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2023湖北省部分市州高二下学期期末联合数学试卷含答案
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这是一份2023湖北省部分市州高二下学期期末联合数学试卷含答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年7月湖北省部分市州高二年级期末联合调研考试数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知直线l:x- 3y-1=0，则直线l的倾斜角为( )
A. 30∘ B. 60∘ C. 120∘ D. 150∘
2. 已知曲线y=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+3=0平行，则实数a等于( )
A. -32 B. -12 C. 1 D. 2
3. 下列命题中，错误的是( )
A. 若随机变量X~B(5,12),则D(X)=54
B. 若随机变量X~N(5,σ2),且P(3≤X≤5)=0.3,则P(X≥7)=0.2
C. 在回归分析中,若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好
D. 在回归分析中,若样本相关系数r越大,则成对样本数据的线性相关程度越强
4. “非”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一推”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一推长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从所在班级随机抽取了15名学生，根据测量数据的散点图发现x和y具有线性相关关系，其经验回归直线方程为y=6.5x+a，且i=115xi=270，i=115yi=2550.已知小明的右手一推长为20厘米，据此估计小明的身高为( )
A. 187厘米 B. 183厘米 C. 179厘米 D. 175厘米
5. 掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚向上的点数为奇数”，B=“第二枚向上的点数为3的倍数”，C=“向上的点数之和为8”，则( )
A. A与B互斥 B. A与C对立 C. A与B相互独立 D. B与C相互独立
6. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为( )
A. 54 B. 48 C. 42 D. 36
7. 已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=3n+54n+6，则a7b8=( )
A. 23 B. 34 C. 1013 D. 1319
8. 已知a= e-1，b=ln32，c=sin12，其中e=2.71828⋯为自然对数的底数，则( )
A. b
A. 第8项的系数为36 B. 常数项为-84
C. 各二项式系数之和为512 D. 各项系数之和为0
10. “嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则以下说法正确的是( )
A. 椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-r
B. 椭圆轨道Ⅱ的短轴长为 Rr
C. 若r不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随R的增大而增大
D. 若R不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随r的增大而增大
11. 某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第k站参观甲地的景点”为事件Ak，k=1，2，⋯，7，则( )
A. P(A6)=37 B. P(A2|A1)=13 C. P(A1+A2)=27 D. P(A2A3)=1249
12. 在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，设三棱锥P-ABC的体积为V，直线PB与平面ABC所成的角为α，则下列说法正确的是( )
A. 若PA+PC= 10，则V的最大值为 2
B. 若PA+PC= 10，则α的最大值为30∘
C. 若直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为30∘，60∘，则α不可能为90∘
D. 若直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为30∘，60∘，则V的最小值为 63
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，4%，5%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5: 3: 2，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为 ．
14. 6名大学毕业生到绿水村、青山村、人和村担任村官，每名毕业生只去一个村，绿水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，则不同的安排方法共有 种.
15. 已知双曲线C:x2-y23=1.则其渐近线方程为 ;设A，B分别为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C上一点.若PA的斜率为1，则tan∠APB= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
16. 若x>0时，不等式(x-a)ex+a+1>0恒成立，则整数a的最大值为 ．
17. 在等比数列{an}中，a2=4，4a1+a3=16．
(I)求数列an的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log2an，求数列1bnbn+1的前n项和Sn．
18. 已知函数f(x)=x3-2x2+ax+1．
(I)当a=-4时，求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间(13,3)上有极值点，求实数a的取值范围．
19. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=CD=2，∠ABC=60∘.将△ACD沿AC折起，使得AD⊥BC，如图2．
(I)求证：平面ACD⊥平面ABC;
(Ⅱ)在线段BD上是否存在点E，使得平面ACE与平面BCD的夹角的余弦值为 64，若存在，求BEBD的值;若不存在，请说明理由．
20. 某年级对“热爱篮球运动与性别是否有关”作了一次调查，被调查的男、女生人数均为4n(n∈N*)，其中男生热爱篮球运动的人数占被调查男生人数的34，女生热爱篮球运动的人数占被调查女生人数的12.若根据独立性检验认为热爱篮球运动与性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05．
(I)求被调查的学生中男生人数的所有可能结果;
(Ⅱ)当被调查的学生人数取最小值时，现从被调查的热爱篮球运动的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人参加某篮球赛事的志愿活动，再从这10人中任选4人担任助理裁判.设4名助理裁判中女生人数为X，求X的分布列和均值．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)，点P(m,4)(m<0)在抛物线C上，且点P到抛物线C的焦点的距离为174．
(I)求p;
(Ⅱ)设圆M:x2+(y-2)2=1，点Q是圆M上的动点.过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于A，B两点，求△ABQ的面积S的最大值．
22. 已知函数f(x)=exax(x>0)和g(x)=axlnx(x>1)有相同的最小值．
(I)求a;
(Ⅱ)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
【解答】
解：直线x- 3y-1=0，即y= 33x- 33，
故直线的斜率等于 33，
设直线的倾斜角等于α，则0≤α<π，
且tanα= 33，故α=30∘．
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义以及直线平行的应用，属于基础题．
利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率，利用直线平行它们的斜率相等列方程求解
【解答】
解：因为y'=ex+a，于是切线的斜率k=y'| x=0=1+a，
∵切线与直线2x-y+3=0平行 ∴有1+a=2 ∴a=1
故选C.
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二项分布的方差、正态分布的概率、残差、样本相关系数，属于基础题.
利用二项分布的方差公式求出D(X)，即可判定A；利用P（X＞7）=0.5-P(X≥7)，即可判定B；利用残差的概念即可判定C；利用样本相关系数的概念，即可判定D.
