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2023年吉林省松原市长岭县三校中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年吉林省松原市长岭县三校中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省松原市长岭县三校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最小的数是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 下列几何体中，俯视图是圆的几何体是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算中，结果是a5的是( )
A. a2+a3 B. a2⋅a3 C. a10÷a2 D. (a2)3
4. 据央广网消息，近年来，数字贸易在国内创造了高达32000亿元的经济效益．将数据“32000亿”用科学记数法表示为( )
A. 3.2×1011 B. 3.2×1012 C. 32×1012 D. 0.32×1013
5. 如图，AB是⊙O的直径，∠D=32°，则∠AOC等于( )
A. 158°
B. 58°
C. 64°
D. 116°
6. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为( )
A. 6 B. 7.5 C. 12 D. 15
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 实数8的立方根是______ ．
8. 不等式2x−4>−6的解集为______．
9. 分解因式：ax2−ay2= ．
10. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为s甲2=1.2，s乙2=1.9，则两人成绩比较稳定的是______ .(填“甲”或“乙”)
11. 如图，AB//CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A= ______ °.
12. 如图，道旁树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯O离地8m，树影AC长4m，树AB与路灯O的水平距离AP为6m，则树AB的高是______ m.
13. 如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)直接具有的关系为h=24t−4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为______s.
14. 如图①，菱形卡片ABCD与菱形卡片A′B′C′D′的边长均为2，∠B=∠B′=60°，卡片中的扇形半径均为2.如图②是交替摆放这两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2023张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为______.(结果保留π)
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算： 8−4sin45°+(3−π)0+|−4|
16. (本小题5.0分)
小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的概率是多少？(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
17. (本小题5.0分)
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
18. (本小题5.0分)
如图，CA=CB，点E、D分别是CA、CB的中点．求证：∠A=∠B．
19. (本小题7.0分)
图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
(2)在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
(3)在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN=45°．
20. (本小题7.0分)
2022年3月23日，“天空课堂”第二课开讲，神舟十三号飞行乘组航天员在中国空间站进行太空授课．某校为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
(1)补全图1条形统计图；
(2)扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______°；
(3)该校共有900人，根据调查结果估计该校“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
21. (本小题7.0分)
如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧BG的长为60cm，∠DFG=53°，ED长度约为21cm.求出该书架中最多能竖放几个这样的档案盒．(点A、点B、点C、点D、点E、点F、点G在同一平面内．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈0.75)
22. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系中，双曲线y=kx(x>0)与直线y=x−1交于点A(3,m).已知点P(n,0)(n>0)，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y=x−1于点B，交函数y=kx(x>0)于点C．
(1)求m，k的值；
(2)当n=2时，求出线段PC与PB的长度；
(3)直接写出当0
23. (本小题8.0分)
去年我市经历罕见暴雨，石头口门水库水位不断上涨，暴雨过后，水库水位已经超过警戒线水位，上级下达指示立即将五个水流量相同的泄洪闸打开紧急泄洪，6小时后关闭三个泄洪闸继续泄洪．水库水位y(m)与泄洪时间x(h)的关系如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)五个泄洪闸同时开放时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该水库的警戒线水位．
(3)若水位高度降至125米时关闭所有泄洪闸，此次泄洪共持续______小时．
24. (本小题8.0分)
在△ABC中，tan∠ACB=1，点D(不与点B，C重合)是线段BC上的一个动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF
(1)发现问题：
如图(1)，若AB=AC，则CF与BD的位置关系______；
(2)拓展探究：
如图(2)，若AB≠AC，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)解决问题：
若AB≠AC,AC=4 2，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，请直接写出线段CP的最大值
25. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线AB−BC−CD运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度沿AC向终点C运动，当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动，连接AP，PQ.设点P的运动时间为t(s)(t>0)，△PAQ的面积为S(cm2).
