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【期末培优课堂】第4章《三角形》-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频易错核心专题手册（北师大版）
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这是一份【期末培优课堂】第4章《三角形》-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频易错核心专题手册（北师大版），文件包含第4章三角形教师版docx、第4章三角形学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
第4章 三角形
知识点01：三角形概念
1、在同一条直线上三条线段首尾顺次相接所组成图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
2、顶点是A、B、C三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形三条线段叫做三角形边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；
4、∠A、∠B、∠C为ΔABC三个内角。
知识点02：三角形中三边关系
1、三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b
（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；
（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）取值范围时，它取值范围为大于两边差而小于两边和，即.
知识点03：三角形中三角关系
1、三角形内角和定理：三角形三个内角和等于1800。
2、三角形按内角大小可分为三类：
（1）锐角三角形，即三角形三个内角都是锐角三角形；
（2）直角三角形，即有一个内角是直角三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对边AB称为直角三角表斜边，夹直角两边称为直角三角形直角边。
注：直角三角形性质：直角三角形两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角三角形。
3、判定一个三角形形状主要看三角形中最大角度数。
4、直角三角形面积等于两直角边乘积一半。
5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800性质。
6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角方程重要等量关系。
知识点04：三角形三条重要线段
1、三角形三条重要线段是指三角形角平分线、中线和高线。
2、三角形角平分线：
（1）三角形一个内角平分线与这个角对边相交，这个角顶点和交点之间线段叫做三角形角平分线。
（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。
3、三角形中线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点线段，叫做这个三角形中线。
（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。
4、三角形高线：
（1）从三角形一个顶点向它对边所在直线做垂线，顶点和垂足之间线段叫做三角形高线，简称为三角形高。
（2）任意三角形都有三条高线，它们所在直线相交于一点。
区 别
相 同
中 线
平分对边
三条中线交于三角形内部
（1）都是线段
（2）都从顶点画出
（3）所在直线相交于一点
角平分线
平分内角
三条角平分线交于三角表内部
高 线
垂直于对边（或其延长线）
锐角三角形：三条高线都在三角形内部
直角三角形：其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角表外部
知识点05：全等图形
1、两个能够重合图形称为全等图形。
2、全等图形性质：全等图形形状和大小都相同。
3、全等图形面积或周长均相等。
4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一可。
5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。
6、全等图形中对应角和对应线段都分别相等。
知识点06：全等分割
1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。
2、对一个图形全等分割：
（1）首先要观察分析该图形，发现图形构成特点；
（2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。
知识点07：全等三角形
1、能够重合两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。
2、用“≌”连接两个全等三角形，表示对应顶点字母写在对应位置上。
3、全等三角形性质：全等三角形对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等重要依据。
4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。
知识点08：全等三角形判定
1、三边对应相等两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
2、两角和它们夹边对应相等两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
3、两角和其中一角对边对应相等两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。
4、两边和它们夹角对应相等两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
5、注意以下内容
（1）三角形全等判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等。
（2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样两个三角形全等。
（3）两边及其中一边对角对应相等能判定两三角形全等。
6、熟练运用以下内容
（1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题关键。
（2）已知“SS”，可考虑A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”。
（3）已知“SA”，可考虑A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角另一边，即“SAS”。
（4）已知“AA”，可考虑A：任意一边，即“AAS”或“ASA”。
7、三角形稳定性：根据三角形全等判定方法（SSS）可知，只要三角形三边长度确定了，这个三角形形状和大小就完全确定了，三角形这个性质叫做三角形稳定性。
知识点09：作三角形
1、作图题一般步骤：
（1）已知，即将条件具体化；
（2）求作，即具体叙述所作图形应满足条件；
（3）分析，即寻找作图方法途径（通常是画出草图）；
（4）作法，即根据分析所得作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；
（5）证明，即验证所作图形正确性（通常省略写）。
2、熟练以下三种三角形作法及依据。
（1）已知三角形两边及其夹角，作三角形。
（2）已知三角形两角及其夹边，作三角形。
（3）已知三角形三边，作三角形。
知识点10：利用三角形全等测距离
1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形性质（对应边相等），把较难测量或无法测量距离转化成已知线段或较容易测量线段长度，从而得到被测距离。
2、运用全等三角形解决实际问题步骤：
（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；
（2）根据实际问题抽象出几何图形；
（3）结合图形和题意分析已知条件；
（4）找到解决问题途径。
知识点11：直角三角形全等条件
1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
2、“HL”是直角三角形特有判定条件，对非直角三角形是成立；
3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。
知识点12：分析-综合法
1、我们在平时解几何题时，采用解题方法通常有两种，综合法与分析法。
2、综合法：从问题条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题结论。
3、分析法：从问题结论出发，断寻找使结论成立条件，直至已知条件。
4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，△ABC，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，若△A1B1C1的面积是13，那么△ABC的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
解：连接AB1，A1C，BC1，
设△ABC的面积为2a，
∵A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，
∴△A1BC的面积＝△ABC的面积＝a，△AB1C的面积＝△ABC的面积＝a，△ABC1的面积＝△ABC的面积＝a，
