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2022-2023学年重庆市部分区高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年重庆市部分区高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市部分区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知A={x|−1
C. {x|0≤x≤1} D. {x|−1
A. ∃x∈R，ex≠x+1 B. ∀x∈R，ex≠x+1
C. ∃x∉R，ex=x+1 D. ∀x∉R，ex=x+1
3. 已知随机变量X的期望为E(X)=3，则E(3X+2)=( )
A. 9 B. 11 C. 27 D. 29
4. 已知a>b>0，下列不等式中正确的是( )
A. ca>cb B. ab
5. 实施乡村振兴战略是决胜全面建成小康社会、全面建设社会主义现代化国家的重大历史任务，是新时代做好“三农”工作的总抓手，某区聘请5名农业专家安排到三个乡镇作指导，每名专家只安排到一个乡镇，每个乡镇至少安排一名专家，其中专家A和B必须去同一个乡镇，则不同的安排方案的种数是( )
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
6. “m≤14”是“函数f(x)=13x3−12x2+mx+n有极值”的( )
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 一个盒子里装有6个小球，其中4个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球(不放回)，记事件Ak表示“第k次取出的球是黑球”，k=1，2，…，6，则不正确的是( )
A. P(A3)=23 B. P(A1A2)=25
C. P(A2|A1)=13 D. P(A5+A6)=1415
8. 若a= 2,b=e1e,c=π1π，则( )
A. a
9. 下列函数中，在(−∞,0)上为增函数的是( )
A. y= −x B. y=x1−x C. y=(12)|x| D. y=log2(−x)
10. 下列命题正确的是( )
A. 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B)
B. 随机变量X服从两点分布，则D(X)≥14
C. 在残差图中，残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内且水平带状区域宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D. 已知由一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)得到的经验回归力程为y =4x+20，1ni=1nxi=10，则这组数据中一定有(10,60)
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是( )
A. Cnr=Cn−1r−1+Cn−1r
B. 在“杨辉三角”第7行中，从左到右第5个数与第6个数之比为5：2
C. C72+4C73+6C74+4C75+C76=C116
D. 第10行所有数字的平方和为C2010
12. 若x，y∈R+，且满足x+y−xy+3=0，则下列结论正确的是( )
A. xy的最小值为3 B. xy的最小值为9
C. x+y的最小值为6 D. 1x−1+9y−1的最小值为3
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)= 2−x2+log2(x+12)，则f(x)的定义域为______ ．
14. 曲线y=sin2x的一条切线的斜率为1，则该切线的方程可以是______ (写出一个满足要求的答案)．
15. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件，小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检；从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取5个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购.假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占10%，则小张决定采购该企业产品的概率为______ ．
16. 偶函数f(x)定义域为(−π2,π2)，其导函数为f′(x)，若对∀x∈[0,π2)，有f′(x)cosx
17. (本小题10.0分)
在下列条件中①第4项与第8项的二项式系数相等，②只有第6项的二项式系数最大，③Cn0+Cn1+⋅⋅⋅+Cnn=1024(n∈N*)任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在(ax−14x)n(a>0)展开式中，____．
(1)求n的值；
(2)若其展开式中的常数项为405，求其展开式中所有项的系数的和．
18. (本小题12.0分)
党的二十大报告明确提出，要积极稳妥推进碳达峰碳中和，有计划分步骤实施碳达峰行动在国家“双碳”战略的指引下，某地相关部门出台了一系列支持新能源汽车产业发展的政策和购车优惠补贴，带动新能源汽车销量跑出“速度与激情”经调查统计，某新能源汽车公司的销售量逐步提高，如图所示，该新能源汽车公司在2023年1～5月份的销售量y(单位：万辆)与月份x的折线图．
(1)依据折线图计算x，y的相关系数r，并推断它们的相关程度；
(2)请建立y关于x的经验回归方程，并预测2023年8月份的销售量．
参考数据及公式：相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2．
在经验回归方程y =b x+a 中，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2．
19. (本小题12.0分)
某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩优秀
语文成绩不优秀
总计
数学成绩优秀
50
数学成绩不优秀
80
总计
已知从这200名高二学生中随机抽取1人语文成绩为优秀的概率为920．
(1)请完成如上的2×2列联表；
(2)根据α=0.001的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(3)在人工智能中常用L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计L(B|A)的值．
附：
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax−lnx−2．
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
21. (本小题12.0分)
2023年五一期间，某商城举办了一次有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．
方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球3个，白球2个，黑球5个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个红球2个黑球，则打8.8折；其余情况不打折；
方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减1500元．
(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；
(2)若某顾客消费怡好满1万元，试分析该顾客选择哪种抽奖方案更合算，并说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=(x−1)ex．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设h(x)=f(x)−aln(x−1)−ax，其中a>0，若h(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x|−1
