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2023年湖南省衡阳市中考数学试卷(含答案解析)
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这是一份2023年湖南省衡阳市中考数学试卷(含答案解析)，共19页。试卷主要包含了 计算2的结果正确的是，358×107B等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省衡阳市中考数学试卷
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作( )
A. +237元 B. −237元 C. 0元 D. −474元
2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cm B. 3cm，8cm，5cm C. 4cm，5cm，10cm D. 4cm，5cm，6cm
3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识.如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是( )
A. B. C. D.
5. 计算(12x3)2的结果正确的是( )
A. x6 B. 14x6 C. 14x5 D. x9
6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万.数据7358万用科学记数法表示为( )
A. 7.358×107 B. 7.358×103 C. 7.358×104 D. 7.358×106
7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有 a⋅ b= ab.该运算法则成立的条件是( )
A. a>0，b>0 B. a<0，b<0 C. a≤0，b≤0 D. a≥0，b≥0
8. 如图，在四边形ABCD中，已知AD//BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AD=BC B. AB//DC C. AB=DC D. ∠A=∠C
9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何.”
设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为( )
A. x+y=354x+2y+94 B. x+y=944x+2y=35 C. x+y=352x+4y=94 D. x+y=942x+4y=35
10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表.甲、乙两名选手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2.则S甲2和S乙2的大小关系是( )
测试次数
1
2
3
4
5
甲
5
10
9
3
8
乙
8
6
8
6
7
A. S甲2>S乙2 B. S甲2
A. 反证法 B. 比较法 C. 综合法 D. 分析法
12. 已知m>n>0，若关于x的方程x2+2x−3−m=0的解为x1，x2(x1
14. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别.布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是______ .
15. 已知x=5，则代数式3x−4−24x2−16的值为______ .
16. 已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是______ .
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为______ .
18. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是______ .
19. 计算：|−3|+ 4+(−2)×1.
20. 解不等式组：{x−4⩽0①2(x+1)<3x②.
21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动.现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x<70；B：70≤x<80；C：80≤x<90；D：90≤x≤100)，并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87.八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
a
98
60%
九
87
86
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=______ ，b=______ ；
(2)该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数.
22. 如图，正比例函数y=43x的图象与反比例函数y=12x(x>0)的图象相交于点A.
(1)求点A的坐标.
(2)分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D.求线段OD的长.
23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24 3米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30∘，CD长为49.6米.已知目高CE为1.6米.
(1)求教学楼AB的高度.
(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4 3米/秒的速度继续向前匀速飞行.求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G.
(1)求证：AF=DF.
(2)若AF=52，sin∠ABD= 55，求⊙O的半径.
25. [问题探究]
(1)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB.
①求证：PD=PB；
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由.
[迁移探究]
(2)如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60∘，其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由.
26. 如图，已知抛物线y=ax2−2ax+3与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线.
(1)求a的值.
(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B′、C′两点.在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45∘，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作−237元，
故选：B.
根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法．
本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵1+2=3，
∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5=8，
∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+5<10，
∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵4+5>6，
∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
故选：D.
根据两边之和大于第三边判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项B符合题意．
故选：B.
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】B
【解析】解：原式=(12)2×(x3)2=14×x3×2=14x6.
故选：B.
根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可．
本题主要考查积的乘方和幂的乘方的计算方法，是必考的知识点，一定要熟练掌握，并能灵活运用．
6.【答案】A
【解析】解：7358万
=73580000
=7.358×107，
故选：A.
利用科学记数法的法则解答即可．
本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法的法则是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有 a⋅ b= ab.该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0，
故选：D.
根据二次根式的乘法法则，即可解答．
本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、因为AD//BC，AD=BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、因为AD//BC，AB//DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、AB=DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D、因为AD//BC得到∠ADB=∠CBD，又∠A=∠C，BD=DB，因此△ABD≌△CDB(AAS)，得到AD=CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C.
由平行四边形的判定方法，即可判断．
本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
x+y=352x+4y=94，
故选：C.