(1)当点P与点C重合时，t= ______ s；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．
26. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−4x+3a(a为常数，且a≠0)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．
(1)抛物线的对称轴为直线x= ______ ；
(2)当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当m≤x≤m+2(m为常数)时，y的最小值为−3，求m的值；
(3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为2a+1，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
−1<0<1<2，
∴四个数中，最小的数是−1．
故选：A．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】A
【解析】解：A、俯视图是圆，故此选项正确；
B、俯视图是正方形，故此选项错误；
C、俯视图是长方形，故此选项错误；
D、俯视图是长方形，故此选项错误．
故选：A．
分别找出从图形的上面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2+a3，无法合并，故此选项不合题意；
B、a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
C、a10÷a2=a8，故此选项不合题意；
D、(a2)3=a6，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：32000亿=3200000000000=3.2×1012．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠D=32°，
∴∠BOC=2∠D=64°，
∴∠AOC=180°−64°=116°．
故选：D．
先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由补角的定义即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设AE=x，则ED=BE=9−x，
根据勾股定理可得，32+x2=(9−x)2，
解得：x=4，
由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，
∵AD//BC，
∴∠FED=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF=5，
∴S△BFE=12×5×3=7.5．
故选：B．
根据翻折的性质可得，BE=DE，设AE=x，则ED=BE=9−x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得32+x2=(9−x)2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，由矩形的性质可得∠FED=∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE=BF，即可得出答案．
本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
7.【答案】2
【解析】解：∵23=8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
根据立方根的定义解答．
本题考查了立方根的定义，找出2的立方是8是解题的关键．
8.【答案】x>−1
【解析】解：移项得，2x>4−6，
合并得，2x>−2
系数化为1得，x>−1．
故答案为：x>−1．
先移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
9.【答案】a(x+y)(x−y)
【解析】
【分析】
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：ax2−ay2
=a(x2−y2)
=a(x+y)(x−y)．
故答案为：a(x+y)(x−y)．
10.【答案】甲
【解析】解：∵S甲2=1.2，S乙2=1.9，
∴S甲2
故答案为：甲．
根据方差的意义求解即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了平均数．
11.【答案】40
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠C=∠EFB=110°，
∴∠AFE=180°−110°=70°，
∵AE=AF，
∴∠E=∠AFE=70°，
∴∠A=180°−∠E−∠AFE=40°．
故答案为40．
根据平行线的性质得∠C=∠EFB=110°，再利用邻补角的定义得∠AFE=180°−110°=70°，由AE=AF，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠AFE=70°，然后根据三角形内角和定理计算∠A．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．也考查了三角形内角和定理以及等腰三角形性质．
12.【答案】3.2
【解析】解：∵AB//OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴ABOP=ACPC，
∴AB8=44+6，
∴AB=3.2，
答：树的高度AB长是3.2m，
故答案为：3.2．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
13.【答案】6
【解析】解：依题意，令h=0得：0=24t−4t2，
解得t=0或t=6，
小球从飞出到落地所用的时间为6−0=6s．
根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单．
14.【答案】2022 3+23π
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴AE=AB⋅sinB=2× 32= 3，
∴S菱形ABCD=S菱形A′B′C′D′=2 3，
S扇形BAC=60π×22360=23π，
∵2023÷2=1011…1，
所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：1011×S菱形ABCD+S扇形BAC=2022 3+23π．
故答案是：2022 3+23π．
首先发现两种卡片阴影部分的面积和为一个菱形的面积，然后确定2023张卡片中两种卡片的阴影部分面积组成菱形1011个面积，第2023个图形的阴影面积与扇形BAC面积相同，由此列式计算即可．
