2023新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第2课时两角和与差的正弦余弦公式教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．(重点)2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(重点、难点)1．借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2． 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养．乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”－－一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，它用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明．我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新．类比于上节我们学习的两角差的余弦公式，你能得出两角和与差的正弦、余弦公式吗？知识点1　两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin_αsin βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin βα，β∈R如何由C(α－β)推导出C(α＋β)?[提示]　先用“－β”代C(α－β)中的“β”，再借助诱导公式“cos(－β)＝cos β”推导即可．1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为(　　)A．0　　　B．　　　C．　　　D．cos 54°B　[原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝．]知识点2　两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βα，β∈R两角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βα，β∈R2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　　)(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立． (　　)(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立． (　　)(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝______．－　[∵cos α＝－，α是第三象限的角，∴sin α＝－＝－，∴sin＝sin α－cos α＝×－×＝－．] 类型1　给角求值问题【例1】　(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　)A．－　　　B．－　　　C．　　　D．(2)若θ是第二象限角且sin θ＝，则cos(θ＋60°)＝________．(3)求值：(tan 10°－)．(1)D　(2)－　[(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝．(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝，∴cos θ＝－＝－，∴cos(θ＋60°)＝cos θ－sin θ＝×－×＝－．](3)[解]　原式＝(tan 10°－tan 60°)＝＝·＝－2．解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．[跟进训练]1．化简求值：(1)；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．[解]　(1)原式＝＝＝＝sin 30°＝．(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α＝＋－cos α＝0． 类型2　给值求值问题【例2】　(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cos∠POQ＝________．(2)已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈，求cos(2α－β)的值．(1)　[由题意可得，cos∠xOP＝，所以sin∠xOP＝．再根据cos∠xOQ＝，可得sin∠xOQ＝－，所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)＝cos∠xOP·cos∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝×－×＝．](2)[解]　因为α，β∈，所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜，又因为cos α＝，所以sin α＝＝，cos(α－β)＝＝，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝．给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．[跟进训练]2．已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值．[解]　因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－β＜，因为sin(α－β)＝－＜0，所以cos(α－β)＝，因为cos α＝，所以sin α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×＋×＝． 类型3　给值求角问题【例3】　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．能否求得α＋β的取值范围？依据α＋β的范围如何选择公式求三角函数值？[解]　因为α和β均为钝角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝－＝－，cos β＝－＝－．由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝．所以α＋β＝．已知三角函数值求角的方法已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好．[跟进训练]3．若sin α＝－，cos β＝，且α∈，β∈，求α＋β的值．[解]　因为α∈，β∈，且sin α＝－，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝，因此sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－×＋×＝，又因为α∈，β∈，所以α＋β∈，故α＋β＝．1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　)A．　　　B．－　　　C．　　　D．－D　[原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－．故选D．]2．sin 105°的值为(　　)A． B．C． D．D　[sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝．故选D．]3．化简cos x－sin x等于(　　)A．2sin B．2cosC．2sin D．2cosD　[cos x－sin x＝2＝2＝2cos．故选D．]4．若cos α＝－，α∈，则cos＝________．－　[因为cos α＝－，α∈，所以sin α＝＝＝，所以cos＝cos αcos －sin αsin ＝－×－×＝－．]5．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________．cos α　[cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)间存在怎样的联系？[提示]　2．根据三角函数值求角时，一般的步骤是什么？[提示]　根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．