故选：A．
求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查不等式性质、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：命题p：∃x∈R，ex=x+1，则p的否定为∀x∈R，ex≠x+1．
故选：B．
含有特称量词命题的否定：将特称改为全称，并对命题否定即可．
本题考查含有特称量词命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：随机变量X的期望为E(X)=3，则E(3X+2)=3E(X)+2=9+2=11．
故选：B．
根据离散型随机变量的期望公式，计算即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，c=0时，ca=cb=0，A错误，
对于B，ab−b2=a(a−b)，又由a>b>0，必有ab−b2>0，故ab>b2，B错误；
对于C，a>b>0，所以a−b>0,1a−b>0，所以a−b+1a−b≥2 (a−b)1a−b=2，C正确；
对于D，当a>1>b时，1a−1>0>1b−1，D错误；
故选：C．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查不等式的性质，涉及不等式的证明，属于基础题，
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为3组，要求专家A和B在同一组，有C31+C31C22=6种分组方法，
②将分好的三组安排到3个乡镇，有A33=6种情况，
则有6×6=36种不同的安排方法．
故选：D．
根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3组，要求专家A和B在同一组，②将分好的三组安排到3个乡镇，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：若函数f(x)=13x3−12x2+mx+n有极值，
则f′(x)=x2−x+m=0应该有解，即Δ=1−4m≥0，得m≤14；
由于极值点附近的单调性无法确定，根据函数极值的定义，
可知“m≤14”时，“函数f(x)=13x3−12x2+mx+n不一定有极值”，
所以“m≤14”是“函数f(x)=13x3−12x2+mx+n有极值”的必要不充分条件．
故选：B．
函数的导数有零点，且零点左右两侧单调性相反，函数才有极值，由此可判断．
本题考查极值点的定义，考查充分必要条件，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A：事件A3表示“第3次取出的球是黑球“，则P(A3)=C41⋅A55A66=23，所以A正确；
对于B：事件A1A2表示“第1，2次取出的球都是黑球”，则P(A1A2)=A42A62=25，所以B正确；
对于C：P(A2|A1)=P(A4A2)P(A1)=2546=35，所以C错误，
对于D：P(A5)=C41A55A66=23，P(A6)=C44A55A66=23，P(A5A6)=A44A42A66=25，
所以P(A5+A6)=P(A5)+P(A6)−P(A5A6)=23+23−25=1415，故D正确．
故选：C．
利用古典概型的概率公式及条件概率的概率公式计算可得．
本题考查概率的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：令f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当00，函数f(x)单调递增，
因为a= 2，所以lna=12ln2=ln44，
又e<3<4，所以f(e)>f(3)>f(4)，
所以lnb=lnee，lnc=lnππ，
所以lnb>lnc>lna，
故a
构造函数f(x)=lnxx，对f(x)求导，结合导数分析函数f(x)的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．
本题主要考查了导数与单调性在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A选项：y= −x在(−∞,0)上为减函数，所以A错误．
对于B选项：y=x1−x=−1+−1x−1在(−∞,0)上为增函数，所以B正确．
对于C选项：y=(12)|x|，因为x∈(−∞,0)，所以函数可化为y=2x，在(−∞,0)上为增函数，所以C正确．
对于D选项：y=log2(−x)在(−∞,0)上为减函数，所以D错误．
故选：BC．
根据初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
本题主要考查初等函数的图象与性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时有P(AB)=P(A)⋅P(B)，
根据条件概率公式可知P(B|A)=P(A)⋅P(B)P(A)=P(B)，故A正确；
随机变量X服从两点分布，则D(X)=p(1−p)≤(p+1−p2)2=14，当且仅当p=12时等号成立，故B错误；
在残差图中，残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内且水平带状区域宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故C正确；
由1ni=1nxi=10，求出x−=10，∴y−=60，即样本中心点为(10,60)，
但样本中不一定有(10,60)，故D错误．
故选：AC．
根据相互独立事件的概率、条件概率可判断A；由两点分布的方差与基本不等式判断B；由餐差点的分布与拟合效果间的关系判断C；由回归直线方程的性质判断D．
本题考查相互独立事件的概率、两点分布的方差及回归直线方程的性质，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由题中条件，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，
即Cnr=Cn−1r−1+Cn−1r，A正确；
对于B，因为在“杨辉三角”第7行中，从左到右第5个数与第6个数分别为C74、C75，
则有C74：C75=35：21=5：3，B错误；
对于C，由组合数的性质，C72+4C73+6C74+4C75+C76=10×35+5×21+7=462，C正确；
对于D，第1行所有数字的平方和为1+1=2=C21，
第2行所有数字的平方和为1+4+1=6=C42，
第3行所有数字的平方和为1+9+9+1=20=C63，
第4行所有数字的平方和为1+16+36+16+1=70=C84，
……
依次类推：第10行所有数字的平方和为C2010，D正确．
故选：ACD．
根据题意，结合“杨辉三角”的特点以及组合数的性质，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及组合数公式的性质，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A选项：由题干可得：0=x+y−xy+3≥2 xy−xy+3，
所以( xy)2−2 xy−3≥0， xy≥3，xy≥9，当且仅当x=y=3取得等号，
所以A选项错误，B选项正确；
由题干可得：0=x+y−xy+3≥x+y−(x+y)24+3，
所以(x+y)2−4(x+y)−12>0，x+y≥6，当且仅当x=y=3取得等号，所以C选项正确．
对于D选项：由题干可得：(x−1)(y−1)=4，x−1>0，y−1>0，
1x−1=y−14，∴1x−1+9y−1=y−14+9y−1≥2 y−14⋅9y−1=3，
当且仅当y−14=9y−1，即x=53，y=7取得等号，所以D正确．
故选：BCD．
利用基本不等式判断各个选项，其中D项中，先将原式变形为(x−1)(y−1)=4，再利用基本不等式判断．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】(−12, 2]
【解析】解：要使原函数有意义，则2−x2≥0x+12>0，解得−12
故答案为：(−12, 2].