根据今有鸡免同笼，上有三十五头，可以得到x+y=35，再根据下有九十四足，可以得到2x+4y=94，然后即可得到相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10.【答案】A
【解析】解：图表数据可知，
甲数据在3至10之间波动，偏离平均数数据较大；乙数据在6至8之间波动，偏离平均数数据较小；
即甲的波动性较大，即方差大，
∴S甲2>S乙2，
故选：A.
直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11.【答案】A
【解析】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60∘”．假设三角形没有一个内角小于或等于60∘，即三个内角都大于60∘.”，则三角形的三个内角的和大于180∘.这与“三角形的内角和等于180∘”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60∘，这种证明方法是反证法，
故选：A.
根据反证法证明命题的方法判断．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
12.【答案】B
【解析】解：关于x的方程x2+2x−3−m=0的解为抛物线y=x2+2x−3与直线y=m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x−3−n=0的解为抛物线y=x2+2x−3与直线y=n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x1
画出抛物线y=x2+2x−3，直线y=m，直线y=n，根据一元二次方程与二次函数的关系的关系，观察图象可得答案．
本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
13.【答案】三
【解析】解：点P(−3,−2)在第三象限，
故答案为：三．
根据第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)，可得答案．
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
14.【答案】14
【解析】解：∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，
∴从布袋中任取1个球，取出红球的概率是33+9=14，
故答案为：14.
根据一个布袋中放着3个红球和9个黑球，可以计算出从布袋中任取1个球，取出红球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
15.【答案】13
【解析】解：原式=3x+12(x+4)(x−4)−24(x+4)(x−4)
=3x−12(x+4)(x−4)
=3(x−4)(x+4)(x−4)
=3x+4，
当x=5时，原式=35+4=13，
故答案为：13.
根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的减法法则是解题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得−4t=−20，
解得t=5，
即方程的另一个根为5.
故答案为：5.
设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得−4t=−20，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.
17.【答案】245
【解析】解：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，
∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∵12AB⋅CD=12AC⋅BC=S△AOB，
∴12×10CD=12×8×6，
解得CD=245，
∴r=CD=245，
故答案为：245.
设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB= AC2+BC2=10，则12AB⋅CD=12AC⋅BC=S△AOB，所以12×10CD=12×8×6，则r=CD=245，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18.【答案】10
【解析】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：15×180∘×(5−2)=108∘，
∴∠O=180∘−(180∘−108∘)×2=36∘，
∴正五边形的个数是360∘÷36∘=10.
故答案为：10.
先求出多边形的每一个内角为108∘，可得到∠O=36∘，即可求解．
本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
19.【答案】解：原式=3+2+(−2)
=3+2−2
=3.
【解析】利用绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
20.【答案】解：{x−4⩽0①2(x+1)<3x②，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x>2，
∴原不等式组的解集为：2
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
21.【答案】84 100
【解析】解：(1)八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a=84，
九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b=100，
故答案为：84，100；
(2)500×6+615+15=200(人)，
答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人．
(1)根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数；
(2)利用样本估计总体即可．
本题考查了方差、平均数、中位数、众数的意义和计算方法，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的前提．
22.【答案】解：(1)解方程组y=43xy=12x(x>0)，
得x=3y=4，
∴点A的坐标为(3,4)；
(2)设点D的坐标为(x,0).
由题意可知，BC是OA的垂直平分线，
∴AD=OD，
∴(x−3)2+42=x2，
∴x=256，
∴D(256,0)，OD=256.
【解析】(1)将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；
(2)设点D的坐标为(x,0).根据线段垂直平分线的性质得出AD=OD，依此列出方程(x−3)2+42=x2，解方程即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了线段垂直平分线的性质．
23.【答案】解：(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM=∠BDN=30∘，
在Rt△BDM中，BM=AC=24 3米，∠DBM=30∘，
∴DM=BM⋅tan∠DBM=24 3× 33=24(米)，
∴AB=CM=CD−DM=49.6−24=25.6(米).