∴△A1CB1的面积＝△A1BC的面积＝0.5a，△AB1C1的面积＝△AB1C的面积＝0.5a，△A1BC1的面积＝△ABC1的面积＝0.5a，
∵△A1B1C1的面积是13，
∴△ABC的面积+△A1BC的面积+△AB1C的面积+△ABC1的面积+△A1C1B的面积+△A1B1C的面积+△AB1C1的面积＝13，
∴2a+a+a+a+0.5a+0.5a+0.5a＝13，
∴6.5a＝13，
∴a＝2，
∴△ABC的面积＝2a＝4，
故选：A．
2．（2分）（2022春•东坡区期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，则∠N的度数为（ ）
A．22° B．27° C．30° D．37°
解：如图所示，∠NAC是三角形ABC的一个外角，
∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，
∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，
∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，
∵MN⊥CD，
∴在直角三角形OMC中，
∠COM＝90°﹣33°＝57°，
∵∠NOA与∠COM互为对顶角，
∴∠NOA＝∠COM＝57°，
∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．
故选：B．
3．（2分）（2021秋•南昌期末）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC的三个内角为∠A、∠B、∠C．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证法1：如图．
∵∠A＝100°，∠B＝30°，∠C＝50°，
（量角器测量）
∵100°+30°+50°＝180°，（计算所得）
∴∠A+∠B+∠C＝180°．（等量代换）
证法2：如图，延长BC到D，过点C作CE∥AB．
∴∠A＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角定义），
∴∠1+∠A+∠B＝180°（等量代换），
即∠A+∠B+∠ACB＝180°．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；
B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论证明，故选项B不符合题意；
C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；
D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．
故选：D．
4．（2分）（2021秋•通道县期末）如图，已知∠BAC＝∠DAC那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
解：A、∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），正确，故本选项错误；
B、根据CB＝CD，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，错误，故本选项正确；
C、∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（ASA），正确，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），正确，故本选项错误；
故选：B．
5．（2分）（2023春•广饶县期中）如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（ ）度．
A．84 B．111 C．225 D．201
解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴①中，∠2+∠4＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝（180°﹣42°）＝69°，故∠O1＝180°﹣69°＝111°；
②中，∠O2＝∠4﹣∠2＝[（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝∠A＝21°；
③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+180°﹣138°＝222°
故∠O3＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣×222°＝69°
∴∠O1+∠O2+∠O3＝111°+21°+69°＝201°
故选：D．
6．（2分）（2023春•钟楼区校级期中）如图，△ABC的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE的面积为17，则△ABC的面积是（ ）
A．54 B．51 C．42 D．41
解：如图所示，连接CF，
∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，
∴S△BCE＝S△ABD，
∴S四边形CDFE＝S△ABF＝17，
∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线，
∴S△BCE＝S△ABE，S△FCE＝S△FAE，
∴S△BCF＝S△BAF＝17，
同理可得，S△ACF＝S△BAF＝17，
∴S△BCF＝S△BAF＝S△ACF＝17，
∴S△ABC＝3S△BAF＝3×17＝51，
故选：B．
7．（2分）（2022春•历城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
8．（2分）（2022秋•广州期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜22﹣BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴AC＝为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，
即BC的长可能值有4个，
故选：A．
9．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（ ）
①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故选：B．
10．（2分）（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：
①∠DBE＝∠F；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③∠FEG＝∠ABE+∠C；
④2∠F＝∠BAC﹣∠C．其中正确有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确；
③∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵∠AEB＞∠FEG，
∴∠FEG＜∠ABE+∠C，故③错误；
④∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，故④正确；
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023•长春模拟）如图，将一副三角尺摆放在一起，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的较长直角边恰好重合，作AE⊥CD于点E，连结BE，则∠ABE的大小为 105° ．
解：如图，过点B作BF⊥AE于F，则四边形BCEF是矩形，△ABF是等腰直角三角形，
设AB＝a，则AD＝2a，BD＝＝a，
在Rt△BCD中，BC＝CD＝BD＝a，
在Rt△ABF中，AF＝BF＝AB＝＝CE，
在Rt△BCE中，∵tan∠CBE＝＝，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE
＝90°+45°﹣30°
＝105°，
故答案为：105°．
12．（2分）（2023春•锦江区校级期中）已知，如图，AC＝AE＝3，AD＝AB，∠ACB＝90°，AE∥CB，∠BAE＝∠DAC，DE与AC的延长线交于点F，若BC＝10，求CF＝ 2 ．
解：过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于点H，如图所示：
则∠DHA＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DHA，
∵AE∥CB，
∴∠BAE＝∠ABC，
∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠ABC＝∠DAC，
在△ABC和△DAH中，
，
∴△ABC≌△DAH（AAS），
∴DH＝AC，AH＝BC，
∵AE＝AC，
∴DH＝AE，
∵AE∥CB，
∴∠EAC+∠ACB＝180°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EAC＝90°，
在△AEF和△HDF中，
，
∴△AEF≌△HDF（AAS），
∴AF＝HF，
∵BC＝10，
∴AH＝BC＝10，
∴AF＝HF＝5，
∵AC＝3，
∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
13．（2分）（2023春•青羊区校级期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．
