2023年湖南省株洲市中考数学试卷(含答案解析)

这是一份2023年湖南省株洲市中考数学试卷(含答案解析)，共17页。试卷主要包含了 2的相反数是， 计算等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省株洲市中考数学试卷
1. 2的相反数是(    )
A. 12 B. −2 C. 2 D. −12
2. 计算：(3a)2=(    )
A. 5a B. 3a2 C. 6a2 D. 9a2
3. 计算：(−4)×32=(    )
A. −6 B. 6 C. −8 D. 8
4. 从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是(    )
A. 25 B. 35 C. 23 D. 34
5. 一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90∘，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD=(    )

A. 3.5cm B. 3cm C. 4.5cm D. 6cm
6. 下列哪个点在反比例函数y=4x的图象上？(    )
A. P1(1,−4) B. P2(4,−1) C. P3(2,4) D. P4(2 2, 2)
7. 将关于x的分式方程32x=1x−1去分母可得(    )
A. 3x−3=2x B. 3x−1=2x C. 3x−1=x D. 3x−3=x
8. 如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是(    )
A. 点O为矩形ABCD的对称中心
B. 点O为线段AB的对称中心
C. 直线BD为矩形ABCD的对称轴
D. 直线AC为线段BD的对称轴
9. 如图所示，直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是(    )

A. b恒大于0 B. a，b同号 C. a.b异号 D. 以上说法都不对
10. 申报某个项目时，某7个区域提交的申报表数量的前5名的数据统计如图所示，则这7个区域提交该项目的申报表数量的中位数是(    )

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
11. 计算：3a2−2a2=______.
12. 因式分解：x2−2x+1=__________.
13. 关于x的不等式12x−1>0的解集为______ .
14. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC=______ .


15. 如图所示，点A、B、C是O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60∘，∠OCD=40∘，则∠ODC=______ 度.


16. 血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时的压力.收缩压的正常范围是：90∼140mmHg，舒张压的正常范围是：60∼90mmHg.现五人A、B、C、D、E的血压测量值统计如下：

则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有______ 个.
17. 《周礼⋅考工记》中记载有：“…半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘=112宣(其中，1矩=90∘).
问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C=______ 度.


18. 已知实数m、x满足：(mx1−2)(mx2−2)=4.
①若m=13,x1=9，则x2=______ ；
②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对(x1,x2)有______ 个.
19. 计算： 4−20230+2cos60∘.
20. 先化简，再求值：(1+1x+1)⋅x+1x2+4，其中x=3.
21. 如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点.
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)DG⊥BH，BD=3，EF=2，求线段BG的长度.

22. 某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量(n为正整数单位：支)，统计如下表：
日需求量n
13
14
15
16
17
18
天数
1
1
2
4
1
1
(1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；
(2)当n<16时，日利润y(单位：元)关于n的函数表达式为：y=10n−80；当n≥16时，日利润为80元.
①当n=14时，问该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率.
23. 如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶.已知∠POQ=30∘，BC//OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D.
(1)求∠COD的大小；
(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tanα= 35，OD=12米.问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？(当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车)


24. 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A(t,0)，点P(1,2)在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上.
(1)求k的值；
(2)连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T=2S−2t2，求T的最大值.
25. 如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD=45∘，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G，且满足∠CFE=45∘.
(1)求证：直线l⊥直线CE；
(2)若AB=DG.
①求证：△ABC≌△GDE；
②若R=1,CE=32，求四边形ABCD的周长.

26. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
(1)若a=1，c=−1，且该二次函数的图象过点(2,0)，求b的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<0 ①求证：DOEO=23.
②当点E在线段OB上，且BE=1.⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac=−a2−b2，求2a+b的值.