由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14.【答案】x−y−π6+ 32=0(答案不唯一)
【解析】解：由y=sin2x，得y′=2sin2x，
由2sin2x=1，得sin2x=12，可得2x=2kπ+π6，或x=2kπ+5π6，k∈Z．
取x=π6，得y=sinπ3= 32，
则曲线y=sin2x的斜率为1的一条切线方程为y=1×(x−π6)+ 32，
即x−y−π6+ 32=0．
故答案为：x−y−π6+ 32=0(答案不唯一)．
求出原函数的导函数，利用导函数值为1求得一个切点的坐标，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
15.【答案】1736
【解析】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占10%，
含1个二等品的零件的包数占90%，
在含1个二等品的零件产品中，随机抽取5个零件，若抽取的5个零件都是一等品，其概率为P1=C95C105=12，
在含有2个二等品零件产品中，随机抽取5个零件，若抽取的5个零件都是一等品，其概率为P2=C85C105=29，
∴小张决定采购该企业产品的概率为P=910×12+110×29=1736．
故答案为：1736．
根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占90%，进而由古典概型和全概率的计算公式能求出结果．
本题考查古典概型、全概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】{x|−π2
F′(x)=f′(x)cosx+f(x)(−sinx)=f′(x)cosx−f(x)sinx，
因为对∀x∈[0,π2)，有f′(x)cosx
所以对∀x∈[0,π2)，有F′(x)<0成立，
所以F(x)在[0,π2)上单调递减，
因为f(x)为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，
所以F(−x)=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx=F(x)，
所以F(x)为偶函数，
所以F(x)在(−π2,0)上单调递增，
因为x∈(−π2,π2)，
所以cosx>0，
所以不等式2f(x)
所以x>π3或x<−π3，
又−π2
17.【答案】解：(1)若选①，因为第4项与第8项的二项式系数相等，即Cn3=Cn7，
所以根据组合数公式可知n=10，
若选②，因为只有第6项的二项式系数最大，所以可知共有11项，所以n=10，
若选③，因为Cn0+Cn1+⋯+Cnn=1024(n∈N*)，所以2n=1024，得n=10；
(2)由(1)可知二项式为(ax−14x)10(a>0)，
则其通项公式为Tr+1=C10r(ax)10−r(−14x)r=C10r⋅a10−r⋅(−1)r⋅x10−54r，
由10−54r=0，得r=8，
所以常数项为C108⋅a10−8⋅(−1)8=C108⋅a2，
因为展开式中的常数项为405，
所以C108⋅a2=4055，解得a=3或a=−3(舍去)，
所以二项式为(3x−14x)10，
所以其展开式中所有项的系数的和(3−1)10=210=1024．
【解析】(1)若选①，则根据组合数的公式可求出n的值；若选②，则根据二项式系数的性质可求出n的值；若选③，则根据所有项的二项式系数公式可求出n的值；(2)由(1)可得二项式为(ax−14x)10(a>0)，然后写出二项式展开式的通项公式，再结合常数项为405，可求出a的值，再令x=1可求出其展开式中所有项的系数的和．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：x−=1+2+3+4+55=3，y−=4+8+10+11+125=9，
i=15(xi−x−)(yi−y−)=(−2)×(−5)+(−1)×(−1)+0×1+1×2+2×3=19，
i=15(xi−x−)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，i=15(yi−y−)2=(−5)2+(−1)2+12+22+32=40，
(1)r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2i=15(yi−y−)2=19 10×40=1920=0.95>0.75，
∴y与x的线性相关性很强；
(2)b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=1910=1.9，a =y−−b x−=9−1.9×3=3.3．
∴y关于x的经验回归方程为y =1.9x+3.3．
取x=8，可得y =1.9×8+3.3=18.5．
即y关于x的经验回归方程为y =1.9x+3.3，预测2023年8月份的销售量为18.5万辆．
【解析】(1)直接利用相关系数公式求得r值，与0.75比较大小得结论；
(2)由已知求得b 与a 的值，可得经验回归方程，取x=8求得y 值即可．
本题考查线性相关系数与经验回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)因为从这200名高二学生中随机抽取1人语文成绩为优秀的概率为920，
所以语文成绩优秀的人数为90人，
补充完整的2×2列联表如下：
语文成绩优秀
语文成绩不优秀
总计
数学成绩优秀
50
30
80
数学成绩不优秀
40
80
120
总计
90
110
200
(2)X2=200×(50×80−40×30)290×110×80×120=4900297≈16.498>10.828，
故根据α=0.001的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联．
(3)P(B|A)=P(AB)P(A)=80200110200=811，
所以P(B−|A)=1−P(B|A)=1−811=311，
所以L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=811311=83．
【解析】(1)易知，语文成绩优秀的人数为90人，再补充完整2×2列联表，即可；
(2)计算X2的值，并与附录中的数据对比，即可作出判断；
(3)由条件概率公式计算P(B|A)，由对立事件概率的基本性质计算P(B−|A)，进而得解．
本题考查独立性检验，条件概率的计算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数f(x)=ax−lnx−2．
(1)当a=1时，函数f(x)=x−lnx−2，
x∈(0,+∞)，f′(x)=1−1x，
令f′(x)>0，则x>1；令f′(x)<0，则0
当x=1时，函数取极小值f(1)=1−ln1−2=−1，无极大值．