答：教学楼AB的高度为25.6米；
(2)延长EB交DN于点G，则∠DGE=∠MBE，
在Rt△EMB中，BM=AC=24 3米，EM=CM−CE=24米，
∴tan∠MBE=EMBM=2424 3= 33，
∴∠MBE=30∘=∠DGE，
∵∠EDG=90∘，
∴∠DEG=90∘=30∘=60∘，
在Rt△EDG中，ED=CE−CE=48米，
∴DG=ED⋅tan60∘=48 3(米)，
∴48 3÷4 3=12(秒)，
∴经过18秒时，无人机刚好离开了小明的视线．
【解析】(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM=∠BDN=30∘，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合AB=CM=CD−DM，即可求出结论；
(2)延长EB交DN于点G，则∠DGE=∠MBE，在Rt△EMB中，利用锐角三角函数的定义求出∠MBE=30∘，从而可得∠DEG=60∘，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴AD=AH，
∴CD=AH，
∴∠ADH=∠CAD，
∴AF=DF.
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠DAB+∠B=90∘，
∵∠DAE+∠ADE=90∘，
∴∠ADE=∠B，
∴sin∠ADE= 55，
∴tan∠ADE=12，
设AE=x，则DE=2x，
∵DF=AF=52，
∴EF=2x−52，
∵AE2+EF2=AF2，
∴x=2，
∴AD=AEsin∠ADE=2 5，
∴AB=ADsin∠B，
∴AB=10，
∴⊙O的半径为5.
【解析】(1)由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH=∠CAD，即可证明出结论．
(2)证明出∠ADE=∠B，得出tan∠ADE=12，设AE=x，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．
本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
25.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45∘
∵CP=CP，
∴△DCP≌△BCP，
∴PD=PB；
②解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90∘；
理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45∘，∠DAB=90∘，
∴四边形AMPN是矩形，PM=PN，
∴∠MPN=90∘
∵PD=PQ，PM=PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，
∴∠DPN=∠QPM，
∴∠QPN+∠QPM=90∘
∴∠QPN+∠DPN=90∘，即∠DPQ=90∘；
③解：AQ= 2OP；
理由：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45∘，∠AOB=90∘，
∴∠AEP=45∘，四边形OPEF是矩形，
∴∠PAE=∠PEA=45∘，EF=OP，
∴PA=PE，
∵PD=PB，PD=PQ，
∴PQ=PB，
作PM⊥AE于点M，
则QM=BM，AM=EM，
∴AQ=BE，
∵∠EFB=90∘，∠EBF=45∘，
∴BE=EFsin45∘= 2EF，
∴AQ= 2OP；
(2)解：AQ=CP；
理由：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴AB=BC，AC⊥BD，DO=BO，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴∠BAC=60∘，PD=PB，
∵PD=PQ，
∴PQ=PB，
作PE//BC交AB于点E，EG//AC交BC于点G，如图，
则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB=∠BAC=60∘，∠AEP=∠ABC=60∘，
∴EG=PC，△APE，△BEG都是等边三角形，
∴BE=EG=PC，
作PM⊥AB于点M，则QM=MB，AM=EM，
∴QA=BE，
∴AQ=CP.
【解析】(1)①根据正方形的性质证明△DCP≌△BCP，即可得到结论；
②作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，可得PM=PN，证明四边形AMPN是矩形，推出∠MPN=90∘，证明Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，得出∠DPN=∠QPM，进而可得结论；
③作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，证明AQ=BE，BE= 2EF即可得出结论；．
(2)先证明PQ=PB，作PE//BC交AB于点E，EG//AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，可得EG=PC，△APE，△BEG都是等边三角形，进一步即可证得结论．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−2ax+3与x轴交于点A(−1,0)，
∴a+2a+3=0，
∴a=−1.
(2)存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．
∵y=−x2+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
当y=0时，−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则3k+b=0b=3，
解得：k=−1b=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∵将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B′、C′两点，
∴直线B′C′的解析式为y=−x+3−m，
设D(t,−t2+2t+3)，
过点D作DE//y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，如图，
∴E(t,−t+3−m)，
∴DE=−t2+2t+3−(−t+3−m)=−t2+3t+m，
∵OB=OC=3，∠BOC=90∘，
∴∠BCO=∠CBO=45∘，
∵B′C′//BC，
∴∠B′GO=∠BCO=45∘，
∵DE//y轴，
∴∠DEF=∠B′GO=45∘，
∵∠DFE=90∘，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF= 22DE= 22(−t2+3t+m)=− 22(t−32)2+ 22(94+m)，
∵− 22<0，
∴当t=32时，DF取得最大值 22(94+m)，此时点D的坐标为(32,154).