如图，点E在△ABC的边AC上，连结BE，作∠AEB的平分线交AB于点D，在BE上取点F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，则∠C的度数为 20°或84°． ．
解：∵∠BFD+∠BEC＝180°，∠BEC+∠AEB＝180°，
∴∠BFD＝∠AEB，
∴AC∥DF，
∴∠AED＝∠EDF，
∵∠EDF＝∠C，
∴∠C＝∠AED，
∴DE∥BC，
∴∠BED＝∠CBE，
∵DE平分∠AEB，
∴∠AED＝∠BED，
∴∠C＝∠CBE，
∵△BCE是“德馨三角形”，
∴当7∠C＝∠BEC时，则∠C+∠C+∠BEC＝180°，
解得：∠C＝20°；
当7∠BEC＝∠C时，∠C+∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝84°．
故答案为：20°或84°．
14．（2分）（2023春•香坊区校级期中）如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，连接CF，若DF＝2，AF＝6，BE：EC＝3：1，则S△ABC＝ 84 ．
解：∵AE⊥BD，DF＝2，AF＝6，
∴S△ADF＝＝6，
∵BD为△ABC的中线，
∴S△CDF＝S△ADF＝6，S△ABD＝S△BCD，
∴S△ABF＝S△BCF，
∵BE：EC＝3：1，
∴3S△CEF＝S△BEF，4S△ACE＝S△ABC，
∴S△ABF＝S△BCF＝4S△CEF，
∵S△ABC＝S△ABF+S△BCF+S△ACF，
∴4S△ACE＝S△ABF+S△BCF+S△ACF，
4（12+S△CEF）＝4S△CEF+4S△CEF+12，
解得：S△CEF＝9，
∴S△ACE＝9+12＝21，
∴S△ABC＝4×21＝84．
故答案为：84．
15．（2分）（2023春•深圳期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，△ABC的角平分线BD、CE交于点O，则∠BOC＝ 140° ．
解：∵BD平分∠ABC，则∠OBC＝∠ABC，
CE平分∠ACB，则∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣100°）＝40°，
∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
16．（2分）（2023春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝ 76° ．
解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE，
∴∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BDF，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠C＝90°，∠B＝62°
∴∠A＝90°﹣∠B＝28°，
∴∠BDF＝28°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝152°，
∴∠ADE＝∠ADF＝76°，
∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣28°﹣76°＝76°．
故答案为：76°．
17．（2分）（2023•龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D是线段AC上任意一点，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，AE＝m，CF＝n，则n+m的最大值是 15 ，最小值是 12 ．
解：在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，AH⊥BC于点H，
∴设BH＝x，
则CH＝14﹣x，
∴AB2﹣AH2＝AC2﹣CH2，
即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
即AH＝5，
∴BH＝＝＝12，
∴S△ABC＝BC•AH＝×14×12＝84，
由三角形面积公式，得S△ABD＝BD•AE＝xm，S△CBD＝BD•CF＝xn，
∴m＝，n＝，
∴y＝m+n＝+＝＝，
即y＝．
∵△ABC中AC边上的高为＝＝，
∴x的取值范围为≤x≤14．
∵m+n随x的增大而减小，
∴当x＝时，y的最大值为15，当x＝14时，y的最小值为12．
故答案为：15，12．
18．（2分）（2023春•武昌区校级期中）如图，在△ABC中，D为AC上一点，连接BD，∠A+∠C＝∠ABD，BD＝BA＝2，BC＝5，则△ABC的面积是 ．
解：延长CB，作AE⊥CB于点E，
∴∠EBA＝∠BAC+∠C，
∵∠BAC+∠C＝∠ABD，
∴∠EBA＝∠ABD，
作AF⊥BD于点F，
∴AE＝AF，
作BH⊥AD，
∵S△ABC＝•BC•AE＝AE，S△ABD＝•BD•AF＝AF，
∴S△ABC：S△ABD＝2：5，
∴AD：AC＝2：5，
设AD＝2x，
∴AC＝5x，DC＝3x，
∵BA＝BD，
∴AH＝DH＝x，
∴HC＝4x，
∴2²﹣x²＝5²﹣（4x）²，
∴x＝，
∵BH²＝2²﹣（）²，
∴BH＝，
∴S△ABC＝×5××＝．
故答案为：．
19．（2分）（2023春•开福区校级月考）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，则下列结论中：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③CA平分∠BCG；④∠ADC＝∠GCD．正确的结论是 ①②④ ．（填序号）
解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；
②∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，
∵∠CGE＝90°，
∴∠DFB＝∠CGE，故②正确；
③∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等，
∴CA不一定平分∠BCG，故③错误；
④∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故④正确．
故答案为：①②④．
20．（2分）（2022秋•南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ②③④ ．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•鄄城县期末）已知如图，AD是△ABC的角平分线，点D、E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠BEF+∠ADC＝180°．∠AFG与∠G相等吗？为什么？
解：∠AFG＝∠G，证明如下：
∵∠BEF+∠ADC＝180°（已知），
∠BEF+∠GED＝180°（平角的定义），
∴∠GED＝∠ADC（同角的补角相等）．
∴AD∥GE（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFG＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∠G＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∵AD是∠BAC的平分线（已知），
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），
∴∠AFG＝∠G（等量代换）．
22．（8分）（2022春•侯马市期末）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
（1）①若∠BAO＝60°，则∠D＝ 45 °；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数．
解：（1）①∵∠ABN是△AOB的一个外角，
∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，
∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，
∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，
∵∠ABC是△ABD的一个外角，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD
＝∠ABN﹣∠BAO
＝（∠ABN﹣∠BAO）
＝×90°
＝45°，
故答案为：45°；
②∠D的度数不会随A，B的运动而发生变化，
理由：∵∠ABN是△AOB的一个外角，
∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，
∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，
∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，
∵∠ABC是△ABD的一个外角，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD
＝∠ABN﹣∠BAO
＝（∠ABN﹣∠BAO）
＝×90°
＝45°，
∴∠D的度数不会随A，B的运动而发生变化；
（2）∵∠ABN是△AOB的一个外角，
∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，
∵∠ABC是△ABD的一个外角，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD，
∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD
＝∠ABN﹣∠BAO
＝（∠ABN﹣∠BAO）
＝×90°
＝30°，
∴∠D的度数为30°．
23．（8分）（2022春•钦北区期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）问题思考：按小明的思路，请你求出∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，请你判断∠APC与α，β之间有何数量关系，并说明你的理由；
（3）问题解决：我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．请你试试构造平行线解决以下问题．
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°；
（2）∠APC＝α+β，理由如下：
如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β，
（3）证明：如图3，过点A作MN∥BC，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
24．（8分）（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．
【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．
①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝ 25 °．
②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．
【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．
解：【探究】①∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，
∵BI平分∠ABO，
∴∠ABI＝∠ABO＝25°；
故答案为：25；
②不变，∠AIB＝135°．
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴，，
∴＝＝，
∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠AOB＝90°，
∴．
【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，
∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，
∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
25．（10分）（2023春•姑苏区校级月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝ 115 °，∠Q 25 °；
（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 45°或60°或120°或135° ．
解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝70°，
∴∠BCP＝∠ACB＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，
∵∠PDE＝∠ADE＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；
又∵∠ACQ＝∠ACF，
∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP＝（∠ACF+∠ACB）＝90°，
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
故答案为：115，25；
（2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化．
理由：由（1）得：∵∠PDE＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝115°；
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
（3）设∠A＝x，则，
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴，，
∴，，
因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
∴①当∠Q＝3∠QPC时，，
∴x＝135°，
②当∠QPC＝3∠Q时，，
∴x＝45°，
③当∠PCQ＝3∠Q时，，
∴x＝60°，
④当∠PCQ＝3∠QPC时，，
∴x＝120°，
综上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°．
故答案为：45°或60°或120°或135°．
26．（10分）（2022春•南安市期末）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BC上，
（1）如图1，点E在线段AC上，∠ADE＝∠AED，若∠CDE＝25°，则∠BAD＝ 50 °；
（2）如图2，AH平分∠BAD，点F在线段BD上，FH⊥AH交AD的延长线于点G，∠ACB与∠AGF的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段CD上，∠P＝m°时，求∠CFG的度数（用m°的代数式表示）．
解：（1）∵∠AED是△CDE的外角，∠CDE＝25°，
∴∠AED＝∠C+∠CDE＝∠C+25°，
又∵∠ADE＝∠AED，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2∠AED＝180°﹣2（∠C+25°），
△ABC中，∵∠B＝∠C，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣2∠C，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣2∠C﹣[180°﹣2（∠C+25°）]＝50°．
故答案为：50°；
（2）是定值，＝，
理由如下：
如图2中，延长GF交AB于点K．
设∠P＝x，∠CFG＝y．
∵AH⊥GK，∠HAG＝∠HAK，
∴∠HAK+∠HKA＝90°，∠HAG+∠HGA＝90°，
∴∠HGA＝∠HKA，
∴2∠2＝∠HKA＝∠B+∠BFK＝2∠1+y，①
由①得：∠2﹣∠1＝y，
∵∠1+x＝∠2+y，
∴2∠P＝3∠CFG．
故＝是定值；
（3）如图3中，延长FH交AB于点K，延长PG交BC于点N．设∠BFK＝y．
同法可证：∠HGA＝∠HKA，
∴180°﹣2∠2＝∠B+∠BFK＝2∠1+y，②
由②，得，③
∵∠BNP＝∠1+∠P，∠BNP＝∠BFK+∠FGN，
∴∠1+x＝y+180°﹣∠2，
∴∠1+∠2＝180°+y﹣x，④
由③④，得：
，
∴，
∵∠P＝m°，
∴，
∴．
27．（10分）（2022春•平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝ 146° ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
解：（1）如图，作CP∥a，
∵a∥b，CP∥a，
∴CP∥a∥b，
∴∠ACP＝∠AOG＝56°，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝180°﹣90°+∠AOG＝146°．
故答案为：146°；
（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由如下：
如图，作CP∥a，则CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∵∠NEF+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠OPN+∠NPQ＝∠GOP+∠PQF，
∵∠GOC＝∠GOP+∠POQ＝135°，
∴∠GOP＝135°﹣∠POQ，
∴∠OPQ＝135°﹣∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴135°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
综上所述，∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系是∠OPQ＝135°﹣∠POQ+∠PQF或135°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF
第4章 三角形
知识点01：三角形概念
1、在同一条直线上三条线段首尾顺次相接所组成图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
2、顶点是A、B、C三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形三条线段叫做三角形边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；
4、∠A、∠B、∠C为ΔABC三个内角。
知识点02：三角形中三边关系
1、三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b
（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；
（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）取值范围时，它取值范围为大于两边差而小于两边和，即.