【解答】
解：A选项，因为随机变量X~B（5，12），
所以D（X）=np（1-p）=5×12×12=54，故A正确；
B选项，随机变量X～N（5，σ2），且P(3≤X≤5)=0.3，
所以P（5≤X≤7）=P（3≤X≤5）=0.3，
所以P(X≥7)=0.5-P（5≤X≤7）=0.5-0.3=0.2，故B正确；
C选项，在回归分析中,若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好，故C正确；
D选项，在回归分析中,样本相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故D错误.
故选D.
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查回归直线方程，考查数学运算能力，属于基础题．
由题意易求出x和y，又由回归直线恒过点(x,y)可求出a，继而得到回归直线方程，最后代入小明的右手一拃长的数据即可估计小明的身高．
【解答】
解：由i=115xi=270，i=115yi=2550，
可得x=i=115xi15=18，y=i=115yi15=170，
又回归直线恒过点(x,y)，
则a=y-6.5x=53，
所以y=6.5x+53，
又小明的右手一拃长为20厘米，
代入得y=6.5×20+53=183(厘米)，
故选B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式，属于基础题．
用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．
【解答】
解：用x表示第一枚骰子向上的点数，y表示第二枚骰子向上的点数，
则数对(x,y)表示两枚骰子的情况，
则所有可能情况有：
(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，
(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，
(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，
(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，
(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，
(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，(6,6)，共36个结果．
显然事件A与事件B可以同时发生，如出现(1,3)，
故事件A与事件B不互斥，故A错误;
显然事件A与事件C可以同时发生，如出现(5,3)，
故事件A与事件C不对立，故B错误;
可求得P(A)=1836=12，P(B)=1236=13，
A∩B可能的情况有：(1,3)，(3,3)，(5,3)，(1,6)，(3,6)，(5,6)，共6个结果，
则P(AB)=636=16=P(A)P(B)，
所以A与B相互独立，故C正确；
C可能的情况有：(6,2)，(5,3)，(4,4)，(3,5)，(2,6)，共5个结果，
则P(C)=536=13，
B∩C可能的情况有：(5,3)，(2,6)，共2个结果，
则P(BC)=236=118≠P(B)P(C)，
所以B与C不相互独立，故D错误．
故选C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查相邻的排列问题，主要考查学生的数学应用和转化能力，属于基础题．
首先求出甲乙名次相邻的排列数，再求出甲得到冠军且甲乙名次相邻的排列数，即可得解．
【解答】
解：由题意知乙和甲的名次相邻．排列数为A22A44=2×24=48,
甲得到冠军且甲乙名次相邻的排列数为A33=6,
所以甲没得到冠军且甲乙名次相邻的排列数为42
故答案为：42．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了等差数列的前n项和，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
由题意，设Sn=kn(3n+5)，(k≠0)，则Tn=kn(4n+6)，用Sn，Tn分别表示出a7，b8，代入即可得到a7b8的值．
【解答】
解：依题意，数列{an}、{bn}是等差数列，且SnTn=3n+54n+6，
设Sn=kn(3n+5)，(k≠0)，则Tn=kn(4n+6)，
所以a7b8=S7-S6T8-T7=182k-138k304k-238k=23．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用导数比较大小，构造函数是解题的关键，属于拔高题．
构造函数fx=ex-1-sinx以及函数gx=lnx+1-sinx，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小．
【解答】
解：令fx=ex-1-sinx，∴f'x=ex-cosx，
当x⩾0时，ex⩾1，∴ex-cos x⩾0，
∴f'(x)⩾0，fx在[0,+∞)上单调递增，
∴f(12)>f(0)，即e12-1-sin12>0，
∴ e-1>sin12，即a>c，
令g(x)=ln (x+1)-sin x，
∴g'(x)=1x+1-cos x=1-(x+1)cos xx+1=1-xcos x-cos xx+1，
令h(x)=1-xcos x-cos x，∴h'(x)=(x+1)sin x-cos x
令φ(x)=(x+1)sin x-cos x，∴φ'(x)=2sin x+(x+1)cos x，
当00，∴h'(x)单调递增，
∴h'(x)
∴g(12)
9.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查二项展开式特定项的系数及二项式定理的应用，属于基础题．
根据二项展开式的通项可判断AB;根据二项式系数之和为2n可判断C；令x=1可得各项系数之和可判断D．
【解答】
解：由题意(1 x-x)9的展开式的通项为Tr+1=C9rx-9-r2-1rxr=-1rC9rx3r-92，
令r=7，则第8项的系数为-17C97=-36，故A错误；
令3r-92=0，得r=3，所以常数项是-13C93=-84，故B正确；
由二项式系数的性质知，二项式系数之和为29=512，故C正确；
令x=1，则(1-1)9=09=0，所以各项系数之和为0，故D正确．
故选：BCD．
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查求椭圆的离心率(或取值范围)、椭圆的长短轴，属于中档题．
根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为a+c，a-c，分别结合圆的半径R和r分析选项即可求解．
【解答】
解：由题可知圆轨道Ⅰ的半径为R，
Ⅱ为椭圆，设为 x2a2+ y2b2=1，所以a+c=R①，
Ⅲ为圆形轨道，半径为r，所以a-c=r②，
对于A：椭圆Ⅱ的焦距为2c，
①-②得，2c=R-r，故A正确；
对于B，由于a=R+r2，c=R-r2，
所以2b=2 a2-c2=2 Rr，故B错误；
对于C，e= ca= R-r2R+r2= R-rR+r=1- 2rR+r=1- 2Rr+1，
r不变，R越大， Rr越大， 2Rr+1越小，则e越大，故C正确；
对于D，e= ca= R-r2R+r2= R-rR+r=1- 2rR+r=1- 2Rr+1，
R不变，r越小， Rr越大， 2Rr+1越小，则e越大，故D错误．
故选AC．