(3)存在．
当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M(0,1)，连接BM交抛物线于点P，如图，
∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，M(0,1)，
∴OB=OC=3，OM=OA=1，∠BOM=∠COA=90∘，
∴△BOM≌△COA(SAS)，
∴∠MBO=∠ACO，
∵∠CBO=45∘，
∴∠CBP+∠MBO=45∘，
∴∠CBP+∠ACO=45∘，
设直线BM的解析式为y=k′x+b′，则3k′+b′=0b′=1，
解得：k′=−13b′=1，
∴直线BM的解析式为y=−13x+1，
联立，得y=−13x+1y=−x2+2x+3，
解得：x1=3y1=0(舍去)，x2=−23y2=119，
∴P(−23,119)；
当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M′，如图，连接MM′，CM′，直线BM′交抛物线于P，
由对称得：MM′⊥BC，CM′=CM=2，∠BCM′=∠BCM=45∘，
∴∠MCM′=90∘，
∴M′(2,3)，
则直线BM′的解析式为y=−3x+9，
联立，得：y=−3x+9y=−x2+2x+3，
解得：x1=3y1=0(舍去)，x2=2y2=3，
∴P(2,3)；
综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO=45∘，点P的坐标为(−23,119)或(2,3).
【解析】(1)将点A(−1,0)代入y=ax2−2ax+3，即可求得a=−1；
(2)利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−x+3，由平移可得直线B′C′的解析式为y=−x+3−m，设D(t,−t2+2t+3)，过点D作DE//y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，则E(t,−t+3−m)，可得DE=−t2+2t+3−(−t+3−m)=−t2+3t+m，再证得△DEF是等腰直角三角形，可得DF= 22DE= 22(−t2+3t+m)=− 22(t−32)2+ 22(94+m)，运用二次函数的性质即可求得答案；
(3)分两种情况：当∠PBC在BC的下方时，当∠PBC在BC的上方时，分别求得直线BP的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，直线的平移，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，第(3)问要注意分类讨论，防止漏解．
2023年湖南省衡阳市中考数学试卷
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作( )
A. +237元 B. −237元 C. 0元 D. −474元
2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cm B. 3cm，8cm，5cm C. 4cm，5cm，10cm D. 4cm，5cm，6cm
3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识.如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是( )
A. B. C. D.
5. 计算(12x3)2的结果正确的是( )
A. x6 B. 14x6 C. 14x5 D. x9
6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万.数据7358万用科学记数法表示为( )
A. 7.358×107 B. 7.358×103 C. 7.358×104 D. 7.358×106
7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有 a⋅ b= ab.该运算法则成立的条件是( )
A. a>0，b>0 B. a<0，b<0 C. a≤0，b≤0 D. a≥0，b≥0
8. 如图，在四边形ABCD中，已知AD//BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AD=BC B. AB//DC C. AB=DC D. ∠A=∠C
9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何.”
设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为( )
A. x+y=354x+2y+94 B. x+y=944x+2y=35 C. x+y=352x+4y=94 D. x+y=942x+4y=35
10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表.甲、乙两名选手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2.则S甲2和S乙2的大小关系是( )
测试次数
1
2
3
4
5
甲
5
10
9
3
8
乙
8
6
8
6
7
A. S甲2>S乙2 B. S甲2
A. 反证法 B. 比较法 C. 综合法 D. 分析法
12. 已知m>n>0，若关于x的方程x2+2x−3−m=0的解为x1，x2(x1
14. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别.布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是______ .
15. 已知x=5，则代数式3x−4−24x2−16的值为______ .
16. 已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是______ .
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为______ .
18. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是______ .
19. 计算：|−3|+ 4+(−2)×1.
20. 解不等式组：{x−4⩽0①2(x+1)<3x②.
21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动.现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x<70；B：70≤x<80；C：80≤x<90；D：90≤x≤100)，并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87.八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
a
98
60%
九
87
86
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=______ ，b=______ ；
(2)该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数.
