精品解析：湖北省黄冈市浠水县第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

浠水一中2023年高二年级下学期期末质量检测

数学试卷

考试时间：2023年6月30日      试卷满分150分

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）

1. 集合，，则=（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由交集与补集的定义求解即可.

【详解】因为集合，所以，所以.

故选：B.

2. 已知的值是（    ）

A. 3 B. 1 C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数值的定义计算即可.

【详解】根据导数值定义：.

故选：C

3. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，最终落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.

【详解】解：设这个球落入④号球槽为时间，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，

所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查独立重复试验，属于基础题.

4. 若为偶函数，则（    ）．

A.  B. 0 C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.

【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，

当时，，，解得或，

则其定义域为或，关于原点对称.

，

故此时为偶函数.

故选：B.

5. 一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．

【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，

则，，

则．

故选：A．

6. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则（    ）

A.  B. 2 C. 0 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得函数的周期为6，然后利用周期和，可求得结果.

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，

因为，所以，

所以，

所以的周期为6，

所以

，

故选：D

7. 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（    ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，，

A. 32 B. 64 C. 128 D. 256

【答案】C

【解析】

【分析】根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案.

【详解】根据题意，，

而，则，所以.

故选：C.

8. 已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由得，进而令，易知为偶函数，再结合当时，得函数在上单调递增，由于不等式转化为，进而根据偶函数的性质解即可.

【详解】∵，∴，

令，则，即为偶函数，

当时，

∴，即函数在上单调递增.

根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，

∵，

∴，

∴，即，

解得，，

故选：B.

【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性，解题的关键在于根据已知构造函数，进而将问题转化为，利用的性质求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. 下列四个命题中为真命题的是（    ）

A. 若随机变量服从二项分布，则

B. 若随机变量服从正态分布，且，则

C. 已知一组数据，，，…，的方差是5，则，，，…，的方差也是5

D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据二项分布的期望公式，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断B；根据方差的运算，即可判断C；将代入线性回归方程，即可求出的值.

【详解】对于A，由于，则，故A正确；

对于B，因为，

所以，

故，故B正确；

对于C，因为的方差与的方差相同，故C正确；

对于D，根据回归方程必过样本中心点，可得，解得，故D错误.

故选：ABC.

10. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.

A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1概率为

B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为

C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为

D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率，A正确；

对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为，B正确；

对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，

它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；

对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，

单次传输发送0，则译码为0的概率，而，

因此，即，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.

11. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由，写出展开式的通项，即可求出展开式的系数，即可得解.

【详解】因为，

又展开式的通项为（且），

所以，，

，，

，，故A正确；

所以，故B错误；

所以，故C正确；

所以，故D正确；

故选：ACD

12. 定义在R上的函数，的导函数为，，是偶函数.已知，，则（    ）

A. 是奇函数 B. 图象的对称轴是直线

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，利用题中条件解出，利用奇函数得定义即可；

对于B,对题中得两个条件进行变化，可得到，从而判定出的对称轴；

对于C,对题中得两个条件进行变化，对进行赋值，即可；

对于D,证明的性质，从而得到结论.

【详解】,，

，又

为奇函数，故A正确.

是偶函数，， 

则

又，则，

所以，则

则，，

故的图象关于对称，故B正确.

因为，所以，

令得，，

又，令，

得=，故C正确.

，，

又，是奇函数，

，是奇函数，

则，，

则，，

故，D错误.

故选：ABC.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知服从两点分布，且，则______．

【答案】0.7

【解析】

【分析】利用两点分布性质解答.

【详解】解：因为服从两点分布，所以．

故答案为：0.7

14. 在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.

【答案】450

【解析】

【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.

【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，

第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；

方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，

共有（种）不同的方案.

所以共有不同的安排方案.

故答案为：450.

15. 用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.

【详解】因为线性回归方程为恒过，

因为，所以，，

即，

所以，即.

故答案为：

16. 若对任意，恒有，则实数a的最小值为________．

【答案】

【解析】

【分析】由题， ，即符合积型同构，令，用导数法证在单调递增，则可得，最后令，用导数法证的单调性，求得最大值，即可得出结果

【详解】由，

令，则，

由得，由得，

所以在上递减，在上递增，所以，所以在单调递增．

则，

令，，由，得，由，得，

所以在上递增，在上递减，故，故，

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分.）

17. 已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值与最小值．

【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为   

（2）最大值为，最小值为

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）结合函数的极值与端点处的函数值，即可得解.