11.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算，条件概率，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
利用古典概型的计算公式，概率的基本性质，相互独立事件的概率乘法公式，条件概率解题即可．
【解答】
解：对于A，显然P(A6)=37，故A正确；
对于B，P(A1)=37，P(A1A2)=37×26=17，
所以P(A2|A1)=P(A1A2)P(A1)=1737=13，故B正确；
对于C，P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=37+37-17=57，故C错误;
对于D，P(A2A3)=37×26×45+47×36×35=27，故D错误．
故选AB．
12.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的轨迹、棱锥体积、线面夹角问题，属难题．
【解答】
解：在平面中，若PA+PC= 10>2 2=AC，点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，其中
a= 102，b= 22，那么在空间中，点P的轨迹为椭球面(点P不在平面ABC上)．
Vmax=13×2× 22= 23，A错误．
当PB与椭球面相切时，且P到椭球面中心距离最短时，α取最大值，
此时sinα=b 2=12，且α为锐角，所以α的最大值为30∘，B正确．
若α=90∘，则PB⊥平面ABC，因AB=BC，则直线PA，PC与平面ABC所成的角相等，
不合题意，C正确．
对于选项D，作PO⊥平面ABC，O为垂足，则∠PAO=30∘，∠PCO=60∘，
设PO=h>0，则AO= 3h，CO= 33h，由AO+CO≥AC知4 33h≥2 2，即h≥ 62，
则Vmin=13×2× 62= 63，D正确，答案为BCD．
13.【答案】13250
【解析】
【分析】
本题考查全概率公式及条件概率的计算，属于基础题.
【解答】
解：设事件B为此人患有流感， A1， A2， A3分别代表此人来自A、B、C三个地区，
根据题意可知： P(A1)=55+3+2=12，
P(A2)=35+3+2=310，
P(A3)= 25+3+2=15，
P( B|A1)=0.06，P( B|A2)=0.04，P(B|A3)=0.05，
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=12×0.06+310×0.04+ 15×0.05=13250．
故答案为13250．
14.【答案】60
【解析】
【分析】
本题考查分步乘法计数原理、组合与组合数公式 ，属于基础题．
根据分步乘法计数原理即可解答．
【解答】
解：可以按照先选1名学生去青山村，再选择2名学生去绿水村，剩下3名安排到人和村，
安排方法有
故答案为60．
15.【答案】y=± 3x
12
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的性质，属中档题．
【解答】
解：双曲线C:x2-y23=1的渐近线方程为y=± 3x；
直线PA的斜率为1，得其方程为y=x+1，直线方程与双曲线方程联立，可得P点坐标为(2,3)，tan∠APB=kPB-kPA1+kPBkPA=12．
16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立，利用导数解决函数最小值问题，零点存在性定理的应用，考查计算能力．
首先对原不等进行转化得x>0时，a
解：法1:不等式可化为xex+1>a(ex-1)，由x>0，知ex>1，则x>0时，a
g'(x)=ex-1>0，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(1)=e-3<0，g(2)=e2-4>0，
则g(x)在(1,2)上存在唯一的零点x0，当0x0时，
f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(x0)=x0ex0+1ex0-1，且ex0=x0+2，
化简得f(x0)=x0+1，因1
由h'(x)>0得x>a-1，则h(x)在(0,a-1)上单调递减，在(a-1,+∞)上单调递增，
则h(x)min=h(a-1)=-ea-1+a+1>0，令A(a)=-ea-1+a+1，a>1，A'(a)=-ea-1+1<0，
则A(a)在(1,+∞)上单调递减，A(2)=3-e>0，A(3)=4-e2<0，则整数a的最大值为2．
17.【答案】解：(I)方法一：设数列an的公比为q，则16q+4q=16，
即q2-4q+4=0，则q=2，a1=2
所以数列an的通项公式为an=2n．
方法二：:设数列{an}的公比为q，则a1q=44a1+a1q2=16,
解得q=2，a1=2
所以数列an的通项公式为an=2n．
(Ⅱ)由(I)可得bn=log2an=log22n=n，
则1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1
所以Sn=(1-12)+(12-13)+⋯+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1．
【解析】本题考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
(Ⅰ)利用等比数列的定义的应用求出数列的通项公式；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
18.【答案】解：(I) f'(x)=3x2-4x-4，由f'(x)>0得x<-23或x>2．
则f(x)在(-∞,-23)，(2,+∞)上单调递增，在(-23,2)上单调递减．
(Ⅱ)依题知，f'(x)=3x2-4x+a在(13,3)上有变号零点，
由3x2-4x+a=0，得a=4x-3x2，令g(x)=4x-3x2=x(4-3x)，
g(x)在(13,23)上单调递增，在(23,3)上单调递减，
且g(13)=1，g(23)=43，g(3)=-15
则-15
借助函数图象可知，解得-15
【解析】本题考查导数研究函数单调性，极值问题，属中档题．
19.【答案】解：(I)在图1中，∠DAC=∠DCA=30∘，由∠DCB=120∘知
∠ACB=90∘，即BC⊥AC
在图2中，由BC⊥AC，BC⊥AD，AC∩AD=A，知BC⊥平面ACD
由BC⊂平面ABC，得平面ACD⊥平面ABC．
或：在△ACD中，AD=CD=2，∠ADC=120∘，由余弦定理得AC=2 3，
在△ABC中，由正弦定理知2 3sin60∘=2sin∠BAC，sin∠BAC=12，且∠BAC为锐角，
则∠BAC=30∘，∠ACB=90∘，即BC⊥AC
下同法1(略)
(Ⅱ)以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，过C且垂直于底面所在直线为z轴，建系
则B(0,2,0)，D( 3,0,1)，A(2 3,0,0)，
BE=λBD=( 3λ,-2λ,λ)，λ∈[0,1]，则E( 3λ,-2λ+2,λ)
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，
则有CA⋅n=0CE⋅n=0，即2 3x=0 3λx+(-2λ+2)y+λz=0，
则x=0，令y=λ，z=2λ-2，所以n=(0,λ,2λ-2)
同理可得平面BCD的一个法向量为m=(-1,0, 3)
cosθ=|cos|=|n⋅m|nm=| 3(2λ-2)|2 λ2+(2λ-2)2= 64