(2)令f(x)=ax−lnx−2=0，
因为x>0，所以a=lnx+2x，
记g(x)=lnx+2x，g′(x)=−1−lnxx2，
令g′(x)>0，则01e，
故g(x)在(0,1e)上单调递增，在(1e,+∞)上单调递减，
从而g(x)max=g(1e)=e，
因此当a>e时，直线y=a与y=g(x)的图象没有交点；
当a=e或a≤0时，直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点；
当0
当a=e或a≤0时，函数f(x)有1个零点；
当0
(2)可将f(x)=ax−lnx−2=0转化为a=lnx+2x，记g(x)=lnx+2x，求出函数g(x)=lnx+2x的单调性以及最值，最后根据函数g(x)的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)已知摸出2个红球和1个黑球，则打7折，
所以该顾客享受7折优惠的概率P=15C32CC103=18；
(2)选择方案一，设所付金额为X元，
则X的所有取值为：5000，7000，8800，10000，
P(X=5000)=C32C21C103=120，P(X=7000)=15C32CC103=18，
P(X=8800)=C31C52C103=14，P(X=10000)=1−120−18−14=2340，
此时E(X)=5000×120+7000×18+8800×14+10000×2340
=9075；
选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，
此时Z=10000−1500，
易得Y～B(3,310)，
所以E(Y)=3×310=910，
则E(Z)=E(10000−1500Y)=10000−1500E(Y)=8650，
因为8650<9075，
所以E(X)>E(Z)，
故该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
【解析】(1)由题意，利用古典概型的概率公式直接计算即可求解；
(2)先求出方案一的随机变量X的所有取值，再计算出对应的概率，得到分布列后，利用数学期望公式进行计算即可；再根据方案二满足二项分布，结合二项分布的数学期望公式进行求解，最后经过比对即可得到答案．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=(x−1)ex的定义域为R，
f′(x)=ex+(x−1)ex=xex，
令f′(x)=0得x=0，
所以在(0,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(−∞,0)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，单调递减区间为(−∞,0)．
(2)h(x)=f(x)−aln(x−1)−ax=(x−1)ex−aln(x−1)−ax，其中a>0，
则函数h(x)的定义域为{x|x>1}，
h′(x)=ex+(x−1)ex−a⋅1x−1−a=xex−a⋅1x−1−a=x(x−1)ex−a−a(x−1)x−1=x(x−1)ex−axx−1=xx−1⋅[(x−1)ex−a]，
因为x>1，
所以xx−1>0，
由(1)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(1)=0，
又a>0，
所以f(x)=(x−1)ex与y=a有交点，不妨设交点的恒坐标为x0，则(x0−1)ex0=a，
所以在(1,x0)上f(x)
所以当x=x0时，h(x)min=h(x0)=(x0−1)ex0−aln(x0−1)−ax0，
又(x0−1)ex0=a，
所以h(x)min=h(x0)=a−aln(x0−1)−ax0=a[1−ln(x0−1)−x0]=a[1−ln(x0−1)ex0]=a(1−lna)，
因为h(x)≥0恒成立，a>0，
所以1−lna≥0，
所以a≤e，
所以a的取值范围为(0,e]．
【解析】(1)求导分析f′(x)的符号，f(x)的单调性，即可得出答案．
(2)根据题意可得函数h(x)的定义域为{x|x>1}，求导分析h(x)的单调性，由(1)可得f(x)=(x−1)ex与y=a有交点，不妨设交点的横坐标为x0，则(x0−1)ex0=a，推出当x=x0时，h(x)min=a(1−lna)≥0，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
2022-2023学年重庆市部分区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知A={x|−1
C. {x|0≤x≤1} D. {x|−1
A. ∃x∈R，ex≠x+1 B. ∀x∈R，ex≠x+1
C. ∃x∉R，ex=x+1 D. ∀x∉R，ex=x+1
3. 已知随机变量X的期望为E(X)=3，则E(3X+2)=( )
A. 9 B. 11 C. 27 D. 29
4. 已知a>b>0，下列不等式中正确的是( )
A. ca>cb B. ab
5. 实施乡村振兴战略是决胜全面建成小康社会、全面建设社会主义现代化国家的重大历史任务，是新时代做好“三农”工作的总抓手，某区聘请5名农业专家安排到三个乡镇作指导，每名专家只安排到一个乡镇，每个乡镇至少安排一名专家，其中专家A和B必须去同一个乡镇，则不同的安排方案的种数是( )
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
6. “m≤14”是“函数f(x)=13x3−12x2+mx+n有极值”的( )
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 一个盒子里装有6个小球，其中4个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球(不放回)，记事件Ak表示“第k次取出的球是黑球”，k=1，2，…，6，则不正确的是( )
A. P(A3)=23 B. P(A1A2)=25
C. P(A2|A1)=13 D. P(A5+A6)=1415
8. 若a= 2,b=e1e,c=π1π，则( )
A. a
9. 下列函数中，在(−∞,0)上为增函数的是( )
A. y= −x B. y=x1−x C. y=(12)|x| D. y=log2(−x)
10. 下列命题正确的是( )
A. 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B)
B. 随机变量X服从两点分布，则D(X)≥14
C. 在残差图中，残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内且水平带状区域宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D. 已知由一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)得到的经验回归力程为y =4x+20，1ni=1nxi=10，则这组数据中一定有(10,60)
