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    精品解析:四川省泸州市泸县第四中学2022-2023学年高二下学期期末数学文科试题(解析版)

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    这是一份精品解析:四川省泸州市泸县第四中学2022-2023学年高二下学期期末数学文科试题(解析版),共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    泸县第四中学2023年春期高二期末考试

    文科数学

    I   选择题(60分)

    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 若复数为虚数单位),则下列命题正确的是(   

    A. 是纯虚数 B. 的实部为2 C. 的共轭复数为 D. 的模为

    【答案】D

    【解析】

    【分析】

    根据纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义逐项判断即可.

    【详解】解:复数为虚数单位)显然不是纯虚数,的实部是1的共轭复数为,故D正确,

    故选:D.

    【点睛】考查纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义的应用,基础题.

    2. 已知命题p:对,有,则为(   

    A. ,有 B. ,有

    C. ,使得 D. ,使得

    【答案】C

    【解析】

    【分析】利用全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定.

    【详解】根据全称命题p:对,有的否定为特称命题,

    即:,使得.

    故选:C

    【点睛】本题考查了含有全称量词的命题的否定,属于基础题.

    3. 某校有高三学生1200名,现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测,用电脑对这1200名学生随机编号1231200,已知随机抽取的一个学生编号为10,则抽取的学生最大编号为(    

    A. 2004 B. 1198 C. 1192 D. 1086

    【答案】B

    【解析】

    【分析】首先求出分段间隔,再根据系统抽样规则计算可得.

    【详解】根据系统抽样法可知,分段间隔为,编号共分为段,编号属于第段,

    所以最大编号在第段,号码为

    故选:B

    4. 已知函数的导函数的图象如图所示,则关于的结论正确的是

    A. 在区间上为减函数 B. 处取得极小值

    C. 在区间上为增函数 D. 处取得极大值

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    结合图象,求出函数的单调区间和极值点即可.

    【详解】由图象得:递减,在递增,在递减,

    取极小值,在取极大值,

    故选:B.

    【点睛】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及数形结合思想,是一道常规题.

    5. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为(参考数据:

    A. 3.1419 B. 3.1417 C. 3.1415 D. 3.1413

    【答案】A

    【解析】

    【分析】

    先设圆的半径为,表示出圆的面积和正六边形的面积,再由题中所给概率,即可得出结果.

    【详解】设圆的半径为,则圆的面积为,正六边形的面积为,因而所求该实验的概率为,则.

    故选A

    【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型,熟记概率计算公式即可,属于常考题型.

    6. 已知椭圆对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,则椭圆方程为(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据长轴长以及离心率,可求出,再由,进而可求出结果.

    【详解】由题意知,,所以

    又因为椭圆的对称轴是坐标轴,则焦点可能在轴上.

    ∴椭圆方程:

    故选:C

    7. 已知曲线在点处的切线方程为,则

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】

    通过求导数,确定得到切线斜率的表达式,求得,将点的坐标代入直线方程,求得

    【详解】详解:

    代入,故选D

    【点睛】本题关键得到含有ab的等式,利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.

    8. 直线与抛物线交于两点,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】焦点弦长度等于.

    【详解】抛物线的焦点为在直线上,故是抛物线的焦点弦,则

    得:

    所以,

    所以,

    故选:D.

    9. 已知函数处取得极大值10,则值为(   

    A.  B. 2 C. 2 D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】求导,根据题意得到,代入数据解得答案,再验证排除即可.

    【详解】,则

    根据题意:,解得

    时,,函数在上单调递减,在上单调递增,故处取得极小值,舍去;

    时,,函数在上单调递增,在上单调递减,故处取得极大值,满足.

    .

    故选:A.

    【点睛】本题考查了根据极值求参数,意在考查学生的计算能力和应用能力,多解是容易发生的错误.

    10. F为双曲线Ca>0b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于PQ两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为

    A.  B.

    C. 2 D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】准确画图,由图形对称性得出P点坐标,代入圆的方程得到ca关系,可求双曲线的离心率.

    【详解】轴交于点,由对称性可知轴,

    为以为直径的圆的半径,

    为圆心

    ,又点在圆上,

    ,即

    ,故选A

    【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.