解得λ=23或λ=2(舍)，则存在这样的点E，且BEBD=23．
【解析】本题考查空间中线面的垂直关系、二面角的求法，熟练运用空间中面面垂直的性质定理，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(I)整理得到如下列联表：
性别
篮球运动
合计
热爱
不热爱
男生
3n
n
4n
女生
2n
2n
4n
合计
5n
3n
8n
则χ2=8n(6n2-2n2)24n⋅4n⋅5n⋅3n=815n
由3.841≤815n<6.635，
解得7.2≤n<12.4，则n=8，9，10，11，12
故男生人数可能为32、36、40、44、48．
(Ⅱ)由(I)知，共调查64人，热爱篮球运动的男生、女生各有24人、16人
参加志愿活动的10人中，男生有6人，女生有4人
由题意知X服从超几何分布
概率分布为P(X=k)=C4kC64-kC104，k=0，1，2，3，4
均值E(X)=4×25=85．
(Ⅱ)中概率分布的另外形式：X可取0，1，2，3，4
P(X=0)=C64C104=114P(X=1)=C41C63C104=821P(X=2)=C42C62C104=37
P(X=3)=C43C61C104=435P(X=4)=C44C104=1210
则X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
114
821
37
435
1210
E(X)=821+67+1235+14210=336210=85．
【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题．
(Ⅰ)先得出列联表，由公式计算χ2，由犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，解出即可；
(Ⅱ)由题意知X服从超几何分布，可得X的分布列和均值．
21.【答案】解：(I)由题知准线方程为y=-p2，则4+p2=174，得p=12．
(Ⅱ)抛物线的方程为x2=y，点P的坐标为(-2,4)，依题知过点P的直线斜率必存在
设过点P的直线方程为y-4=k(x+2)，圆心到该直线的距离为|-2+2k+4| 1+k2
由直线与圆相切，所以|-2+2k+4| 1+k2=1，解得k1,2=-4± 73
联立x2=yy-4=k(x+2)，消y得x2-kx-2k-4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)
不妨设x1=k1+2=-4+ 73+2=2+ 73，x2=k2+2=-4- 73+2=2- 73
故A(2+ 73,11+4 79)，B(2- 73,11-4 79)，得kAB=43，
所以直线AB:y-11+4 79=43(x-2+ 73)，即4x-3y+1=0
圆心M到直线的距离为d=|-6+1|5=1，|AB|= √1+169|xA-xB|=10 79
所以Smax=12×10 79×2=10 79．
(Ⅱ)另解：易知P(-2,4)，设A(x1,x12)，B(x2,x22)，kAB=x12-x22x1-x2=x1+x2，
则直线AB的方程为y-x12=(x1+x2)(x-x1)，即(x1+x2)x-y-x1x2=0，
同理，直线PA的方程为(x1-2)x-y+2x1=0
直线PB的方程为(x2-2)x-y+2x2=0
则|2x1-2| (x1-2)2+1=|2x2-2| (x2-2)2+1=1，即x1和x2是方程3x2-4x-1=0的两个根，
则x1+x2=43，x1x2=-13，所以直线AB的方程为4x-3y+1=0
圆心M到直线AB的距离为d=|-6+1|5=1
此时|AB|= 1+169|x1-x2|=53 (x1+x2)2-4x1x2=53×2 73=10 79
所以Smax=12×10 79×2=10 79．
【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，属较难题．
22.【答案】解：(I)f'(x)=ex⋅ax-ex⋅a(ax)2=ex(ax-a)(ax)2，令f'(x)=0得x=1，
g'(x)=alnx-a(lnx)2，令g'(x)=0得x=e，
当a>0时，f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f(x)min=f(1)=ea，
g(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增，所以g(x)min=g(e)=ae，
由ea=ae，得a=1，
当a<0时，f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，无最小值，不合题意，
综上所述，a=1．
(II)由(I)知，f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，g(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)
单调递增，g(x)min=e，则直线y=b与f(x)、g(x)最多有4个交点．
当x∈(1,e)时，令h(x)=f(x)-g(x)，则h(x)在(1,e)上单调递增，当x→1时，h(x)→-∞，
h(e)=ee-e2e>0，则h(x)在(1,e)上有唯一的零点x0，即存在x0∈(1,e)，使得f(x0)=g(x0)，
取b=f(x0)=g(x0)满足题意，使得直线y=b与f(x)、g(x)恰有三个交点，
分别记为A(x1,b)，B(x0,b)，C(x2,b)，不妨设0
而b=f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)，即
由ex1x1=x0lnx0得ex1x1=eln x0ln x0，即f(x1)=f(lnx0)，又x0∈(1,e)，lnx0∈(0,1)，x1∈(0,1)，
而f(x)在(0,1)单调，所以x1=lnx0．
又由得ex0lnex0=x2lnx2，即g(ex0)=g(x2)，又x2∈(e,+∞)，ex0∈(e,+∞)，
而g(x)在(e,+∞)单调，所以ex0=x2．
由x1=lnx0，ex0=x2得x1x2=ex0lnx0=x02，原命题得证．
2023年7月湖北省部分市州高二年级期末联合调研考试数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知直线l:x- 3y-1=0，则直线l的倾斜角为( )
A. 30∘ B. 60∘ C. 120∘ D. 150∘
2. 已知曲线y=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+3=0平行，则实数a等于( )
A. -32 B. -12 C. 1 D. 2
3. 下列命题中，错误的是( )
A. 若随机变量X~B(5,12),则D(X)=54
B. 若随机变量X~N(5,σ2),且P(3≤X≤5)=0.3,则P(X≥7)=0.2
C. 在回归分析中,若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好
D. 在回归分析中,若样本相关系数r越大,则成对样本数据的线性相关程度越强
4. “非”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一推”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一推长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从所在班级随机抽取了15名学生，根据测量数据的散点图发现x和y具有线性相关关系，其经验回归直线方程为y=6.5x+a，且i=115xi=270，i=115yi=2550.已知小明的右手一推长为20厘米，据此估计小明的身高为( )