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是( )
A. Cnr=Cn−1r−1+Cn−1r
B. 在“杨辉三角”第7行中，从左到右第5个数与第6个数之比为5：2
C. C72+4C73+6C74+4C75+C76=C116
D. 第10行所有数字的平方和为C2010
12. 若x，y∈R+，且满足x+y−xy+3=0，则下列结论正确的是( )
A. xy的最小值为3 B. xy的最小值为9
C. x+y的最小值为6 D. 1x−1+9y−1的最小值为3
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)= 2−x2+log2(x+12)，则f(x)的定义域为______ ．
14. 曲线y=sin2x的一条切线的斜率为1，则该切线的方程可以是______ (写出一个满足要求的答案)．
15. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件，小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检；从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取5个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购.假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占10%，则小张决定采购该企业产品的概率为______ ．
16. 偶函数f(x)定义域为(−π2,π2)，其导函数为f′(x)，若对∀x∈[0,π2)，有f′(x)cosx
17. (本小题10.0分)
在下列条件中①第4项与第8项的二项式系数相等，②只有第6项的二项式系数最大，③Cn0+Cn1+⋅⋅⋅+Cnn=1024(n∈N*)任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在(ax−14x)n(a>0)展开式中，____．
(1)求n的值；
(2)若其展开式中的常数项为405，求其展开式中所有项的系数的和．
18. (本小题12.0分)
党的二十大报告明确提出，要积极稳妥推进碳达峰碳中和，有计划分步骤实施碳达峰行动在国家“双碳”战略的指引下，某地相关部门出台了一系列支持新能源汽车产业发展的政策和购车优惠补贴，带动新能源汽车销量跑出“速度与激情”经调查统计，某新能源汽车公司的销售量逐步提高，如图所示，该新能源汽车公司在2023年1～5月份的销售量y(单位：万辆)与月份x的折线图．
(1)依据折线图计算x，y的相关系数r，并推断它们的相关程度；
(2)请建立y关于x的经验回归方程，并预测2023年8月份的销售量．
参考数据及公式：相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2．
在经验回归方程y =b x+a 中，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2．
19. (本小题12.0分)
某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩优秀
语文成绩不优秀
总计
数学成绩优秀
50
数学成绩不优秀
80
总计
已知从这200名高二学生中随机抽取1人语文成绩为优秀的概率为920．
(1)请完成如上的2×2列联表；
(2)根据α=0.001的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(3)在人工智能中常用L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计L(B|A)的值．
附：
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax−lnx−2．
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
21. (本小题12.0分)
2023年五一期间，某商城举办了一次有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．
方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球3个，白球2个，黑球5个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个红球2个黑球，则打8.8折；其余情况不打折；
方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减1500元．
(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；
(2)若某顾客消费怡好满1万元，试分析该顾客选择哪种抽奖方案更合算，并说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=(x−1)ex．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设h(x)=f(x)−aln(x−1)−ax，其中a>0，若h(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x|−1
故选：A．
求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查不等式性质、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：命题p：∃x∈R，ex=x+1，则p的否定为∀x∈R，ex≠x+1．
故选：B．
含有特称量词命题的否定：将特称改为全称，并对命题否定即可．
本题考查含有特称量词命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：随机变量X的期望为E(X)=3，则E(3X+2)=3E(X)+2=9+2=11．
故选：B．
根据离散型随机变量的期望公式，计算即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，c=0时，ca=cb=0，A错误，
对于B，ab−b2=a(a−b)，又由a>b>0，必有ab−b2>0，故ab>b2，B错误；
对于C，a>b>0，所以a−b>0,1a−b>0，所以a−b+1a−b≥2 (a−b)1a−b=2，C正确；
对于D，当a>1>b时，1a−1>0>1b−1，D错误；