知识点03：三角形中三角关系
1、三角形内角和定理：三角形三个内角和等于1800。
2、三角形按内角大小可分为三类：
（1）锐角三角形，即三角形三个内角都是锐角三角形；
（2）直角三角形，即有一个内角是直角三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对边AB称为直角三角表斜边，夹直角两边称为直角三角形直角边。
注：直角三角形性质：直角三角形两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角三角形。
3、判定一个三角形形状主要看三角形中最大角度数。
4、直角三角形面积等于两直角边乘积一半。
5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800性质。
6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角方程重要等量关系。
知识点04：三角形三条重要线段
1、三角形三条重要线段是指三角形角平分线、中线和高线。
2、三角形角平分线：
（1）三角形一个内角平分线与这个角对边相交，这个角顶点和交点之间线段叫做三角形角平分线。
（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。
3、三角形中线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点线段，叫做这个三角形中线。
（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。
4、三角形高线：
（1）从三角形一个顶点向它对边所在直线做垂线，顶点和垂足之间线段叫做三角形高线，简称为三角形高。
（2）任意三角形都有三条高线，它们所在直线相交于一点。
区 别
相 同
中 线
平分对边
三条中线交于三角形内部
（1）都是线段
（2）都从顶点画出
（3）所在直线相交于一点
角平分线
平分内角
三条角平分线交于三角表内部
高 线
垂直于对边（或其延长线）
锐角三角形：三条高线都在三角形内部
直角三角形：其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角表外部
知识点05：全等图形
1、两个能够重合图形称为全等图形。
2、全等图形性质：全等图形形状和大小都相同。
3、全等图形面积或周长均相等。
4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一可。
5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。
6、全等图形中对应角和对应线段都分别相等。
知识点06：全等分割
1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。
2、对一个图形全等分割：
（1）首先要观察分析该图形，发现图形构成特点；
（2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。
知识点07：全等三角形
1、能够重合两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。
2、用“≌”连接两个全等三角形，表示对应顶点字母写在对应位置上。
3、全等三角形性质：全等三角形对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等重要依据。
4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。
知识点08：全等三角形判定
1、三边对应相等两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
2、两角和它们夹边对应相等两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
3、两角和其中一角对边对应相等两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。
4、两边和它们夹角对应相等两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
5、注意以下内容
（1）三角形全等判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等。
（2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样两个三角形全等。
（3）两边及其中一边对角对应相等能判定两三角形全等。
6、熟练运用以下内容
（1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题关键。
（2）已知“SS”，可考虑A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”。
（3）已知“SA”，可考虑A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角另一边，即“SAS”。
（4）已知“AA”，可考虑A：任意一边，即“AAS”或“ASA”。
7、三角形稳定性：根据三角形全等判定方法（SSS）可知，只要三角形三边长度确定了，这个三角形形状和大小就完全确定了，三角形这个性质叫做三角形稳定性。
知识点09：作三角形
1、作图题一般步骤：
（1）已知，即将条件具体化；
（2）求作，即具体叙述所作图形应满足条件；
（3）分析，即寻找作图方法途径（通常是画出草图）；
（4）作法，即根据分析所得作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；
（5）证明，即验证所作图形正确性（通常省略写）。
2、熟练以下三种三角形作法及依据。
（1）已知三角形两边及其夹角，作三角形。
（2）已知三角形两角及其夹边，作三角形。
（3）已知三角形三边，作三角形。
知识点10：利用三角形全等测距离
1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形性质（对应边相等），把较难测量或无法测量距离转化成已知线段或较容易测量线段长度，从而得到被测距离。
2、运用全等三角形解决实际问题步骤：
（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；
（2）根据实际问题抽象出几何图形；
（3）结合图形和题意分析已知条件；
（4）找到解决问题途径。
知识点11：直角三角形全等条件
1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
2、“HL”是直角三角形特有判定条件，对非直角三角形是成立；
3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。
知识点12：分析-综合法
1、我们在平时解几何题时，采用解题方法通常有两种，综合法与分析法。
2、综合法：从问题条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题结论。
3、分析法：从问题结论出发，断寻找使结论成立条件，直至已知条件。
4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，△ABC，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，若△A1B1C1的面积是13，那么△ABC的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
解：连接AB1，A1C，BC1，
设△ABC的面积为2a，
∵A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，
∴△A1BC的面积＝△ABC的面积＝a，△AB1C的面积＝△ABC的面积＝a，△ABC1的面积＝△ABC的面积＝a，
∴△A1CB1的面积＝△A1BC的面积＝0.5a，△AB1C1的面积＝△AB1C的面积＝0.5a，△A1BC1的面积＝△ABC1的面积＝0.5a，
∵△A1B1C1的面积是13，
∴△ABC的面积+△A1BC的面积+△AB1C的面积+△ABC1的面积+△A1C1B的面积+△A1B1C的面积+△AB1C1的面积＝13，
∴2a+a+a+a+0.5a+0.5a+0.5a＝13，
∴6.5a＝13，
∴a＝2，
∴△ABC的面积＝2a＝4，
故选：A．
2．（2分）（2022春•东坡区期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，则∠N的度数为（ ）
A．22° B．27° C．30° D．37°
解：如图所示，∠NAC是三角形ABC的一个外角，
∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，
∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，
∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，
∵MN⊥CD，