A. 187厘米 B. 183厘米 C. 179厘米 D. 175厘米
5. 掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚向上的点数为奇数”，B=“第二枚向上的点数为3的倍数”，C=“向上的点数之和为8”，则( )
A. A与B互斥 B. A与C对立 C. A与B相互独立 D. B与C相互独立
6. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为( )
A. 54 B. 48 C. 42 D. 36
7. 已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=3n+54n+6，则a7b8=( )
A. 23 B. 34 C. 1013 D. 1319
8. 已知a= e-1，b=ln32，c=sin12，其中e=2.71828⋯为自然对数的底数，则( )
A. b
A. 第8项的系数为36 B. 常数项为-84
C. 各二项式系数之和为512 D. 各项系数之和为0
10. “嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则以下说法正确的是( )
A. 椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-r
B. 椭圆轨道Ⅱ的短轴长为 Rr
C. 若r不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随R的增大而增大
D. 若R不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随r的增大而增大
11. 某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第k站参观甲地的景点”为事件Ak，k=1，2，⋯，7，则( )
A. P(A6)=37 B. P(A2|A1)=13 C. P(A1+A2)=27 D. P(A2A3)=1249
12. 在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，设三棱锥P-ABC的体积为V，直线PB与平面ABC所成的角为α，则下列说法正确的是( )
A. 若PA+PC= 10，则V的最大值为 2
B. 若PA+PC= 10，则α的最大值为30∘
C. 若直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为30∘，60∘，则α不可能为90∘
D. 若直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为30∘，60∘，则V的最小值为 63
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，4%，5%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5: 3: 2，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为 ．
14. 6名大学毕业生到绿水村、青山村、人和村担任村官，每名毕业生只去一个村，绿水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，则不同的安排方法共有 种.
15. 已知双曲线C:x2-y23=1.则其渐近线方程为 ;设A，B分别为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C上一点.若PA的斜率为1，则tan∠APB= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
16. 若x>0时，不等式(x-a)ex+a+1>0恒成立，则整数a的最大值为 ．
17. 在等比数列{an}中，a2=4，4a1+a3=16．
(I)求数列an的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log2an，求数列1bnbn+1的前n项和Sn．
18. 已知函数f(x)=x3-2x2+ax+1．
(I)当a=-4时，求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间(13,3)上有极值点，求实数a的取值范围．
19. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=CD=2，∠ABC=60∘.将△ACD沿AC折起，使得AD⊥BC，如图2．
(I)求证：平面ACD⊥平面ABC;
(Ⅱ)在线段BD上是否存在点E，使得平面ACE与平面BCD的夹角的余弦值为 64，若存在，求BEBD的值;若不存在，请说明理由．
20. 某年级对“热爱篮球运动与性别是否有关”作了一次调查，被调查的男、女生人数均为4n(n∈N*)，其中男生热爱篮球运动的人数占被调查男生人数的34，女生热爱篮球运动的人数占被调查女生人数的12.若根据独立性检验认为热爱篮球运动与性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05．
(I)求被调查的学生中男生人数的所有可能结果;
(Ⅱ)当被调查的学生人数取最小值时，现从被调查的热爱篮球运动的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人参加某篮球赛事的志愿活动，再从这10人中任选4人担任助理裁判.设4名助理裁判中女生人数为X，求X的分布列和均值．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)，点P(m,4)(m<0)在抛物线C上，且点P到抛物线C的焦点的距离为174．
(I)求p;
(Ⅱ)设圆M:x2+(y-2)2=1，点Q是圆M上的动点.过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于A，B两点，求△ABQ的面积S的最大值．
22. 已知函数f(x)=exax(x>0)和g(x)=axlnx(x>1)有相同的最小值．
(I)求a;
(Ⅱ)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
【解答】
解：直线x- 3y-1=0，即y= 33x- 33，
故直线的斜率等于 33，
设直线的倾斜角等于α，则0≤α<π，
且tanα= 33，故α=30∘．
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义以及直线平行的应用，属于基础题．
利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率，利用直线平行它们的斜率相等列方程求解
【解答】
解：因为y'=ex+a，于是切线的斜率k=y'| x=0=1+a，
∵切线与直线2x-y+3=0平行 ∴有1+a=2 ∴a=1
故选C.
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二项分布的方差、正态分布的概率、残差、样本相关系数，属于基础题.
利用二项分布的方差公式求出D(X)，即可判定A；利用P（X＞7）=0.5-P(X≥7)，即可判定B；利用残差的概念即可判定C；利用样本相关系数的概念，即可判定D.