故选：C．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查不等式的性质，涉及不等式的证明，属于基础题，
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为3组，要求专家A和B在同一组，有C31+C31C22=6种分组方法，
②将分好的三组安排到3个乡镇，有A33=6种情况，
则有6×6=36种不同的安排方法．
故选：D．
根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3组，要求专家A和B在同一组，②将分好的三组安排到3个乡镇，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：若函数f(x)=13x3−12x2+mx+n有极值，
则f′(x)=x2−x+m=0应该有解，即Δ=1−4m≥0，得m≤14；
由于极值点附近的单调性无法确定，根据函数极值的定义，
可知“m≤14”时，“函数f(x)=13x3−12x2+mx+n不一定有极值”，
所以“m≤14”是“函数f(x)=13x3−12x2+mx+n有极值”的必要不充分条件．
故选：B．
函数的导数有零点，且零点左右两侧单调性相反，函数才有极值，由此可判断．
本题考查极值点的定义，考查充分必要条件，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A：事件A3表示“第3次取出的球是黑球“，则P(A3)=C41⋅A55A66=23，所以A正确；
对于B：事件A1A2表示“第1，2次取出的球都是黑球”，则P(A1A2)=A42A62=25，所以B正确；
对于C：P(A2|A1)=P(A4A2)P(A1)=2546=35，所以C错误，
对于D：P(A5)=C41A55A66=23，P(A6)=C44A55A66=23，P(A5A6)=A44A42A66=25，
所以P(A5+A6)=P(A5)+P(A6)−P(A5A6)=23+23−25=1415，故D正确．
故选：C．
利用古典概型的概率公式及条件概率的概率公式计算可得．
本题考查概率的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：令f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当0
因为a= 2，所以lna=12ln2=ln44，
又e<3<4，所以f(e)>f(3)>f(4)，
所以lnb=lnee，lnc=lnππ，
所以lnb>lnc>lna，
故a
构造函数f(x)=lnxx，对f(x)求导，结合导数分析函数f(x)的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．
本题主要考查了导数与单调性在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A选项：y= −x在(−∞,0)上为减函数，所以A错误．
对于B选项：y=x1−x=−1+−1x−1在(−∞,0)上为增函数，所以B正确．
对于C选项：y=(12)|x|，因为x∈(−∞,0)，所以函数可化为y=2x，在(−∞,0)上为增函数，所以C正确．
对于D选项：y=log2(−x)在(−∞,0)上为减函数，所以D错误．
故选：BC．
根据初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
本题主要考查初等函数的图象与性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时有P(AB)=P(A)⋅P(B)，
根据条件概率公式可知P(B|A)=P(A)⋅P(B)P(A)=P(B)，故A正确；
随机变量X服从两点分布，则D(X)=p(1−p)≤(p+1−p2)2=14，当且仅当p=12时等号成立，故B错误；
在残差图中，残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内且水平带状区域宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故C正确；
由1ni=1nxi=10，求出x−=10，∴y−=60，即样本中心点为(10,60)，
但样本中不一定有(10,60)，故D错误．
故选：AC．
根据相互独立事件的概率、条件概率可判断A；由两点分布的方差与基本不等式判断B；由餐差点的分布与拟合效果间的关系判断C；由回归直线方程的性质判断D．
本题考查相互独立事件的概率、两点分布的方差及回归直线方程的性质，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由题中条件，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，
即Cnr=Cn−1r−1+Cn−1r，A正确；
对于B，因为在“杨辉三角”第7行中，从左到右第5个数与第6个数分别为C74、C75，
则有C74：C75=35：21=5：3，B错误；
对于C，由组合数的性质，C72+4C73+6C74+4C75+C76=10×35+5×21+7=462，C正确；
对于D，第1行所有数字的平方和为1+1=2=C21，
第2行所有数字的平方和为1+4+1=6=C42，
第3行所有数字的平方和为1+9+9+1=20=C63，
第4行所有数字的平方和为1+16+36+16+1=70=C84，
……
依次类推：第10行所有数字的平方和为C2010，D正确．
故选：ACD．
根据题意，结合“杨辉三角”的特点以及组合数的性质，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及组合数公式的性质，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A选项：由题干可得：0=x+y−xy+3≥2 xy−xy+3，
所以( xy)2−2 xy−3≥0， xy≥3，xy≥9，当且仅当x=y=3取得等号，
所以A选项错误，B选项正确；
由题干可得：0=x+y−xy+3≥x+y−(x+y)24+3，
所以(x+y)2−4(x+y)−12>0，x+y≥6，当且仅当x=y=3取得等号，所以C选项正确．
对于D选项：由题干可得：(x−1)(y−1)=4，x−1>0，y−1>0，
1x−1=y−14，∴1x−1+9y−1=y−14+9y−1≥2 y−14⋅9y−1=3，
当且仅当y−14=9y−1，即x=53，y=7取得等号，所以D正确．
故选：BCD．
利用基本不等式判断各个选项，其中D项中，先将原式变形为(x−1)(y−1)=4，再利用基本不等式判断．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】(−12, 2]
【解析】解：要使原函数有意义，则2−x2≥0x+12>0，解得−12
故答案为：(−12, 2].