22. 如图，正比例函数y=43x的图象与反比例函数y=12x(x>0)的图象相交于点A.
(1)求点A的坐标.
(2)分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D.求线段OD的长.
23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24 3米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30∘，CD长为49.6米.已知目高CE为1.6米.
(1)求教学楼AB的高度.
(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4 3米/秒的速度继续向前匀速飞行.求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G.
(1)求证：AF=DF.
(2)若AF=52，sin∠ABD= 55，求⊙O的半径.
25. [问题探究]
(1)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB.
①求证：PD=PB；
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由.
[迁移探究]
(2)如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60∘，其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由.
26. 如图，已知抛物线y=ax2−2ax+3与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线.
(1)求a的值.
(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B′、C′两点.在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45∘，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作−237元，
故选：B.
根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法．
本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵1+2=3，
∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5=8，
∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+5<10，
∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵4+5>6，
∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
故选：D.
根据两边之和大于第三边判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项B符合题意．
故选：B.
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】B
【解析】解：原式=(12)2×(x3)2=14×x3×2=14x6.
故选：B.
根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可．
本题主要考查积的乘方和幂的乘方的计算方法，是必考的知识点，一定要熟练掌握，并能灵活运用．
6.【答案】A
【解析】解：7358万
=73580000
=7.358×107，
故选：A.
利用科学记数法的法则解答即可．
本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法的法则是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有 a⋅ b= ab.该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0，
故选：D.
根据二次根式的乘法法则，即可解答．
本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、因为AD//BC，AD=BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、因为AD//BC，AB//DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、AB=DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D、因为AD//BC得到∠ADB=∠CBD，又∠A=∠C，BD=DB，因此△ABD≌△CDB(AAS)，得到AD=CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C.
由平行四边形的判定方法，即可判断．
本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
x+y=352x+4y=94，
故选：C.
根据今有鸡免同笼，上有三十五头，可以得到x+y=35，再根据下有九十四足，可以得到2x+4y=94，然后即可得到相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10.【答案】A
【解析】解：图表数据可知，
甲数据在3至10之间波动，偏离平均数数据较大；乙数据在6至8之间波动，偏离平均数数据较小；
即甲的波动性较大，即方差大，
∴S甲2>S乙2，
故选：A.
直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11.【答案】A
【解析】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60∘”．假设三角形没有一个内角小于或等于60∘，即三个内角都大于60∘.”，则三角形的三个内角的和大于180∘.这与“三角形的内角和等于180∘”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60∘，这种证明方法是反证法，
故选：A.
根据反证法证明命题的方法判断．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
12.【答案】B
【解析】解：关于x的方程x2+2x−3−m=0的解为抛物线y=x2+2x−3与直线y=m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x−3−n=0的解为抛物线y=x2+2x−3与直线y=n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x1
画出抛物线y=x2+2x−3，直线y=m，直线y=n，根据一元二次方程与二次函数的关系的关系，观察图象可得答案．
本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
13.【答案】三
【解析】解：点P(−3,−2)在第三象限，
故答案为：三．
根据第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)，可得答案．
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
14.【答案】14
【解析】解：∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，
∴从布袋中任取1个球，取出红球的概率是33+9=14，
故答案为：14.
根据一个布袋中放着3个红球和9个黑球，可以计算出从布袋中任取1个球，取出红球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
15.【答案】13
【解析】解：原式=3x+12(x+4)(x−4)−24(x+4)(x−4)
=3x−12(x+4)(x−4)
=3(x−4)(x+4)(x−4)
=3x+4，
当x=5时，原式=35+4=13，
故答案为：13.
根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的减法法则是解题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得−4t=−20，
解得t=5，
即方程的另一个根为5.
故答案为：5.
设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得−4t=−20，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.
17.【答案】245
【解析】解：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，
∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∵12AB⋅CD=12AC⋅BC=S△AOB，
∴12×10CD=12×8×6，
解得CD=245，
∴r=CD=245，
故答案为：245.
设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB= AC2+BC2=10，则12AB⋅CD=12AC⋅BC=S△AOB，所以12×10CD=12×8×6，则r=CD=245，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18.【答案】10
【解析】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：15×180∘×(5−2)=108∘，
∴∠O=180∘−(180∘−108∘)×2=36∘，
∴正五边形的个数是360∘÷36∘=10.