∴在直角三角形OMC中，
∠COM＝90°﹣33°＝57°，
∵∠NOA与∠COM互为对顶角，
∴∠NOA＝∠COM＝57°，
∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．
故选：B．
3．（2分）（2021秋•南昌期末）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC的三个内角为∠A、∠B、∠C．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证法1：如图．
∵∠A＝100°，∠B＝30°，∠C＝50°，
（量角器测量）
∵100°+30°+50°＝180°，（计算所得）
∴∠A+∠B+∠C＝180°．（等量代换）
证法2：如图，延长BC到D，过点C作CE∥AB．
∴∠A＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角定义），
∴∠1+∠A+∠B＝180°（等量代换），
即∠A+∠B+∠ACB＝180°．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；
B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论证明，故选项B不符合题意；
C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；
D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．
故选：D．
4．（2分）（2021秋•通道县期末）如图，已知∠BAC＝∠DAC那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
解：A、∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），正确，故本选项错误；
B、根据CB＝CD，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，错误，故本选项正确；
C、∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（ASA），正确，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），正确，故本选项错误；
故选：B．
5．（2分）（2023春•广饶县期中）如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（ ）度．
A．84 B．111 C．225 D．201
解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴①中，∠2+∠4＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝（180°﹣42°）＝69°，故∠O1＝180°﹣69°＝111°；
②中，∠O2＝∠4﹣∠2＝[（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝∠A＝21°；
③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+180°﹣138°＝222°
故∠O3＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣×222°＝69°
∴∠O1+∠O2+∠O3＝111°+21°+69°＝201°
故选：D．
6．（2分）（2023春•钟楼区校级期中）如图，△ABC的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE的面积为17，则△ABC的面积是（ ）
A．54 B．51 C．42 D．41
解：如图所示，连接CF，
∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，
∴S△BCE＝S△ABD，
∴S四边形CDFE＝S△ABF＝17，
∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线，
∴S△BCE＝S△ABE，S△FCE＝S△FAE，
∴S△BCF＝S△BAF＝17，
同理可得，S△ACF＝S△BAF＝17，
∴S△BCF＝S△BAF＝S△ACF＝17，
∴S△ABC＝3S△BAF＝3×17＝51，
故选：B．
7．（2分）（2022春•历城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
8．（2分）（2022秋•广州期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜22﹣BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴AC＝为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，
即BC的长可能值有4个，
故选：A．
9．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（ ）
①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故选：B．
10．（2分）（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：
①∠DBE＝∠F；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③∠FEG＝∠ABE+∠C；
④2∠F＝∠BAC﹣∠C．其中正确有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确；
③∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵∠AEB＞∠FEG，
∴∠FEG＜∠ABE+∠C，故③错误；
④∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，故④正确；
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023•长春模拟）如图，将一副三角尺摆放在一起，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的较长直角边恰好重合，作AE⊥CD于点E，连结BE，则∠ABE的大小为 105° ．
解：如图，过点B作BF⊥AE于F，则四边形BCEF是矩形，△ABF是等腰直角三角形，
设AB＝a，则AD＝2a，BD＝＝a，
在Rt△BCD中，BC＝CD＝BD＝a，
在Rt△ABF中，AF＝BF＝AB＝＝CE，
在Rt△BCE中，∵tan∠CBE＝＝，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE
＝90°+45°﹣30°
＝105°，
故答案为：105°．
12．（2分）（2023春•锦江区校级期中）已知，如图，AC＝AE＝3，AD＝AB，∠ACB＝90°，AE∥CB，∠BAE＝∠DAC，DE与AC的延长线交于点F，若BC＝10，求CF＝ 2 ．
解：过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于点H，如图所示：
则∠DHA＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DHA，
∵AE∥CB，
∴∠BAE＝∠ABC，
∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠ABC＝∠DAC，
在△ABC和△DAH中，
，
∴△ABC≌△DAH（AAS），
∴DH＝AC，AH＝BC，
∵AE＝AC，
∴DH＝AE，
∵AE∥CB，
∴∠EAC+∠ACB＝180°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EAC＝90°，
在△AEF和△HDF中，
，
∴△AEF≌△HDF（AAS），
∴AF＝HF，
∵BC＝10，
∴AH＝BC＝10，
∴AF＝HF＝5，
∵AC＝3，
∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
13．（2分）（2023春•青羊区校级期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．
如图，点E在△ABC的边AC上，连结BE，作∠AEB的平分线交AB于点D，在BE上取点F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，则∠C的度数为 20°或84°． ．
解：∵∠BFD+∠BEC＝180°，∠BEC+∠AEB＝180°，
∴∠BFD＝∠AEB，
∴AC∥DF，
∴∠AED＝∠EDF，
∵∠EDF＝∠C，
∴∠C＝∠AED，
∴DE∥BC，
∴∠BED＝∠CBE，
∵DE平分∠AEB，
∴∠AED＝∠BED，