由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14.【答案】x−y−π6+ 32=0(答案不唯一)
【解析】解：由y=sin2x，得y′=2sin2x，
由2sin2x=1，得sin2x=12，可得2x=2kπ+π6，或x=2kπ+5π6，k∈Z．
取x=π6，得y=sinπ3= 32，
则曲线y=sin2x的斜率为1的一条切线方程为y=1×(x−π6)+ 32，
即x−y−π6+ 32=0．
故答案为：x−y−π6+ 32=0(答案不唯一)．
求出原函数的导函数，利用导函数值为1求得一个切点的坐标，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
15.【答案】1736
【解析】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占10%，
含1个二等品的零件的包数占90%，
在含1个二等品的零件产品中，随机抽取5个零件，若抽取的5个零件都是一等品，其概率为P1=C95C105=12，
在含有2个二等品零件产品中，随机抽取5个零件，若抽取的5个零件都是一等品，其概率为P2=C85C105=29，
∴小张决定采购该企业产品的概率为P=910×12+110×29=1736．
故答案为：1736．
根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占90%，进而由古典概型和全概率的计算公式能求出结果．
本题考查古典概型、全概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】{x|−π2
F′(x)=f′(x)cosx+f(x)(−sinx)=f′(x)cosx−f(x)sinx，
因为对∀x∈[0,π2)，有f′(x)cosx
所以对∀x∈[0,π2)，有F′(x)<0成立，
所以F(x)在[0,π2)上单调递减，
因为f(x)为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，
所以F(−x)=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx=F(x)，
所以F(x)为偶函数，
所以F(x)在(−π2,0)上单调递增，
因为x∈(−π2,π2)，
所以cosx>0，
所以不等式2f(x)
所以x>π3或x<−π3，
又−π2
17.【答案】解：(1)若选①，因为第4项与第8项的二项式系数相等，即Cn3=Cn7，
所以根据组合数公式可知n=10，
若选②，因为只有第6项的二项式系数最大，所以可知共有11项，所以n=10，
若选③，因为Cn0+Cn1+⋯+Cnn=1024(n∈N*)，所以2n=1024，得n=10；
(2)由(1)可知二项式为(ax−14x)10(a>0)，
则其通项公式为Tr+1=C10r(ax)10−r(−14x)r=C10r⋅a10−r⋅(−1)r⋅x10−54r，
由10−54r=0，得r=8，
所以常数项为C108⋅a10−8⋅(−1)8=C108⋅a2，
因为展开式中的常数项为405，
所以C108⋅a2=4055，解得a=3或a=−3(舍去)，
所以二项式为(3x−14x)10，
所以其展开式中所有项的系数的和(3−1)10=210=1024．
【解析】(1)若选①，则根据组合数的公式可求出n的值；若选②，则根据二项式系数的性质可求出n的值；若选③，则根据所有项的二项式系数公式可求出n的值；(2)由(1)可得二项式为(ax−14x)10(a>0)，然后写出二项式展开式的通项公式，再结合常数项为405，可求出a的值，再令x=1可求出其展开式中所有项的系数的和．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：x−=1+2+3+4+55=3，y−=4+8+10+11+125=9，
i=15(xi−x−)(yi−y−)=(−2)×(−5)+(−1)×(−1)+0×1+1×2+2×3=19，
i=15(xi−x−)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，i=15(yi−y−)2=(−5)2+(−1)2+12+22+32=40，
(1)r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2i=15(yi−y−)2=19 10×40=1920=0.95>0.75，
∴y与x的线性相关性很强；
(2)b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=1910=1.9，a =y−−b x−=9−1.9×3=3.3．
∴y关于x的经验回归方程为y =1.9x+3.3．
取x=8，可得y =1.9×8+3.3=18.5．
即y关于x的经验回归方程为y =1.9x+3.3，预测2023年8月份的销售量为18.5万辆．
【解析】(1)直接利用相关系数公式求得r值，与0.75比较大小得结论；
(2)由已知求得b 与a 的值，可得经验回归方程，取x=8求得y 值即可．
本题考查线性相关系数与经验回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)因为从这200名高二学生中随机抽取1人语文成绩为优秀的概率为920，
所以语文成绩优秀的人数为90人，
补充完整的2×2列联表如下：
语文成绩优秀
语文成绩不优秀
总计
数学成绩优秀
50
30
80
数学成绩不优秀
40
80
120
总计
90
110
200
(2)X2=200×(50×80−40×30)290×110×80×120=4900297≈16.498>10.828，