【解答】
解：A选项，因为随机变量X~B（5，12），
所以D（X）=np（1-p）=5×12×12=54，故A正确；
B选项，随机变量X～N（5，σ2），且P(3≤X≤5)=0.3，
所以P（5≤X≤7）=P（3≤X≤5）=0.3，
所以P(X≥7)=0.5-P（5≤X≤7）=0.5-0.3=0.2，故B正确；
C选项，在回归分析中,若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好，故C正确；
D选项，在回归分析中,样本相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故D错误.
故选D.
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查回归直线方程，考查数学运算能力，属于基础题．
由题意易求出x和y，又由回归直线恒过点(x,y)可求出a，继而得到回归直线方程，最后代入小明的右手一拃长的数据即可估计小明的身高．
【解答】
解：由i=115xi=270，i=115yi=2550，
可得x=i=115xi15=18，y=i=115yi15=170，
又回归直线恒过点(x,y)，
则a=y-6.5x=53，
所以y=6.5x+53，
又小明的右手一拃长为20厘米，
代入得y=6.5×20+53=183(厘米)，
故选B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式，属于基础题．
用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．
【解答】
解：用x表示第一枚骰子向上的点数，y表示第二枚骰子向上的点数，
则数对(x,y)表示两枚骰子的情况，
则所有可能情况有：
(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，
(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，
(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，
(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，
(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，
(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，(6,6)，共36个结果．
显然事件A与事件B可以同时发生，如出现(1,3)，
故事件A与事件B不互斥，故A错误;
显然事件A与事件C可以同时发生，如出现(5,3)，
故事件A与事件C不对立，故B错误;
可求得P(A)=1836=12，P(B)=1236=13，
A∩B可能的情况有：(1,3)，(3,3)，(5,3)，(1,6)，(3,6)，(5,6)，共6个结果，
则P(AB)=636=16=P(A)P(B)，
所以A与B相互独立，故C正确；
C可能的情况有：(6,2)，(5,3)，(4,4)，(3,5)，(2,6)，共5个结果，
则P(C)=536=13，
B∩C可能的情况有：(5,3)，(2,6)，共2个结果，
则P(BC)=236=118≠P(B)P(C)，
所以B与C不相互独立，故D错误．
故选C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查相邻的排列问题，主要考查学生的数学应用和转化能力，属于基础题．
首先求出甲乙名次相邻的排列数，再求出甲得到冠军且甲乙名次相邻的排列数，即可得解．
【解答】
解：由题意知乙和甲的名次相邻．排列数为A22A44=2×24=48,
甲得到冠军且甲乙名次相邻的排列数为A33=6,
所以甲没得到冠军且甲乙名次相邻的排列数为42
故答案为：42．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了等差数列的前n项和，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
由题意，设Sn=kn(3n+5)，(k≠0)，则Tn=kn(4n+6)，用Sn，Tn分别表示出a7，b8，代入即可得到a7b8的值．
【解答】
解：依题意，数列{an}、{bn}是等差数列，且SnTn=3n+54n+6，
设Sn=kn(3n+5)，(k≠0)，则Tn=kn(4n+6)，
所以a7b8=S7-S6T8-T7=182k-138k304k-238k=23．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用导数比较大小，构造函数是解题的关键，属于拔高题．
构造函数fx=ex-1-sinx以及函数gx=lnx+1-sinx，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小．
【解答】
解：令fx=ex-1-sinx，∴f'x=ex-cosx，
当x⩾0时，ex⩾1，∴ex-cos x⩾0，
∴f'(x)⩾0，fx在[0,+∞)上单调递增，
∴f(12)>f(0)，即e12-1-sin12>0，
∴ e-1>sin12，即a>c，
令g(x)=ln (x+1)-sin x，
∴g'(x)=1x+1-cos x=1-(x+1)cos xx+1=1-xcos x-cos xx+1，
令h(x)=1-xcos x-cos x，∴h'(x)=(x+1)sin x-cos x
令φ(x)=(x+1)sin x-cos x，∴φ'(x)=2sin x+(x+1)cos x，
当0
∴h'(x)
∴g(12)
9.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查二项展开式特定项的系数及二项式定理的应用，属于基础题．
根据二项展开式的通项可判断AB;根据二项式系数之和为2n可判断C；令x=1可得各项系数之和可判断D．
【解答】
解：由题意(1 x-x)9的展开式的通项为Tr+1=C9rx-9-r2-1rxr=-1rC9rx3r-92，
令r=7，则第8项的系数为-17C97=-36，故A错误；
令3r-92=0，得r=3，所以常数项是-13C93=-84，故B正确；
由二项式系数的性质知，二项式系数之和为29=512，故C正确；
令x=1，则(1-1)9=09=0，所以各项系数之和为0，故D正确．
故选：BCD．
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查求椭圆的离心率(或取值范围)、椭圆的长短轴，属于中档题．
根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为a+c，a-c，分别结合圆的半径R和r分析选项即可求解．
【解答】
解：由题可知圆轨道Ⅰ的半径为R，
Ⅱ为椭圆，设为 x2a2+ y2b2=1，所以a+c=R①，
Ⅲ为圆形轨道，半径为r，所以a-c=r②，
对于A：椭圆Ⅱ的焦距为2c，
①-②得，2c=R-r，故A正确；
对于B，由于a=R+r2，c=R-r2，