∴∠C＝∠CBE，
∵△BCE是“德馨三角形”，
∴当7∠C＝∠BEC时，则∠C+∠C+∠BEC＝180°，
解得：∠C＝20°；
当7∠BEC＝∠C时，∠C+∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝84°．
故答案为：20°或84°．
14．（2分）（2023春•香坊区校级期中）如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，连接CF，若DF＝2，AF＝6，BE：EC＝3：1，则S△ABC＝ 84 ．
解：∵AE⊥BD，DF＝2，AF＝6，
∴S△ADF＝＝6，
∵BD为△ABC的中线，
∴S△CDF＝S△ADF＝6，S△ABD＝S△BCD，
∴S△ABF＝S△BCF，
∵BE：EC＝3：1，
∴3S△CEF＝S△BEF，4S△ACE＝S△ABC，
∴S△ABF＝S△BCF＝4S△CEF，
∵S△ABC＝S△ABF+S△BCF+S△ACF，
∴4S△ACE＝S△ABF+S△BCF+S△ACF，
4（12+S△CEF）＝4S△CEF+4S△CEF+12，
解得：S△CEF＝9，
∴S△ACE＝9+12＝21，
∴S△ABC＝4×21＝84．
故答案为：84．
15．（2分）（2023春•深圳期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，△ABC的角平分线BD、CE交于点O，则∠BOC＝ 140° ．
解：∵BD平分∠ABC，则∠OBC＝∠ABC，
CE平分∠ACB，则∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣100°）＝40°，
∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
16．（2分）（2023春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝ 76° ．
解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE，
∴∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BDF，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠C＝90°，∠B＝62°
∴∠A＝90°﹣∠B＝28°，
∴∠BDF＝28°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝152°，
∴∠ADE＝∠ADF＝76°，
∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣28°﹣76°＝76°．
故答案为：76°．
17．（2分）（2023•龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D是线段AC上任意一点，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，AE＝m，CF＝n，则n+m的最大值是 15 ，最小值是 12 ．
解：在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，AH⊥BC于点H，
∴设BH＝x，
则CH＝14﹣x，
∴AB2﹣AH2＝AC2﹣CH2，
即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
即AH＝5，
∴BH＝＝＝12，
∴S△ABC＝BC•AH＝×14×12＝84，
由三角形面积公式，得S△ABD＝BD•AE＝xm，S△CBD＝BD•CF＝xn，
∴m＝，n＝，
∴y＝m+n＝+＝＝，
即y＝．
∵△ABC中AC边上的高为＝＝，
∴x的取值范围为≤x≤14．
∵m+n随x的增大而减小，
∴当x＝时，y的最大值为15，当x＝14时，y的最小值为12．
故答案为：15，12．
18．（2分）（2023春•武昌区校级期中）如图，在△ABC中，D为AC上一点，连接BD，∠A+∠C＝∠ABD，BD＝BA＝2，BC＝5，则△ABC的面积是 ．
解：延长CB，作AE⊥CB于点E，
∴∠EBA＝∠BAC+∠C，
∵∠BAC+∠C＝∠ABD，
∴∠EBA＝∠ABD，
作AF⊥BD于点F，
∴AE＝AF，
作BH⊥AD，
∵S△ABC＝•BC•AE＝AE，S△ABD＝•BD•AF＝AF，
∴S△ABC：S△ABD＝2：5，
∴AD：AC＝2：5，
设AD＝2x，
∴AC＝5x，DC＝3x，
∵BA＝BD，
∴AH＝DH＝x，
∴HC＝4x，
∴2²﹣x²＝5²﹣（4x）²，
∴x＝，
∵BH²＝2²﹣（）²，
∴BH＝，
∴S△ABC＝×5××＝．
故答案为：．
19．（2分）（2023春•开福区校级月考）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，则下列结论中：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③CA平分∠BCG；④∠ADC＝∠GCD．正确的结论是 ①②④ ．（填序号）
解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；
②∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，
∵∠CGE＝90°，
∴∠DFB＝∠CGE，故②正确；
③∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等，
∴CA不一定平分∠BCG，故③错误；
④∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故④正确．
故答案为：①②④．
20．（2分）（2022秋•南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ②③④ ．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•鄄城县期末）已知如图，AD是△ABC的角平分线，点D、E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠BEF+∠ADC＝180°．∠AFG与∠G相等吗？为什么？
解：∠AFG＝∠G，证明如下：
∵∠BEF+∠ADC＝180°（已知），
∠BEF+∠GED＝180°（平角的定义），
∴∠GED＝∠ADC（同角的补角相等）．
∴AD∥GE（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFG＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∠G＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∵AD是∠BAC的平分线（已知），
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），
∴∠AFG＝∠G（等量代换）．
22．（8分）（2022春•侯马市期末）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
（1）①若∠BAO＝60°，则∠D＝ 45 °；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数．
解：（1）①∵∠ABN是△AOB的一个外角，
∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，
∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，
∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，
∵∠ABC是△ABD的一个外角，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD
＝∠ABN﹣∠BAO
＝（∠ABN﹣∠BAO）
＝×90°
＝45°，
故答案为：45°；
②∠D的度数不会随A，B的运动而发生变化，
理由：∵∠ABN是△AOB的一个外角，
∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，
∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，
∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，
∵∠ABC是△ABD的一个外角，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD
＝∠ABN﹣∠BAO
＝（∠ABN﹣∠BAO）
＝×90°
＝45°，
∴∠D的度数不会随A，B的运动而发生变化；
（2）∵∠ABN是△AOB的一个外角，
∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，