故根据α=0.001的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联．
(3)P(B|A)=P(AB)P(A)=80200110200=811，
所以P(B−|A)=1−P(B|A)=1−811=311，
所以L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=811311=83．
【解析】(1)易知，语文成绩优秀的人数为90人，再补充完整2×2列联表，即可；
(2)计算X2的值，并与附录中的数据对比，即可作出判断；
(3)由条件概率公式计算P(B|A)，由对立事件概率的基本性质计算P(B−|A)，进而得解．
本题考查独立性检验，条件概率的计算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数f(x)=ax−lnx−2．
(1)当a=1时，函数f(x)=x−lnx−2，
x∈(0,+∞)，f′(x)=1−1x，
令f′(x)>0，则x>1；令f′(x)<0，则0
当x=1时，函数取极小值f(1)=1−ln1−2=−1，无极大值．
(2)令f(x)=ax−lnx−2=0，
因为x>0，所以a=lnx+2x，
记g(x)=lnx+2x，g′(x)=−1−lnxx2，
令g′(x)>0，则0
故g(x)在(0,1e)上单调递增，在(1e,+∞)上单调递减，
从而g(x)max=g(1e)=e，
因此当a>e时，直线y=a与y=g(x)的图象没有交点；
当a=e或a≤0时，直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点；
当0
当a=e或a≤0时，函数f(x)有1个零点；
当0
(2)可将f(x)=ax−lnx−2=0转化为a=lnx+2x，记g(x)=lnx+2x，求出函数g(x)=lnx+2x的单调性以及最值，最后根据函数g(x)的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)已知摸出2个红球和1个黑球，则打7折，
所以该顾客享受7折优惠的概率P=15C32CC103=18；
(2)选择方案一，设所付金额为X元，
则X的所有取值为：5000，7000，8800，10000，
P(X=5000)=C32C21C103=120，P(X=7000)=15C32CC103=18，
P(X=8800)=C31C52C103=14，P(X=10000)=1−120−18−14=2340，
此时E(X)=5000×120+7000×18+8800×14+10000×2340
=9075；
选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，
此时Z=10000−1500，
易得Y～B(3,310)，
所以E(Y)=3×310=910，
则E(Z)=E(10000−1500Y)=10000−1500E(Y)=8650，
因为8650<9075，
所以E(X)>E(Z)，
故该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
【解析】(1)由题意，利用古典概型的概率公式直接计算即可求解；
(2)先求出方案一的随机变量X的所有取值，再计算出对应的概率，得到分布列后，利用数学期望公式进行计算即可；再根据方案二满足二项分布，结合二项分布的数学期望公式进行求解，最后经过比对即可得到答案．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=(x−1)ex的定义域为R，
f′(x)=ex+(x−1)ex=xex，
令f′(x)=0得x=0，
所以在(0,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(−∞,0)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，单调递减区间为(−∞,0)．
(2)h(x)=f(x)−aln(x−1)−ax=(x−1)ex−aln(x−1)−ax，其中a>0，
则函数h(x)的定义域为{x|x>1}，
h′(x)=ex+(x−1)ex−a⋅1x−1−a=xex−a⋅1x−1−a=x(x−1)ex−a−a(x−1)x−1=x(x−1)ex−axx−1=xx−1⋅[(x−1)ex−a]，
因为x>1，
所以xx−1>0，
由(1)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(1)=0，
又a>0，
所以f(x)=(x−1)ex与y=a有交点，不妨设交点的恒坐标为x0，则(x0−1)ex0=a，
所以在(1,x0)上f(x)
所以当x=x0时，h(x)min=h(x0)=(x0−1)ex0−aln(x0−1)−ax0，
又(x0−1)ex0=a，
所以h(x)min=h(x0)=a−aln(x0−1)−ax0=a[1−ln(x0−1)−x0]=a[1−ln(x0−1)ex0]=a(1−lna)，
因为h(x)≥0恒成立，a>0，
所以1−lna≥0，
所以a≤e，
所以a的取值范围为(0,e]．
【解析】(1)求导分析f′(x)的符号，f(x)的单调性，即可得出答案．
(2)根据题意可得函数h(x)的定义域为{x|x>1}，求导分析h(x)的单调性，由(1)可得f(x)=(x−1)ex与y=a有交点，不妨设交点的横坐标为x0，则(x0−1)ex0=a，推出当x=x0时，h(x)min=a(1−lna)≥0，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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