所以2b=2 a2-c2=2 Rr，故B错误；
对于C，e= ca= R-r2R+r2= R-rR+r=1- 2rR+r=1- 2Rr+1，
r不变，R越大， Rr越大， 2Rr+1越小，则e越大，故C正确；
对于D，e= ca= R-r2R+r2= R-rR+r=1- 2rR+r=1- 2Rr+1，
R不变，r越小， Rr越大， 2Rr+1越小，则e越大，故D错误．
故选AC．
11.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算，条件概率，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
利用古典概型的计算公式，概率的基本性质，相互独立事件的概率乘法公式，条件概率解题即可．
【解答】
解：对于A，显然P(A6)=37，故A正确；
对于B，P(A1)=37，P(A1A2)=37×26=17，
所以P(A2|A1)=P(A1A2)P(A1)=1737=13，故B正确；
对于C，P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=37+37-17=57，故C错误;
对于D，P(A2A3)=37×26×45+47×36×35=27，故D错误．
故选AB．
12.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的轨迹、棱锥体积、线面夹角问题，属难题．
【解答】
解：在平面中，若PA+PC= 10>2 2=AC，点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，其中
a= 102，b= 22，那么在空间中，点P的轨迹为椭球面(点P不在平面ABC上)．
Vmax=13×2× 22= 23，A错误．
当PB与椭球面相切时，且P到椭球面中心距离最短时，α取最大值，
此时sinα=b 2=12，且α为锐角，所以α的最大值为30∘，B正确．
若α=90∘，则PB⊥平面ABC，因AB=BC，则直线PA，PC与平面ABC所成的角相等，
不合题意，C正确．
对于选项D，作PO⊥平面ABC，O为垂足，则∠PAO=30∘，∠PCO=60∘，
设PO=h>0，则AO= 3h，CO= 33h，由AO+CO≥AC知4 33h≥2 2，即h≥ 62，
则Vmin=13×2× 62= 63，D正确，答案为BCD．
13.【答案】13250
【解析】
【分析】
本题考查全概率公式及条件概率的计算，属于基础题.
【解答】
解：设事件B为此人患有流感， A1， A2， A3分别代表此人来自A、B、C三个地区，
根据题意可知： P(A1)=55+3+2=12，
P(A2)=35+3+2=310，
P(A3)= 25+3+2=15，
P( B|A1)=0.06，P( B|A2)=0.04，P(B|A3)=0.05，
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=12×0.06+310×0.04+ 15×0.05=13250．
故答案为13250．
14.【答案】60
【解析】
【分析】
本题考查分步乘法计数原理、组合与组合数公式 ，属于基础题．
根据分步乘法计数原理即可解答．
【解答】
解：可以按照先选1名学生去青山村，再选择2名学生去绿水村，剩下3名安排到人和村，
安排方法有
故答案为60．
15.【答案】y=± 3x
12
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的性质，属中档题．
【解答】
解：双曲线C:x2-y23=1的渐近线方程为y=± 3x；
直线PA的斜率为1，得其方程为y=x+1，直线方程与双曲线方程联立，可得P点坐标为(2,3)，tan∠APB=kPB-kPA1+kPBkPA=12．
16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立，利用导数解决函数最小值问题，零点存在性定理的应用，考查计算能力．
首先对原不等进行转化得x>0时，a
解：法1:不等式可化为xex+1>a(ex-1)，由x>0，知ex>1，则x>0时，a
g'(x)=ex-1>0，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(1)=e-3<0，g(2)=e2-4>0，
则g(x)在(1,2)上存在唯一的零点x0，当0
f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(x0)=x0ex0+1ex0-1，且ex0=x0+2，
化简得f(x0)=x0+1，因1
由h'(x)>0得x>a-1，则h(x)在(0,a-1)上单调递减，在(a-1,+∞)上单调递增，
则h(x)min=h(a-1)=-ea-1+a+1>0，令A(a)=-ea-1+a+1，a>1，A'(a)=-ea-1+1<0，
则A(a)在(1,+∞)上单调递减，A(2)=3-e>0，A(3)=4-e2<0，则整数a的最大值为2．
17.【答案】解：(I)方法一：设数列an的公比为q，则16q+4q=16，
即q2-4q+4=0，则q=2，a1=2
所以数列an的通项公式为an=2n．
方法二：:设数列{an}的公比为q，则a1q=44a1+a1q2=16,
解得q=2，a1=2
所以数列an的通项公式为an=2n．
(Ⅱ)由(I)可得bn=log2an=log22n=n，
则1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1
所以Sn=(1-12)+(12-13)+⋯+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1．
【解析】本题考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
(Ⅰ)利用等比数列的定义的应用求出数列的通项公式；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
18.【答案】解：(I) f'(x)=3x2-4x-4，由f'(x)>0得x<-23或x>2．
则f(x)在(-∞,-23)，(2,+∞)上单调递增，在(-23,2)上单调递减．
(Ⅱ)依题知，f'(x)=3x2-4x+a在(13,3)上有变号零点，
由3x2-4x+a=0，得a=4x-3x2，令g(x)=4x-3x2=x(4-3x)，
g(x)在(13,23)上单调递增，在(23,3)上单调递减，
且g(13)=1，g(23)=43，g(3)=-15
则-15
借助函数图象可知，解得-15
【解析】本题考查导数研究函数单调性，极值问题，属中档题．
19.【答案】解：(I)在图1中，∠DAC=∠DCA=30∘，由∠DCB=120∘知
∠ACB=90∘，即BC⊥AC
在图2中，由BC⊥AC，BC⊥AD，AC∩AD=A，知BC⊥平面ACD
由BC⊂平面ABC，得平面ACD⊥平面ABC．
或：在△ACD中，AD=CD=2，∠ADC=120∘，由余弦定理得AC=2 3，
在△ABC中，由正弦定理知2 3sin60∘=2sin∠BAC，sin∠BAC=12，且∠BAC为锐角，