故答案为：10.
先求出多边形的每一个内角为108∘，可得到∠O=36∘，即可求解．
本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
19.【答案】解：原式=3+2+(−2)
=3+2−2
=3.
【解析】利用绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
20.【答案】解：{x−4⩽0①2(x+1)<3x②，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x>2，
∴原不等式组的解集为：2
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
21.【答案】84 100
【解析】解：(1)八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a=84，
九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b=100，
故答案为：84，100；
(2)500×6+615+15=200(人)，
答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人．
(1)根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数；
(2)利用样本估计总体即可．
本题考查了方差、平均数、中位数、众数的意义和计算方法，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的前提．
22.【答案】解：(1)解方程组y=43xy=12x(x>0)，
得x=3y=4，
∴点A的坐标为(3,4)；
(2)设点D的坐标为(x,0).
由题意可知，BC是OA的垂直平分线，
∴AD=OD，
∴(x−3)2+42=x2，
∴x=256，
∴D(256,0)，OD=256.
【解析】(1)将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；
(2)设点D的坐标为(x,0).根据线段垂直平分线的性质得出AD=OD，依此列出方程(x−3)2+42=x2，解方程即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了线段垂直平分线的性质．
23.【答案】解：(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM=∠BDN=30∘，
在Rt△BDM中，BM=AC=24 3米，∠DBM=30∘，
∴DM=BM⋅tan∠DBM=24 3× 33=24(米)，
∴AB=CM=CD−DM=49.6−24=25.6(米).
答：教学楼AB的高度为25.6米；
(2)延长EB交DN于点G，则∠DGE=∠MBE，
在Rt△EMB中，BM=AC=24 3米，EM=CM−CE=24米，
∴tan∠MBE=EMBM=2424 3= 33，
∴∠MBE=30∘=∠DGE，
∵∠EDG=90∘，
∴∠DEG=90∘=30∘=60∘，
在Rt△EDG中，ED=CE−CE=48米，
∴DG=ED⋅tan60∘=48 3(米)，
∴48 3÷4 3=12(秒)，
∴经过18秒时，无人机刚好离开了小明的视线．
【解析】(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM=∠BDN=30∘，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合AB=CM=CD−DM，即可求出结论；
(2)延长EB交DN于点G，则∠DGE=∠MBE，在Rt△EMB中，利用锐角三角函数的定义求出∠MBE=30∘，从而可得∠DEG=60∘，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴AD=AH，
∴CD=AH，
∴∠ADH=∠CAD，
∴AF=DF.
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠DAB+∠B=90∘，
∵∠DAE+∠ADE=90∘，
∴∠ADE=∠B，
∴sin∠ADE= 55，
∴tan∠ADE=12，
设AE=x，则DE=2x，
∵DF=AF=52，
∴EF=2x−52，
∵AE2+EF2=AF2，
∴x=2，
∴AD=AEsin∠ADE=2 5，
∴AB=ADsin∠B，
∴AB=10，
∴⊙O的半径为5.
【解析】(1)由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH=∠CAD，即可证明出结论．
(2)证明出∠ADE=∠B，得出tan∠ADE=12，设AE=x，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．
本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
25.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45∘
∵CP=CP，
∴△DCP≌△BCP，
∴PD=PB；
②解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90∘；
理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45∘，∠DAB=90∘，
∴四边形AMPN是矩形，PM=PN，
∴∠MPN=90∘
∵PD=PQ，PM=PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，
∴∠DPN=∠QPM，
∴∠QPN+∠QPM=90∘
∴∠QPN+∠DPN=90∘，即∠DPQ=90∘；
③解：AQ= 2OP；
理由：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45∘，∠AOB=90∘，
∴∠AEP=45∘，四边形OPEF是矩形，
∴∠PAE=∠PEA=45∘，EF=OP，
∴PA=PE，
∵PD=PB，PD=PQ，
∴PQ=PB，
作PM⊥AE于点M，
则QM=BM，AM=EM，
∴AQ=BE，
∵∠EFB=90∘，∠EBF=45∘，
∴BE=EFsin45∘= 2EF，
∴AQ= 2OP；
(2)解：AQ=CP；
理由：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴AB=BC，AC⊥BD，DO=BO，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴∠BAC=60∘，PD=PB，
∵PD=PQ，
∴PQ=PB，
作PE//BC交AB于点E，EG//AC交BC于点G，如图，
则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB=∠BAC=60∘，∠AEP=∠ABC=60∘，
∴EG=PC，△APE，△BEG都是等边三角形，
∴BE=EG=PC，
作PM⊥AB于点M，则QM=MB，AM=EM，
∴QA=BE，
∴AQ=CP.