    11. 已知圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】设圆锥的底面半径为,侧面展开图的半圆半径为,根据侧面积得到,再根据体积公式计算即可.

    【详解】设圆锥的底面半径为,侧面展开图的半圆半径为,则,即.

    故圆锥的侧面积为,解得,圆锥的高为.

    故圆锥的体积为.

    故选:B

    12. 已知上恰有两个极值点,且,则的取值范围为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】由题意得导函数在区间有两个零点,根据二次函数的性质可得,由根与系数的关系可得以及,求出的表达式,将表示,表示为关于的函数,利用导数与单调性的关系即可求出结果.

    【详解】由题意得

    ,得

    由题意知上有两个根

    ,得

    由根与系数的关系得,由求根公式得

    ,∴,∵,∴

    ,则

    ,则

    易知上单调递增,

    ∴当时,函数为减函数,

    ,且

    故选:D.

    【点睛】关键点点睛:(1)根据极值点的概念,结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围,以及之间的关系;

    (2)将题意转化为关于的函数,构造出,利用导数判断单调性.

    II  非选择题(90分)

    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13. 若直线与直线平行,则___________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据两直线平行公式,列式即可求解.

    【详解】根据两直线平行可得:解之得:.

    故答案为:

    14. 已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示,若据此利用最小二乘估计得到回归方程,则_______.

    3

    4

    5

    6

    2.5

    4

    4.5

     

     

    【答案】3

    【解析】

    【分析】根据题意计算样本中心点,代入回归方程即可得到答案.

    【详解】解:

    所以样本中心点为:.

    因为回归方程,样本中心点在回归方程上,

    所以,解得:.

    故答案为:3.

    【点睛】本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数,考查学生的计算能力,属于基础题.

    15. 已知直线,圆,若直线与圆相交于两点,的最小值为______

    【答案】

    【解析】

    【分析】求出直线过的定点,当圆心和定点的连线垂直于直线时,取得最小值,结合即可求解.

    【详解】

    由题意知,圆,圆心,半径

    直线

    ,解得,故直线过定点

    设圆心到直线的距离为,则,可知当距离最大时,

    有最小值,由图可知,时,最大,此时

    此时.的最小值为.

    故答案为:.

    16. 函数的导函数为,若,且,则的最小值为______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】,求导,可得,利用导数求得单调性和极值,即可得答案.

    【详解】

    所以,即

    所以

    所以

    ,解得x=1

    所以当时,为减函数,

    时,为增函数,

    所以的最小值为.

    故答案为:

    三、解答题:共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题,考生根据要求作答.

    (一)必考题:共60

    17. 为了调查某社区居民每天参加健身的时间,某机构在该社区随机采访男性、女性各50名,其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”,否则称其为"非健身族”,调查结果如下:

     

    健身族

    非健身族

    合计

    男性

    40

    10

    50

    女性

    30

    20

    50

    合计

    70

    30

    100

     

    (1)若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟,则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分时间分别是1.2小时,0.8小时,1.5小时,0.7小时,试估计该社区可否称为“健身社区”?

    (2)根据以上数据,能否在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关?

    参考公式: ,其中.

    参考数据:

    0. 50

    0. 40

    0. 25

    0. 05

    0. 025

    0. 010

    0. 455

    0 708

    1. 321

    3. 840

    5. 024

    6. 635

     

     

    【答案】(1)该社区不可称为“健身社区”;(2)能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.

    【解析】

    【分析】1)计算平均数,再比较数据大小作出判断(2)先求卡方,再对照参考数据作出判断

    【详解】(1)随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为

    小时,

    由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时,

    因为1.15小时小时=70分钟,所以该社区不可称为“健身社区”;

    (2)由联立表可得,

    所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.

    【点睛】本题考查计算平均数以及卡方计算,考查基本分析求解判断能力,属基础题.

    18. 已知函数.

