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精品解析:四川省泸州市泸县第四中学2022-2023学年高二下学期期末数学文科试题(解析版)
展开泸县第四中学2023年春期高二期末考试
文科数学
第I卷 选择题(60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数(为虚数单位),则下列命题正确的是( )
A. 是纯虚数 B. 的实部为2 C. 的共轭复数为 D. 的模为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义逐项判断即可.
【详解】解:复数(为虚数单位)显然不是纯虚数,的实部是1,的共轭复数为,,故D正确,
故选:D.
【点睛】考查纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义的应用,基础题.
2. 已知命题p:对,有,则为( )
A. 对,有 B. 对,有
C. ,使得 D. ,使得
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定.
【详解】根据全称命题p:对,有的否定为特称命题,
即:为,使得.
故选:C
【点睛】本题考查了含有全称量词的命题的否定,属于基础题.
3. 某校有高三学生1200名,现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测,用电脑对这1200名学生随机编号1,2,3,…,1200,已知随机抽取的一个学生编号为10,则抽取的学生最大编号为( )
A. 2004 B. 1198 C. 1192 D. 1086
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出分段间隔,再根据系统抽样规则计算可得.
【详解】根据系统抽样法可知,分段间隔为,编号共分为段,编号属于第段,
所以最大编号在第段,号码为.
故选:B
4. 已知函数的导函数的图象如图所示,则关于的结论正确的是
A. 在区间上为减函数 B. 在处取得极小值
C. 在区间,上为增函数 D. 在处取得极大值
【答案】B
【解析】
【分析】
结合图象,求出函数的单调区间和极值点即可.
【详解】由图象得:在递减,在递增,在递减,
故在取极小值,在取极大值,
故选:B.
【点睛】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及数形结合思想,是一道常规题.
5. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为(参考数据:)
A. 3.1419 B. 3.1417 C. 3.1415 D. 3.1413
【答案】A
【解析】
【分析】
先设圆的半径为,表示出圆的面积和正六边形的面积,再由题中所给概率,即可得出结果.
【详解】设圆的半径为,则圆的面积为,正六边形的面积为,因而所求该实验的概率为,则.
故选A
【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型,熟记概率计算公式即可,属于常考题型.
6. 已知椭圆对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,则椭圆方程为( )
A. B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据长轴长以及离心率,可求出,,再由,进而可求出结果.
【详解】由题意知,,,所以,,
∴,
又因为椭圆的对称轴是坐标轴,则焦点可能在或轴上.
∴椭圆方程:或
故选:C
7. 已知曲线在点处的切线方程为,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过求导数,确定得到切线斜率的表达式,求得,将点的坐标代入直线方程,求得.
【详解】详解:
,
将代入得,故选D.
【点睛】本题关键得到含有a,b的等式,利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.
8. 直线与抛物线交于,两点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】焦点弦长度等于.
【详解】抛物线的焦点为在直线上,故是抛物线的焦点弦,则
由得:,
所以,,
所以,
故选:D.
9. 已知函数在处取得极大值10,则值为( )
A. B. 或2 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导,根据题意得到,代入数据解得答案,再验证排除即可.
【详解】,则,
根据题意:,解得或,
当时,,函数在上单调递减,在上单调递增,故处取得极小值,舍去;
当时,,函数在上单调递增,在上单调递减,故处取得极大值,满足.
故.
故选:A.
【点睛】本题考查了根据极值求参数,意在考查学生的计算能力和应用能力,多解是容易发生的错误.
10. 设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为
A. B.
C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】准确画图,由图形对称性得出P点坐标,代入圆的方程得到c与a关系,可求双曲线的离心率.
【详解】设与轴交于点,由对称性可知轴,
又,为以为直径的圆的半径,
为圆心.
,又点在圆上,
,即.
,故选A.
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.
11. 已知圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为,侧面展开图的半圆半径为,根据侧面积得到,,再根据体积公式计算即可.
【详解】设圆锥的底面半径为,侧面展开图的半圆半径为,则,即.
故圆锥的侧面积为,解得,圆锥的高为.
故圆锥的体积为.
故选:B
12. 已知在上恰有两个极值点,,且,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得导函数在区间有两个零点,根据二次函数的性质可得,由根与系数的关系可得以及,求出的表达式,将用表示,表示为关于的函数,利用导数与单调性的关系即可求出结果.
【详解】由题意得,
令,得,
由题意知在上有两个根,,
∴,得.
由根与系数的关系得,由求根公式得,
∵,∴,∵,∴.
则,
令,则.
设,则,
易知在上单调递增,
∴,
∴当时,函数为减函数,
∴,且,
∴,
故选:D.
【点睛】关键点点睛:(1)根据极值点的概念,结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围,以及与之间的关系;
(2)将题意转化为关于的函数,构造出,利用导数判断单调性.
第II卷 非选择题(90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若直线与直线平行,则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行公式,列式即可求解.
【详解】根据两直线平行可得:解之得:.
故答案为:
14. 已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示,若据此利用最小二乘估计得到回归方程,则_______.
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 4 | 4.5 |
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意计算样本中心点,代入回归方程即可得到答案.
【详解】解:,,
所以样本中心点为:.
因为回归方程,样本中心点在回归方程上,
所以,解得:.
故答案为:3.
【点睛】本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数,考查学生的计算能力,属于基础题.
15. 已知直线,圆,若直线与圆相交于两点,则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出直线过的定点,当圆心和定点的连线垂直于直线时,取得最小值,结合即可求解.