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：2的相反数是−2.
故选：B.
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：∵(3a)2=32×a2=9a2，
故选：D.
由积的乘方公式(ab)2=a2b2可得出结论．
本题考查了乘法公式，能灵活应用公式是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：(−4)×32=(−2)×3=−6，
故选：A.
根据有理数的乘法运算即可得出结论．
本题考查了有理数的乘法，能灵活约分是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：由题意可得，
从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是66+4=35，
故选：B.
根据题意，可以计算出抽到的学号为男生的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

5.【答案】B 
【解析】解：由图可得，
∠ACB=90∘，AB=7−1=6，点D为线段AB的中点，
∴CD=12AB=3，
故选：B.
根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

6.【答案】D 
【解析】解：A.∵1×(−4)=−4≠4，∴P1(1,−4)不在反比例函数y=4x的图象上，故选项不符合题意；
B.∵4×(−1)=−4≠4，∴P2(4,−1)不在反比例函数y=4x的图象上，故选项不符合题意；
C.∵2×4=8≠4，∴P3(2,4)不在反比例函数y=4x的图象上，故选项不符合题意；
D.∵2 2× 2=4，∴P4(2 2, 2)在反比例函数y=4x的图象上，故选项符合题意．
故选：D.
根据反比例函数y=4x的图象上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可．
此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：32x=1x−1，
去分母，得：3(x−1)=2x，
整理，得：3x−3=2x，
故选：A.
方程两边同乘2x(x−1)，然后整理即可判断哪个选项符合题意．
本题考查解分式方程，解答本题的关键是找出最简公分母．

8.【答案】A 
【解析】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，故选项A正确，符合题意；
线段AB的中点是为线段AB的对称中心，故选项B错误，不符合题意；
矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意；
过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称轴，故选项D错误，不符合题意；
故选：A.
根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查中心对称、矩形的性质、轴对称的性质，熟记矩形即是中心对称图形也是轴对称图形是解答本题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：∵直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴，
∴对称轴为直线x=−b2a>0，
当a<0时，则b>0，
当a>0时，则b<0，
∴a，b异号，
故选：C.
先写出抛物线的对称轴方程，列出不等式，再分a<0，a>0两种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．

10.【答案】C 
【解析】解：某7个区域提交的申报表数量按照大小顺序排列后，处在中间位置的申报表数量是6个，
∴中位数为6.
故选：C.
个地区的申报数量按照大小顺序排列后，根据中位数的定义即可得到答案．
本题考查了中位数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置的数据或中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．

11.【答案】a2 
【解析】解：3a2−2a2=a2.
故答案为：a2.
利用合并同类项的法则运算即可．
本题主要考查了合并同类项，正确应用合并同类项的法则是解题的关键．

12.【答案】(x−1)2 
【解析】
【分析】
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【解答】
解：原式=(x−1)2.
故答案为：(x−1)2  
13.【答案】x>2 
【解析】解：12x−1>0，
移项，得：12x>1，
系数化1，得x>2.
故答案为：x>2.
根据一元一次不等式的解法，即可得出答案．
此题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是解题关键．

14.【答案】2 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形；
∴AD//BC，DC=AB.
∴∠DEA=∠EAB，
∵∠DAB的平分线AE交DC于点E，
∴∠EAB=∠DAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴AD=DE，
∵AD=3，AB=5，
∴EC=DC−DE=AB−AD=5−3=2，
故答案为：2.
根据平行四边形的性质可得AD//BC，则∠DEA=∠EAB，再由角平分线的定义可得∠EAB=∠DAE，从而求得∠AED=∠DAE，则AD=DE，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，其中掌握平行四边形的性质是解题的关键．

15.【答案】80 
【解析】解：在⊙O中，∠BOC=2∠A=2×60∘=120∘，
∴∠ODC=∠BOC−∠OCD=120∘−40∘=80∘.
故答案为：80.
根据圆周角定理求出∠BOC的读书，再根据三角形外角定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．

16.【答案】3 
【解析】解：观察图象可知：收缩压在正常范围的有A、B、D、E，
舒张压在正常范围的有B、C、D、E，
这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有B、D、E，
即3个．
故答案为：3.
分析折线统计图即可得出结果．
本题考查了折线统计图，熟练识别折线统计图，从中获得准确信息是本题的关键．

17.【答案】22.5 
【解析】解：∵1宣=12矩，1欘=112宣，1矩=90∘，∠A=1矩，∠B=1欘，
∴∠A=90∘，∠B=112×12×90∘=67.5∘，
∴∠C=180∘−90∘−∠B=180∘−90∘−67.5∘=22.5∘，
故答案为：22.5.
根据题意可知：∠A=90∘，∠B=67.5∘，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数．
本题考查勾股定理的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．

