精品解析：四川省资阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

资阳市2022—2023学年度高中一年级第二学期期末质量监测

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂座位号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式求出三角函数值即可求解复数.

【详解】因为，，

所以.

故选：A

2. 数据1，2，3，4，5，6，7，8的分位数为（    ）

A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】由百分位数的求法求分位数即可，

【详解】由题设，，故分位数为.

故选：B.

3. 若角α是第二象限角，则是(　　)

A. 第一象限角 B. 第二象限角

C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】由角α是第二象限角，得到＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，，由此能求出-是第一或第三象限角．

【详解】∵α是第二象限角，

∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，

∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.

当k为偶数时，是第一象限角；

当k为奇数时，是第三象限角

【点睛】本题考查角所在象限的求法，考查象限角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

4. 能使平面与平面平行的一个条件是（    ）

A. 与都平行于同一条直线

B. 一条直线l分别与和所成的角相等

C. 内有无数条直线都与平行

D. 内的任何一条直线都与平行

【答案】D

【解析】

【分析】平行于同一条直线的平面可能平行,也可能相交，由此判断A；通过取特殊位置排除B；通过取特殊位置，结合线面平行的判定定理判断C；两个平面平行的定义：若与没有公共点，则与平行.根据条件可得与没有公共点，再根据平面与平面平行的定义判断D.

【详解】对A， 若与都平行于同一条直线,则与可能平行，也可能相交，故A错误；

对B，若与相交，直线与和都平行，则直线与平面和成的角相等，都是，而此时与不平行，故B错误；

对C，设与相交于直线，则，则，

则内所有与平行的直线（除外）都与平行，

即内有无数条直线都与平行,而此时与不平行，故C错误.

对D，若内的任何一条直线都与平行，则与没有公共点，故与平行，故D正确.

故选：D.

5. 的值为（    ）

A.  B.  C. 0 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值.

【详解】

.

故选：B

6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 为钝角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦定理求解或，再分类讨论逐个判断即可.

【详解】由正弦定理得，所以，

因为，所以或，故三角形有两种解，故ABC均错误，

当时，，为钝角三角形，

当时，为钝角三角形，故D正确.

故选：D

7. 三棱台中，两底面和分别是边长为2和1的等边三角形，平面ABC.若，则异面直线AC与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】以为邻边作平行四边形，则且，从而可得即为异面直线AC与所成角或其补角，再解即可.

【详解】如图，以为邻边作平行四边形，

则且，

故即为异面直线AC与所成角或其补角，

因为平面ABC，平面ABC，

所以，

则，

在中，，

即异面直线AC与所成角的余弦值为.

故选：C

8. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围.

【详解】设，则，因为，

所以，

又，所以，所以，

所以的取值范围是.

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某运动员在一次射击训练中射靶10次，其命中环数依次为7，5，8，9，6，6，7，7，8，7，则该运动员射击成绩的（    ）

A. 众数为7 B. 中位数为8

C. 平均数为7 D. 方差为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据众数定义即可判断A，根据中位数、平均数、方差的公式计算即可判断BCD.

【详解】对选项A：根据众数的定义知，该运动员射击成绩出现环数最多的是7环，正确；

对选项B：把10个射击成绩从小到大排列为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，

所以该运动员射击成绩的中位数为，错误；

对选项C：该运动员射击成绩的平均数为，正确；

对选项D：该运动员射击成绩的方差为，

正确.

故选：ACD

10. 已知单位向量，满足，则以下结论正确的有（    ）

A.

B.

C. 向量，的夹角为

D. 在上的投影向量为

【答案】AD

【解析】

【分析】将两边平方结合数量积得运算律即可判断A，由是否成立即可判断B，根据数量积夹角的求法即可判断C，根据投影向量得定义即可判断D.

【详解】由单位向量，满足，

得，

所以，故A正确；

因为，所以不垂直，故B错误；

，，

所以向量，的夹角为，故C错误；

在上的投影向量为，故D正确.

故选：AD.

11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A.

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数在上单调递增

D. 将函数.的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项．

【详解】对A，根据函数的部分图象，可得，，所以，

利用五点法作图，可得，可得，所以，则，故A正确；

对B，令，求得，故函数的图象不关于直线对称，故B错误；

当时，，则函数单调递增，故C正确；

对D，，

把其图象向左平移个单位可得

，根据余弦函数为偶函数，可知为偶函数，故D正确．

故选：ACD．

12. 如图，在正方体中，E是棱CD上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A. 与所在的直线异面

B.

C. 三棱锥的体积为定值

D. 直线与平面所成角的正弦值为

【答案】ABCD

【解析】

【分析】连接，设，说明直线不过点，即可判断A；证明平面，结合线面垂直的性质即可判断B；说明三棱锥的体积为定值，即可判断C；先利用等体积法求出点到平面的距离，从而可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】如图，连接，设，

则平面，平面，

因为E是棱CD上的动点，所以直线不过点，

所以与所在的直线异面，故A正确；

在中，平面，

因为平面，所以，

又平面，

所以平面，

又平面，所以，故B正确；

对于C，因为平面，，

所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，

又因为定值，所以三棱锥的体积为定值，

即三棱锥的体积为定值，故C正确；

对于D，设正方体的棱长为，则，

，

，

设点到平面的距离为，

则，所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确.