【小问1详解】

∵定义域为，且，

令或，令；

∴函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

【小问2详解】

由（1）可知：当时，取得极大值，

当时，取得极小值，

又，．

所以在区间上的最大值为，最小值为．

18. 已知在的展开式中第5项为常数项.

（1）求的值；

（2）求展开式中所有的有理项.

【答案】（1）   

（2），，

【解析】

【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，由常数项即可求解，

（2）由通项以及有理项的定义即可求解.

【小问1详解】

展开式的通项公式为

因为第5项为常数项，所以时，有，解得；

【小问2详解】

由题意得，，解得，4，7，

将其代入通项中可得，，

所以有理项分别为，，

19. 下表是某农村居民年至年家庭人均收入单位：万元．

（1）利用相关系数判断与的相关关系的强弱当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱，精确到；

（2）求关于的线性回归方程，并预测年该农村居民的家庭人均收入．

附：对于一组数据、、…、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，样本相关系数．   参考数据：．

【答案】（1）与的相关关系较强   

（2）；预测年该农村居民的家庭人均收入为万元

【解析】

【分析】（1）根据表中数据以及相关系数公式即可求解，然后根据范围可判断强弱；

（2）根据最小二乘法即可求回归方程，然后根据回归方程预测.

【小问1详解】

由表中数据可得，，

，

，，，

则，故与的相关关系较强；

【小问2详解】

由（1）可知，，

所以，

，

关于的线性回归方程为，

当时，，

故预测年该农村居民的家庭人均收入为万元．

20. 某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设“选到的学生语文成绩不优秀”，“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计的值.

附：

【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关   

（2）

【解析】

【分析】（1）零假设后，计算卡方的值与比较即可；

（2）根据条件概率公式计算即可.

【小问1详解】

零假设为：数学成绩与语文成绩独立，

即数学成绩与语文成绩无关，

根据表中数据计算得

根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，

故认为数学成绩与语文成绩有关.

【小问2详解】

，

所以估计的值为.

21. 某公司通过游戏获得积分以激励员工.游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的10个球，其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案.方案一：从甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；方案二：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出一个球，若摸出的是红球，则获得积分15分，否则得5分.

（1）某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？

（2）若某员工获得10次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为，当取得最大值时，求的值.

【答案】（1）选择方案一   

（2）15

【解析】

【分析】（1）选择方案一：法一，设出积分为，写出可能取值及相应的概率，求出分布列和期望；法二：设抽中红球的次数为，积分为，则，利用二项分布求解期望值；选择方案二：利用条件概率求出最终摸出红球的概率，进而得到积分的期望值，比较后得到结论；

（2）由题意得到，列出不等式组，求出答案.

【小问1详解】

选择方案一：法一：

因为甲袋中有5个红球和5个白球，故从甲袋中有放回地摸球，每次摸到红球的概率为，

由题意可得，设积分为，

可能取值为0，10，20，30，

，，

，，

则的分布列为

且；

法二：

由题意可得，设抽中红球的次数为，积分为，

因为，所以，

因为，所以；

若选择方案二：设事件“从甲袋摸球”，则事件“从乙袋摸球”，事件“摸出的是红球”，设方案二的积分为，

则，

则，

因为，所以选择方案一；

【小问2详解】

由题意得，则，

解得，又，即时，最大.

22. 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）函数有两个不同的极值点，证明：.

【答案】（1）答案见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解得增减区间；

（2）求出，由可得

这样只要证，即证，再利用，消去参数，然后设，进一步化二元为一元，再引入新函数，利用导数证明不等式成立．

【小问1详解】

（i）当时，，则在为增函数

（ii）当时，令得

当时，当时，

所以在为减函数，在为增函数

综上：当时，在为增函数

当时，在为减函数，在为增函数

【小问2详解】

，

则，

要证，只要证，即证

，所以

所以只要证，只要证

设，则只要证，所以只要证

设（），则，

设，则，

所以为减函数，所以，所以为增函数

所以，所以成立，所以原式得证.

【点睛】方法点睛：关于极值点的不等式证明方法，函数（其中含有参数）的极值点是，需要证明关于的不等式成立，由于其中含有三个参数，因此需要用消元法消元，最终得出一元不等式，对一元不等式再引入新函数，利用导数进行证明．消元方法是：由，可把参数用极值点表示，代入消去，然后再设，不等式转化为关于的不等式，化为一元不等式，从而易得证．