18.【答案】18 7 
【解析】解：①把m=13，x1=9时，(13×9−2)×(13x2−2)=4，
解得：x2=18；
故答案为：18.
②当m，x1，x2为正整数时，
(mx1−2)，(mx2−2)均为整数，mx1≥1，m2≥1，mx1−2≥−1，mx2−2≥−1，
而4=1×4=2×2=4×1，
∴mx1−2=1mx2−2=4或mx1−2=2mx2−2=2或mx1−2=4mx2−2=1，
∴mx1=3mx2=6或mx1=4mx2=4或mx1=6mx2=3，
当mx1=3mx2=6时，m=1时，x1=3，x2=6；m=3时，x1=1，x2=2，
故(x1,x2)为(3,6)，(1,2)，共2个；
当mx1=4mx2=4时，m=1时，x1=4，x2=4；m=2时，x1=2，x2=2，m=4时，x1=1，x2=1，
故(x1,x2)为(4,4)，(2,2)，(1,1)，共3个；
当mx1=6mx2=3时，m=1时，x1=6，x2=3；m=3时，x1=2，x2=1，
故(x1,x2)为(6,3)，(2,1)，共2个；
综上所述：共有2+3+2=7个．
故答案为：7.
①把m=13，x1=9代入求值即可；
②由题意知：(mx1−2)，(mx2−2)均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1−2≥−1，mx2−2≥−1，则4=1×4=2×2=4×1，再分三种情况讨论即可．
本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．

19.【答案】解：原式=2−1+2×12
=1+1
=2. 
【解析】根据算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值即可得出结果．
本题考查了算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．

20.【答案】解：原式=x+1+1x+1⋅x+1x2+4
=x+2x2+4，
当x=3时，原式=3+29+4=513. 
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，GF//BC，GF=12BC，
∴DE//GF，DE=GF，
∴四边形DEFG为平行四边形；
(2)解：∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG=EF=2，
∵DG⊥BH，
∴∠DGB=90∘，
∴BG= BD2−DG2= 32−22= 5，
即线段BG的长度为 5. 
【解析】(1)由三角形中位线定理得DE//BC，DE=12BC，GF//BC，GF=12BC，则DE//GF，DE=GF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得DG=EF=2，再由勾股定理求出BG的长即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】解：(1)1+1+2=4，
答：花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天；
(2)①当n=14时，y=10n−80=10×14−80=60，
答：当n=14时，该花店这天的利润为60元；
②当n<16时，70=10n−80，解得：n=15，
当n=15时，有2天，
∴210=15.
答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为15. 
【解析】(1)根据表格求解；
(2)把n=14代入求解；
(3)把y=70代入求解．
本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键．

23.【答案】解：(1)∵AO⊥OP，
∴∠POD=90∘，
∵∠POQ=30∘，
∴∠DOQ=∠POD−∠POQ=90∘−30∘=60∘，
∵OC⊥OQ，
∴∠COQ=90∘，
∴∠COD=∠COQ−∠DOQ=90∘−60∘=30∘，
即∠COD的大小为30∘；
(2)∵BC//OQ，
∴∠BCO=180∘−∠COQ=90∘，
在Rt△COD中，∠COD=30∘，OD=12米，
∴CD=12OD=6(米)，
∴OC= OD2−CD2= 122−62=6 3(米)，
∵tanα=tan∠OBC= 35=OCBC，
∴BC=OCtanα=6 3÷ 35=30(米)，
∴BD=BC−CD=30−6=24(米)，
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车． 
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠POD=90∘，根据三角形的内角和定理得到∠DOQ=∠POD−∠POQ=90∘−30∘=60∘，根据垂直的定义得到∠COQ=90∘，于是得到结论；
(2)根据平行线的性质得到∠BCO=180∘−∠COQ=90∘，解直角三角形即可得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，正确地求出结果是解题关键．