∵∠ABC是△ABD的一个外角，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD，
∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD
＝∠ABN﹣∠BAO
＝（∠ABN﹣∠BAO）
＝×90°
＝30°，
∴∠D的度数为30°．
23．（8分）（2022春•钦北区期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）问题思考：按小明的思路，请你求出∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，请你判断∠APC与α，β之间有何数量关系，并说明你的理由；
（3）问题解决：我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．请你试试构造平行线解决以下问题．
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°；
（2）∠APC＝α+β，理由如下：
如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β，
（3）证明：如图3，过点A作MN∥BC，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
24．（8分）（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．
【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．
①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝ 25 °．
②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．
【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．
解：【探究】①∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，
∵BI平分∠ABO，
∴∠ABI＝∠ABO＝25°；
故答案为：25；
②不变，∠AIB＝135°．
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴，，
∴＝＝，
∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠AOB＝90°，
∴．
【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，
∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，
∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
25．（10分）（2023春•姑苏区校级月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝ 115 °，∠Q 25 °；
（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 45°或60°或120°或135° ．
解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝70°，
∴∠BCP＝∠ACB＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，
∵∠PDE＝∠ADE＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；
又∵∠ACQ＝∠ACF，
∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP＝（∠ACF+∠ACB）＝90°，
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
故答案为：115，25；
（2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化．
理由：由（1）得：∵∠PDE＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝115°；
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
（3）设∠A＝x，则，
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴，，
∴，，
因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
∴①当∠Q＝3∠QPC时，，
∴x＝135°，
②当∠QPC＝3∠Q时，，
∴x＝45°，
③当∠PCQ＝3∠Q时，，
∴x＝60°，
④当∠PCQ＝3∠QPC时，，
∴x＝120°，
综上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°．
故答案为：45°或60°或120°或135°．
26．（10分）（2022春•南安市期末）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BC上，
（1）如图1，点E在线段AC上，∠ADE＝∠AED，若∠CDE＝25°，则∠BAD＝ 50 °；
（2）如图2，AH平分∠BAD，点F在线段BD上，FH⊥AH交AD的延长线于点G，∠ACB与∠AGF的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段CD上，∠P＝m°时，求∠CFG的度数（用m°的代数式表示）．
解：（1）∵∠AED是△CDE的外角，∠CDE＝25°，
∴∠AED＝∠C+∠CDE＝∠C+25°，
又∵∠ADE＝∠AED，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2∠AED＝180°﹣2（∠C+25°），
△ABC中，∵∠B＝∠C，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣2∠C，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣2∠C﹣[180°﹣2（∠C+25°）]＝50°．
故答案为：50°；
（2）是定值，＝，
理由如下：
如图2中，延长GF交AB于点K．
设∠P＝x，∠CFG＝y．
∵AH⊥GK，∠HAG＝∠HAK，
∴∠HAK+∠HKA＝90°，∠HAG+∠HGA＝90°，
∴∠HGA＝∠HKA，
∴2∠2＝∠HKA＝∠B+∠BFK＝2∠1+y，①
由①得：∠2﹣∠1＝y，
∵∠1+x＝∠2+y，
∴2∠P＝3∠CFG．
故＝是定值；
（3）如图3中，延长FH交AB于点K，延长PG交BC于点N．设∠BFK＝y．
同法可证：∠HGA＝∠HKA，
∴180°﹣2∠2＝∠B+∠BFK＝2∠1+y，②
由②，得，③
∵∠BNP＝∠1+∠P，∠BNP＝∠BFK+∠FGN，
∴∠1+x＝y+180°﹣∠2，
∴∠1+∠2＝180°+y﹣x，④
由③④，得：
，
∴，
∵∠P＝m°，
∴，
∴．
27．（10分）（2022春•平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝ 146° ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
解：（1）如图，作CP∥a，
∵a∥b，CP∥a，
∴CP∥a∥b，
∴∠ACP＝∠AOG＝56°，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝180°﹣90°+∠AOG＝146°．
故答案为：146°；
（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由如下：
如图，作CP∥a，则CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∵∠NEF+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠OPN+∠NPQ＝∠GOP+∠PQF，
∵∠GOC＝∠GOP+∠POQ＝135°，
∴∠GOP＝135°﹣∠POQ，
∴∠OPQ＝135°﹣∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴135°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
综上所述，∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系是∠OPQ＝135°﹣∠POQ+∠PQF或135°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF
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