【详解】
由题意知,圆,圆心,半径,
直线,,
,解得,故直线过定点,
设圆心到直线的距离为,则,可知当距离最大时,
有最小值,由图可知,时,最大,此时,
此时.故的最小值为.
故答案为:.
16. 函数的导函数为,若,且,则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设,求导,可得,利用导数求得单调性和极值,即可得答案.
【详解】设,
则,
所以,即,
所以,
所以,
令,解得x=1,
所以当时,,为减函数,
当时,,为增函数,
所以的最小值为.
故答案为:
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分
17. 为了调查某社区居民每天参加健身的时间,某机构在该社区随机采访男性、女性各50名,其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”,否则称其为"非健身族”,调查结果如下:
| 健身族 | 非健身族 | 合计 |
男性 | 40 | 10 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
(1)若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟,则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分时间分别是1.2小时,0.8小时,1.5小时,0.7小时,试估计该社区可否称为“健身社区”?
(2)根据以上数据,能否在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关?
参考公式: ,其中.
参考数据:
0. 50 | 0. 40 | 0. 25 | 0. 05 | 0. 025 | 0. 010 | |
0. 455 | 0 708 | 1. 321 | 3. 840 | 5. 024 | 6. 635 |
【答案】(1)该社区不可称为“健身社区”;(2)能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
【解析】
【分析】(1)计算平均数,再比较数据大小作出判断(2)先求卡方,再对照参考数据作出判断
【详解】(1)随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
小时,
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时,
因为1.15小时小时=70分钟,所以该社区不可称为“健身社区”;
(2)由联立表可得,
,
所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
【点睛】本题考查计算平均数以及卡方计算,考查基本分析求解判断能力,属基础题.
18. 已知函数.
(1)求在点处的切线;
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1);(2)最大值为,最小值为.
【解析】
【分析】(1)求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;
(2)判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.
【详解】(1),又,所以切线方程为,
即;
(2)由(1)知或,∴在上单减,在上单增,
又,∴在上的最大值为3,最小值为0.
【点睛】本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数的切线方程,单调性以及函数的最值,考查学生的运算能力与逻辑思维,属于中档题.
19. 如图所示的多面体,其正视图为直角三角形,侧视图为等边三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为PA的中点.
(1)求证:平面EBD;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)连接交于点,连接,则为的中位线,根据线面平行的判定定理,即可得证.
(2)设的中点为,设的中点为,连接,可证平面,再由椎体的体积公式求解即可
【小问1详解】
连接交于点,连接,
由已知可得 ,
∴平面,平面,
∴平面EBD;.
【小问2详解】
设的中点为,设的中点为,连接,
则易知,,
侧视图为正三角形,
,
由正视图可得:平面平面,
又平面,,平面平面,
所以平面,
又,
则平面,
由题意可知,
所以,
所以
20. 已知函数.
(1)令,讨论的极值;
(2)若时,恒成立,求正实数a的取值范围.
【答案】(1)见解析 (2).
【解析】
【分析】(1)求出的导数,讨论其符号后可得的极值.
(2)恒成立等价于恒成立,设,求出其导数后就、分类讨论导数的符号后可求参数的取值范围.
【小问1详解】
,则,
若,则,此时无极值;
若,由得;由得;
则在上为减函数,在上为增函数,
故在处取极小值且极小值为,
综上,当时,无极值;
当时,有极小值为,无极大值.
【小问2详解】
时,恒成立等价于恒成立,
设,则,
若,则,则为上的增函数,
故,故恒成立.
若,则当时,,
故在上为减函数,而,
故当时,成立,
这与题设矛盾,
故.
21. 已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过定点的直线交椭圆于不同的两点、(点在点、之间),且满足,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)代入点坐标,结合离心率,以及即得解;
(2)设直线方程,与椭圆联立,转化为,结合韦达定理和判别式,分析即得解
【小问1详解】
由题意可知:,解得:
椭圆的标准方程为:.
【小问2详解】
①当直线斜率不存在,方程为,则,.
②当直线斜率存在时,设直线方程为,
联立 得:.
由得:.
设,,
则,,
又,,,则,
,所以,所以 ,解得:,
又,
综上所述:的取值范围为.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
(选修4-4 极坐标与参数方程)
22. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)动点D在曲线C上,动点A,B均在直线l上,且,求△ABD面积的最小值.
【答案】(1)(y ≠ -1),
(2)6
【解析】
【分析】(1)先对曲线C的参数方程化简,然后利用正弦与余弦的平方和为1可求出其普通方程,由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求出l的直角坐标方程;
(2)设,求出点D到直线l的距离,化简变形后利用余弦函数的性质可求出的最小值,从而可求出△ABD面积的最小值.
【小问1详解】
对于曲线C,,,
所以.
因为当有意义时,,
所以,则,即,
所以C的普通方程为.
由,得,即,
将,代入上式,可得l的直角坐标方程为.
【小问2详解】
设,则点D到直线l的距离
,
所以当且仅当,即()时,d取得最小值,
,
所以△ABD面积的最小值为
(选修4-5 不等式选讲)
23. 已知函数,不等式的解集为.
(1)求的值;
(2)若三个实数,,,满足.证明:
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)依题意可得,即可得到方程组,解得即可;
(2)由(1)可知,则,利用柯西不等式即可证明.
【小问1详解】
∵不等式的解集为,
∴,即,∴,经检验得符合题意
【小问2详解】
∵,
∴
,
由柯西不等式可知:
,
∴,
即,
当且仅当,,时等号成立.
四川省泸州市泸县第五中学2024届高三一模文科数学试题(Word版附解析): 这是一份四川省泸州市泸县第五中学2024届高三一模文科数学试题(Word版附解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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