＝＝＝＝＝＝＝左边，所以原等式成立．(2)左边＝＝＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．三角恒等式的证明的策略(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法．[跟进训练]2．求证：＝－1．[证明]　因为＝＝＝＝－1＝右边，所以原等式成立． 类型3　诱导公式的综合应用【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．[解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－．又α是第三象限角，所以cos α＝－，tan α＝＝，所以·tan2(π－α)＝·tan2α＝·tan2α＝－tan2α＝－．诱导公式综合应用要“三看”一看角：(1)化大为小；(2)看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看名：一般是弦切互化．三看形：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．[跟进训练]3．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin α与cos α的值．[解]　sin＝－cos α，cos＝cos＝－sin α，∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝． ①又∵sin2α＋cos2α＝1， ②①＋②得(sin α＋cos α)2＝，②－①得(sin α－cos α)2＝．又∵α∈，∴sin α＞cos α＞0，即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，∴sin α＋cos α＝， ③sin α－cos α＝， ④(③＋④)÷2得sin α＝，(③－④)÷2得cos α＝．1．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)A．第一象限角　 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角B　[由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B．]2．(多选)下列与sin θ的值相等的是(　　)A．sin(π＋θ) B．sinC．cos D．cosCD　[sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；cos＝sin θ；cos＝sin θ．故选CD．]3．已知tan θ＝2，则等于(　　)A．2　　　B．－2　　　C．0　　　D．B　[∵tan θ＝2，∴＝＝＝＝＝－2．故选B．]4．计算：sin211°＋sin279°＝________．1　[因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cos 11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1．]5．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝________．　[因为cos α＝，且α为第四象限角，所以sin α＝－＝－，所以cos＝－sin α＝．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．公式一～四和公式五～六的函数名称有什么不同？[提示]　公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．2．如何用一个口诀描述诱导公式一～六？[提示]　“奇变偶不变、符号看象限”．