【解析】(1)①根据正方形的性质证明△DCP≌△BCP，即可得到结论；
②作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，可得PM=PN，证明四边形AMPN是矩形，推出∠MPN=90∘，证明Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，得出∠DPN=∠QPM，进而可得结论；
③作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，证明AQ=BE，BE= 2EF即可得出结论；．
(2)先证明PQ=PB，作PE//BC交AB于点E，EG//AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，可得EG=PC，△APE，△BEG都是等边三角形，进一步即可证得结论．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−2ax+3与x轴交于点A(−1,0)，
∴a+2a+3=0，
∴a=−1.
(2)存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．
∵y=−x2+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
当y=0时，−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则3k+b=0b=3，
解得：k=−1b=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∵将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B′、C′两点，
∴直线B′C′的解析式为y=−x+3−m，
设D(t,−t2+2t+3)，
过点D作DE//y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，如图，
∴E(t,−t+3−m)，
∴DE=−t2+2t+3−(−t+3−m)=−t2+3t+m，
∵OB=OC=3，∠BOC=90∘，
∴∠BCO=∠CBO=45∘，
∵B′C′//BC，
∴∠B′GO=∠BCO=45∘，
∵DE//y轴，
∴∠DEF=∠B′GO=45∘，
∵∠DFE=90∘，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF= 22DE= 22(−t2+3t+m)=− 22(t−32)2+ 22(94+m)，
∵− 22<0，
∴当t=32时，DF取得最大值 22(94+m)，此时点D的坐标为(32,154).
(3)存在．
当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M(0,1)，连接BM交抛物线于点P，如图，
∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，M(0,1)，
∴OB=OC=3，OM=OA=1，∠BOM=∠COA=90∘，
∴△BOM≌△COA(SAS)，
∴∠MBO=∠ACO，
∵∠CBO=45∘，
∴∠CBP+∠MBO=45∘，
∴∠CBP+∠ACO=45∘，
设直线BM的解析式为y=k′x+b′，则3k′+b′=0b′=1，
解得：k′=−13b′=1，
∴直线BM的解析式为y=−13x+1，
联立，得y=−13x+1y=−x2+2x+3，
解得：x1=3y1=0(舍去)，x2=−23y2=119，
∴P(−23,119)；
当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M′，如图，连接MM′，CM′，直线BM′交抛物线于P，
由对称得：MM′⊥BC，CM′=CM=2，∠BCM′=∠BCM=45∘，
∴∠MCM′=90∘，
∴M′(2,3)，
则直线BM′的解析式为y=−3x+9，
联立，得：y=−3x+9y=−x2+2x+3，
解得：x1=3y1=0(舍去)，x2=2y2=3，
∴P(2,3)；
综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO=45∘，点P的坐标为(−23,119)或(2,3).
【解析】(1)将点A(−1,0)代入y=ax2−2ax+3，即可求得a=−1；
(2)利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−x+3，由平移可得直线B′C′的解析式为y=−x+3−m，设D(t,−t2+2t+3)，过点D作DE//y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，则E(t,−t+3−m)，可得DE=−t2+2t+3−(−t+3−m)=−t2+3t+m，再证得△DEF是等腰直角三角形，可得DF= 22DE= 22(−t2+3t+m)=− 22(t−32)2+ 22(94+m)，运用二次函数的性质即可求得答案；
(3)分两种情况：当∠PBC在BC的下方时，当∠PBC在BC的上方时，分别求得直线BP的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，直线的平移，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，第(3)问要注意分类讨论，防止漏解．
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