故选：ABCD.

      【点睛】1.方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某学校高中一年级有男生500人，女生400人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，则所抽取的女生人数为______.

【答案】

【解析】

【分析】先求出抽样比,再乘以样本容量即可得到应抽取的女生人数.

【详解】从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，其抽样比例为，

所以抽取的女生人数为.

故答案为：.

14. 已知平面向量，，.若，则x＝______.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量坐标运算及向量共线的充要条件得到方程，解出即可.

【详解】，因为，

则，解得，

故答案为：.

15. 复平面内复数，对应的两点之间的距离为______.

【答案】5

【解析】

【分析】先求出两点坐标，再用两点间距离公式求解.

【详解】在复平面内，复数，，

对应的两点的坐标分别为，，

则两点间的距离为，

故答案为：5.

16. 如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为______.

【答案】##

【解析】

【分析】作出相关面的外心，利用面面垂直的性质、勾股定理以及正弦定理即可得到答案.

【详解】作出底面的外心，侧面的外心，取中点，

连接，因为平面平面，面平面，

因为是边长为2的等边三角形，所以，

又因为平面，所以平面，

由球的性质可得平面，所以，

同理，所以四边形为平行四边形，

故，

在中，因为，，则，

设的外接圆半径为，根据正弦定理有，则，

设三棱锥外接球的半径为，则，

则外接球的表面积为.

故答案为：.

  【点睛】关键点睛：本题关键在于利用正弦定理与球的截面性质求得的外接圆半径与，从而利用勾股定理即可得解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知复数，，其中i是虚数单位，.

（1）若为纯虚数，求m的值；

（2）若，求的虚部.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可；

（2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可.

【小问1详解】

由题意得，

因为为纯虚数，所以且，解得.

【小问2详解】

因为，所以，即，

所以，所以，所以的虚部为.

18. 已知函数在区间上的最大值为1.

（1）求常数m的值；

（2）当时，求函数的最小值，以及相应x的集合.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）先利用二倍角公式及两角和的正弦公式化成标准形式，根据的范围求函数的最大值，然后让最大值等于1即可求解；

（2）当时，根据正弦函数的性质求函数的最小值及取到最小值时的的值.

【小问1详解】

，因为，所以，

所以当即时，函数取得最大值，

于是有，解得；

【小问2详解】

由（1）得，

当时，函数的最小值为，

此时，解得

即时取最小值，

所以所求集合为.

19. 为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间，，…，分成8组，得到如下的频率分布直方图：

（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.

【答案】（1），平均值为   

（2）第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.

【解析】

【分析】（1）根据频率和为1列出方程解出，再根据频率分布直方图计算平均值即可；

（2）根据百分位数定义计算即可.

【小问1详解】

由直方图可得，样本落在,的频率分别为,,,,,,,，由，解得，

则样本落在,频率分别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.15,0.1,0.05,0.05,所以月用电量的平均值为

，

【小问2详解】

为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；

的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数.

因为，

则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，

于是.

又,

所以对应的用电量为350.

所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.

20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.

（1）求角A的大小；

（2）若，求周长的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理化简计算可得；

（2）由正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以，所以，

又，所以；

【小问2详解】

由正弦定理可知:，则，

所以，

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以周长的取值范围为.

21. 在中，点P为所在平面内一点.

（1）若点P在边BC上，且，用，表示；

（2）若点P是的重心.

①求证：；

②若，求.

【答案】（1）   

（2）①证明见解析；②.

【解析】

【分析】（1）作辅助线利用向量的平行四边形法则及向量的线性运算即可求解；

（2）①利用重心概念及向量的线性运算即可证明；②通过向量分解得到，利用正弦定理及余弦定理即可求解.

【小问1详解】

如图：

过点P作交AB于点D，交AC于点E，则四边形为平行四边形，

所以，由，所以，即，

同理，即，所以；

【小问2详解】

①如图：

延长AP交BC于点F，因为点P是的重心，所以点F为BC的中点，且，

所以，即，又，所以；

②点P是的重心时，由①知及，

所以，所以，

由正弦定理知，不妨设，，

由余弦定理得.

22. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点.

（1）证明：平面；

（2）判断直线CM与平面的位置关系，并证明你的结论；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）平面，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可证明；

（2）利用线面平行的判定定理即可证明；

（3）几何法求解.先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角.

【小问1详解】

由底面ABCD，底面ABCD，则，

在直角梯形中，，则，

又，平面，所以平面；

小问2详解】

平面，证明如下：

如图：

取PA中点E，连接ME，DE，由于M是PB的中点，故，且，

由，则，且，

从而四边形是平行四边形，故，

又平面，平面，所以平面；

【小问3详解】

作，垂足为N，连接BN，如图：

在中，，又，所以≌，可得，

则≌，故，故为所求二面角的平面角，

由（1）知平面，由平面，可得，

在中，，所以，

在等腰三角形中，，所以，

因为，在中，由余弦定理得，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】方法点睛：立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑：

（1）证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定理，需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.

（2）求线面、面面角的一般方法是向量法，若图形容易确定所求角，也可利用几何法，结合解三角形知识求角.