则∠BAC=30∘，∠ACB=90∘，即BC⊥AC
下同法1(略)
(Ⅱ)以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，过C且垂直于底面所在直线为z轴，建系
则B(0,2,0)，D( 3,0,1)，A(2 3,0,0)，
BE=λBD=( 3λ,-2λ,λ)，λ∈[0,1]，则E( 3λ,-2λ+2,λ)
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，
则有CA⋅n=0CE⋅n=0，即2 3x=0 3λx+(-2λ+2)y+λz=0，
则x=0，令y=λ，z=2λ-2，所以n=(0,λ,2λ-2)
同理可得平面BCD的一个法向量为m=(-1,0, 3)
cosθ=|cos
解得λ=23或λ=2(舍)，则存在这样的点E，且BEBD=23．
【解析】本题考查空间中线面的垂直关系、二面角的求法，熟练运用空间中面面垂直的性质定理，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(I)整理得到如下列联表：
性别
篮球运动
合计
热爱
不热爱
男生
3n
n
4n
女生
2n
2n
4n
合计
5n
3n
8n
则χ2=8n(6n2-2n2)24n⋅4n⋅5n⋅3n=815n
由3.841≤815n<6.635，
解得7.2≤n<12.4，则n=8，9，10，11，12
故男生人数可能为32、36、40、44、48．
(Ⅱ)由(I)知，共调查64人，热爱篮球运动的男生、女生各有24人、16人
参加志愿活动的10人中，男生有6人，女生有4人
由题意知X服从超几何分布
概率分布为P(X=k)=C4kC64-kC104，k=0，1，2，3，4
均值E(X)=4×25=85．
(Ⅱ)中概率分布的另外形式：X可取0，1，2，3，4
P(X=0)=C64C104=114P(X=1)=C41C63C104=821P(X=2)=C42C62C104=37
P(X=3)=C43C61C104=435P(X=4)=C44C104=1210
则X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
114
821
37
435
1210
E(X)=821+67+1235+14210=336210=85．
【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题．
(Ⅰ)先得出列联表，由公式计算χ2，由犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，解出即可；
(Ⅱ)由题意知X服从超几何分布，可得X的分布列和均值．
21.【答案】解：(I)由题知准线方程为y=-p2，则4+p2=174，得p=12．
(Ⅱ)抛物线的方程为x2=y，点P的坐标为(-2,4)，依题知过点P的直线斜率必存在
设过点P的直线方程为y-4=k(x+2)，圆心到该直线的距离为|-2+2k+4| 1+k2
由直线与圆相切，所以|-2+2k+4| 1+k2=1，解得k1,2=-4± 73
联立x2=yy-4=k(x+2)，消y得x2-kx-2k-4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)
不妨设x1=k1+2=-4+ 73+2=2+ 73，x2=k2+2=-4- 73+2=2- 73
故A(2+ 73,11+4 79)，B(2- 73,11-4 79)，得kAB=43，
所以直线AB:y-11+4 79=43(x-2+ 73)，即4x-3y+1=0
圆心M到直线的距离为d=|-6+1|5=1，|AB|= √1+169|xA-xB|=10 79
所以Smax=12×10 79×2=10 79．
(Ⅱ)另解：易知P(-2,4)，设A(x1,x12)，B(x2,x22)，kAB=x12-x22x1-x2=x1+x2，
则直线AB的方程为y-x12=(x1+x2)(x-x1)，即(x1+x2)x-y-x1x2=0，
同理，直线PA的方程为(x1-2)x-y+2x1=0
直线PB的方程为(x2-2)x-y+2x2=0
则|2x1-2| (x1-2)2+1=|2x2-2| (x2-2)2+1=1，即x1和x2是方程3x2-4x-1=0的两个根，
则x1+x2=43，x1x2=-13，所以直线AB的方程为4x-3y+1=0
圆心M到直线AB的距离为d=|-6+1|5=1
此时|AB|= 1+169|x1-x2|=53 (x1+x2)2-4x1x2=53×2 73=10 79
所以Smax=12×10 79×2=10 79．
【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，属较难题．
22.【答案】解：(I)f'(x)=ex⋅ax-ex⋅a(ax)2=ex(ax-a)(ax)2，令f'(x)=0得x=1，
g'(x)=alnx-a(lnx)2，令g'(x)=0得x=e，
当a>0时，f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f(x)min=f(1)=ea，
g(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增，所以g(x)min=g(e)=ae，
由ea=ae，得a=1，
当a<0时，f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，无最小值，不合题意，
综上所述，a=1．
(II)由(I)知，f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，g(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)
单调递增，g(x)min=e，则直线y=b与f(x)、g(x)最多有4个交点．
当x∈(1,e)时，令h(x)=f(x)-g(x)，则h(x)在(1,e)上单调递增，当x→1时，h(x)→-∞，
h(e)=ee-e2e>0，则h(x)在(1,e)上有唯一的零点x0，即存在x0∈(1,e)，使得f(x0)=g(x0)，
取b=f(x0)=g(x0)满足题意，使得直线y=b与f(x)、g(x)恰有三个交点，
分别记为A(x1,b)，B(x0,b)，C(x2,b)，不妨设0
而b=f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)，即
由ex1x1=x0lnx0得ex1x1=eln x0ln x0，即f(x1)=f(lnx0)，又x0∈(1,e)，lnx0∈(0,1)，x1∈(0,1)，
而f(x)在(0,1)单调，所以x1=lnx0．
又由得ex0lnex0=x2lnx2，即g(ex0)=g(x2)，又x2∈(e,+∞)，ex0∈(e,+∞)，
而g(x)在(e,+∞)单调，所以ex0=x2．
由x1=lnx0，ex0=x2得x1x2=ex0lnx0=x02，原命题得证．
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