    1)求在点处的切线;

    2)求在区间上的最大值和最小值.

    【答案】1;(2)最大值为,最小值为.

    【解析】

    【分析】1)求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;

    2)判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.

    【详解】1,又,所以切线方程为

    2)由(1)知上单减,在上单增,  

    上的最大值为3,最小值为0.

    【点睛】本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数的切线方程,单调性以及函数的最值,考查学生的运算能力与逻辑思维,属于中档题.

    19. 如图所示的多面体,其正视图为直角三角形,侧视图为等边三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示),EPA的中点.

    1求证:平面EBD

    2求三棱锥的体积.

    【答案】1证明见解析   

    2

    【解析】

    【分析】1)连接点,连接,则的中位线,根据线面平行的判定定理,即可得证.

    2)设的中点为,设的中点为,连接,可证平面,再由椎体的体积公式求解即可

    【小问1详解】

    连接点,连接

    由已知可得

    平面平面

    平面EBD.

    【小问2详解】

    的中点为,设的中点为,连接

    则易知

    侧视图为正三角形,

    由正视图可得:平面平面

    平面,平面平面

    所以平面

    平面

    由题意可知

    所以

    所以

    20. 已知函数.

    1,讨论的极值;

    2时,恒成立,求正实数a的取值范围.

    【答案】1见解析    2.

    【解析】

    【分析】1)求出的导数,讨论其符号后可得的极值.

    2恒成立等价于恒成立,设,求出其导数后就分类讨论导数的符号后可求参数的取值范围.

    【小问1详解】

    ,则

    ,则,此时无极值;

    ,由;由

    上为减函数,在上为增函数,

    处取极小值且极小值为

    综上,当时,无极值;

    时,有极小值为,无极大值.

    【小问2详解】

    时,恒成立等价于恒成立,

    ,则

    ,则,则上的增函数,

    ,故恒成立.

    ,则当时,

    上为减函数,而

    故当时,成立,

    这与题设矛盾,

    .

    21. 已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.

    1求椭圆的标准方程;

    2若过定点的直线交椭圆于不同的两点(在点之间),且满足,求的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)代入点坐标,结合离心率,以及即得解;

    2)设直线方程,与椭圆联立,转化,结合韦达定理和判别式,分析即得解

    【小问1详解】

    由题意可知:,解得:

    椭圆的标准方程为:

    【小问2详解】

    ①当直线斜率不存在,方程为,则.

    ②当直线斜率存在时,设直线方程为

    联立  得:.

    得:.

    ,则

    ,所以,所以 ,解得:,

    综上所述:的取值范围为.

    (二)选考题:共10分.请考生在第2223题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

    (选修4-4 极坐标与参数方程)

    22. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

    1C的普通方程和l的直角坐标方程;

    2动点D在曲线C上,动点AB均在直线l上,且,求ABD面积的最小值.

    【答案】1(y ≠ -1)   

    26

    【解析】

    【分析】1)先对曲线C的参数方程化简,然后利用正弦与余弦的平方和为1可求出其普通方程,由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求出l的直角坐标方程;

    (2)设,求出点D到直线l的距离,化简变形后利用余弦函数的性质可求出的最小值,从而可求出ABD面积的最小值.

    【小问1详解】

    对于曲线C

    所以

    因为当有意义时,

    所以,则,即

    所以C的普通方程为

    ,得,即

    代入上式,可得l的直角坐标方程为

    【小问2详解】

    ,则点D到直线l的距离

    所以当且仅当,即)时,d取得最小值,

    所以△ABD面积的最小值为

    (选修4-5 不等式选讲)

    23. 已知函数,不等式的解集为

    1的值;

    2若三个实数,满足.证明:

    【答案】1   

    2证明见解析

    【解析】

    【分析】1)依题意可得,即可得到方程组,解得即可;

    2)由(1)可知,则,利用柯西不等式即可证明.

    【小问1详解】

    不等式的解集为

    ,即,经检验得符合题意

    【小问2详解】

    由柯西不等式可知:

    当且仅当时等号成立.

     

     

     

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