24.【答案】解：(1)∵点P(1,2)在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，
∴2=k1，
∴k=2，
即k的值为2；
(2)∵点A(t,0)在x轴负半轴上，
∴OA=−t，
∵四边形OABC为正方形，
∴OC=BC=OA=−t，BC//x轴，
∴△BCP的面积为S=12×(−t)×(2−t)=12t2−t，
∴T=2S−2t2=2(12t2−t)−2t2=−t2−2t=−(t+1)2+1，
∵−1<0，
∴抛物线开口向下，
∴当t=−1时，T有最大值，T的最大值是1. 
【解析】(1)根据点P(1,2)在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，代入即可得到k的值；
(2)根据点A(t,0)在x轴负半轴上得到OA=−t，根据正方形的性质得到OC=BC=OA=−t，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：在⊙O中，AD=AD，
∴∠ACD=∠ABD=45∘，
即∠FCE=45∘
∵∠CFE=45∘，
∴∠CEF=180∘−∠CFE−∠FCE=180∘−45∘−45∘=90∘，
即直线l⊥直线CE；
(2)①证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180∘，
∵∠GDE+∠ADC=180∘，
∴∠ABC=∠GDE，
∵AB为σO的直径，
∴∠ACB=90∘，
由(1)知∠CEF=90∘，即∠GED=90∘，
∴∠ACB=∠GED，
在△ACB和△GED中，
∠ABC=∠GDE∠ACB=∠GEDAB=GD，
∴△ACB≌△GED(AAS)；
②解：已证△ACB≌△GED，
∴BC=DE，
∴BC+CD=DE+CD=CE=32，
∵R=1，
∴AB=2R=2，
∵AB为σO的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ABD=45∘，
∴∠BAD=45∘，
∴AD=BD，
由勾股定理得AD2+BD2=AB2，
即2AD2=AB2=22=4，
∴AD= 2，
∴四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2+32+ 2=72+ 2. 
【解析】(1)根据同弧所对的圆周角相等得出∠ACD=∠ABD=45∘，结合已知∠CFE=45∘，利用三角形内角和定理求出∠CEF=90∘，即可得到直线l⊥直线CE；
(2)①根据圆内接四边形对角互补得到∠ABC+∠ADC=180∘，再根据邻补角的定义得出∠GDE+∠ADC=180∘，从而得到∠ABC=∠GDE，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90∘，结合(1)中∠CEF=90∘，可以得到∠ACB=∠GED，最后利用AAS证得△ABC≌△GDE；
②由①已证△ACB≌△GED可以得出BC=DE，于是有BC+CD=DE+CD=CE，再根据圆的半径求出直径AB的长，再证△ABD为等腰直角三角形，从而求出AD的长，即可求出四边形ABCD的周长．
本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，三角形全等的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及四边形的周长的计算，涉及的知识点较多，需熟练掌握．

26.【答案】(1)解：∵a=1，c=−1，
∴二次函数解析式为y=x2+bx−1，
∵该二次函数的图象过点(2,0)，
∴4+4b−1=0，
解得：b=−34；
(2)①证明：∵∠DOF=∠DEO，∠ODF=∠EDO，
∴△DOF∽△DEO，
∴DFDO=OFEO，
∴DOEO=DFOF，
∵OF=32DF，
∴DOEO=23；
②解∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<0 ∴OA=−x1，OB=x2，
∵BE=1.
∴OE=x2−1，
∵⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，
∴OD=−2x1，
∵DOEO=23，
∴−2x1x2−1=23，
∴3x1+x2−1=0，
即x2=1−3x1①，
∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，
∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴x1+x2=−ba，
∵4ac=−a2−b2，a≠0，
∴4⋅ca+1+(ba)2=0，
即4(x1x2)+1+(x1+x2)2=0②
①代入②，即4x1(1−3x1)+1+(x1+1−3x1)2=0，
即4x1−12x12+1+1+4x12−4x1=0，
整理得−8(x1)2=−2，
∴x12=14，
解得：x1=−12(正值舍去)，
∴x2=1−(−32)=52，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=x1+x22=−12+522=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0. 
【解析】(1)依题意得出二次函数解析式为y=x2+bx−1，该二次函数的图象过点(2,0)，代入即可求解；
(2)①证明△DOF∽△DEO，根据相似三角形的性质即可求解；
②根据题意可得OE=x2−1，OD=−2x1，由①可得DOEO=23，进而得出x2=1−3x1，由已知可得4ca+1+(ba)2=0，根据一元二次方程根与系数的关系，可得4(x1x2)+1+(x1+x2)2=0，将x2=1−3x1代入，解关于x1的方程，进而得出x2，可得对称轴为直线x=−b2a=1，即可求解．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．