此题考查图形的变化规律，扇形的面积计算公式，菱形的面积计算公式，根据题意找出规律是解题的关键所在．
15.【答案】解： 8−4sin45°+(3−π)0+|−4|
=2 2−4× 22+1+4
=5．
【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式化简、绝对值的化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则，求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式、绝对值的化简等考点的运算．
16.【答案】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有1种情况，
∴他获胜的概率是：14．
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他获胜的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km．
由题意列方程组得：x+y=55y=9x−5，
解得：x=6y=49，
答：港珠澳大桥隧道长度为6km，桥梁长度为49km．
【解析】设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km.由题意：桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】证明：∵点E、D分别是CA、CB的中点，
∴CE=12CA，CD=12CB，
∵CA=CB，
∴CE=CD，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠C=∠CCD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠A=∠B．
【解析】由CE=12CA，CD=12CB，且CA=CB，得CE=CD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ACD≌△BCE，得∠A=∠B．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ACD≌△BCE是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图①中，平行四边形ABEF即为所求；
(2)如图②中，高AM即为所求；
(3)如图③中，点N即为所求．
【解析】(1)利用网格特征连接AP，BP并延长，即可作以点P为对称中心的平行四边形ABEF；
(2)取格点E，连接AE交BC于点M，即可作四边形ABCD的边BC上的高AM；
(3)取格点E，P，Q，连接AE，PQ，ED，PQ与ED交于点F，连接AF并延长交CD于点N即可．
本题考查作图−旋转变换，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】43.2
【解析】解：(1)不关注、关注、比较关注的共有4+6+24=34(人)，占调查人数的比例为：1−32%=68%，
∴此次调查中接受调查的人数为34÷68%=50(人)，
“比较关注”人数为：50×32%=16(人)，
补全统计图如图所示：
(2)360°×650=43.2，
故答案为：43.2；
(3)900×24+1650=720(人)，
答：估计该校“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有720人．
(1)从统计图中可以得到不关注、关注、比较关注的共有34人，占调查人数的68%，可求出调查人数；接受调查的人数乘以非常关注的百分比即可得到非常关注的人数，即可补全统计图；
(2)用360°乘以关注”的比例即可得到“关注”对应扇形的圆心角度数；
(3)样本估计总体，用样本中“比较关注”及“非常关注”的所占比例，乘以该校人数900人即可求解．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
21.【答案】解：如图，设一个档案盒的宽度DF=x cm，
则DG=60−7x−21=(39−7x)cm，
在Rt△DFG中，∠DFG=53°，
∵sin∠DFG=DGDF，
∴DG=DF⋅sin∠DFG
即39−7x=x⋅sin53°，
解得x=5，
即一个档案盒的宽度为5cm，
∴该书架中最多能竖放这样的档案盒个数为60÷5=12(个)，
答：该书架中最多能竖放12个这样的档案盒．
【解析】设每一个档案盒的厚度为x cm，用含有x的代数式表示DG，在Rt△DFG中由锐角三角函数的定义列方程求出档案盒的宽度，进而求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵y=x−1经过点A(3,m)，
∴m=3−1=2，
∴点A(3,2)，
∵点A(3,2)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3×2=6，
答：m=2，k=6；
(2)当n=2时，点P(2,0)，
当n=2时，y=2−1=1，
∴点B(2,1)，
当n=2时，y=62=3，
∴点C(2,3)，
∴PB=1−0=1，PC=3−0=3，
答：PB=1，PC=3；
(3)由于点P(n,0)，
∴点B(n,n−1)，点C(n,6n)，
∴BC=6n−(n−1)=6n−n+1，
∴S△OBC=12BC⋅OP
=12×(6n−n+1)×n
=−12n2+12n+3，
∵a=−12<0，
∴S有最大值，
当n=−b2a=12时，S最大=−12×14+12×12+3=258，
即当当0
(2)求出当n=2时，点B、点C的坐标，进而求出PB，PC的长即可；
(3)用含有n的代数式表示△OBC的面积，再根据二次函数的最值进行计算即可．
本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的计算方法是解决问题的关键．
23.【答案】16
【解析】解：(1)当0≤x≤6时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
根据题意，得b=1306k+b=127，
解得k=−12b=130，
∴y与x之间的函数关系式为y=−12x+130(0≤x≤6)；
(2)由题意得，当x=5时，y=−12×5+130=127.5，
因此，该水库的警戒线水位为127.5m；
(3)由题意得，5个泄洪闸全开时的水位下降速度为：130−1276=12(m/h)，
∴关闭3个泄洪站后的水位下降速度为：12×5−35=15(m/h)，
∴(127−125)÷15+6=16，
∴此次泄洪共持续了16h．
故答案为：16．
(1)当0≤x≤6时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将(0,130)，(6,127)代入并解方程组即可得出结论；
(2)将x=5代入(1)中所求函数关系式即可；
(3)先求出5个泄洪闸全开时的水位下降速度，再求出关闭3个泄洪站后的水位下降速度，高度除以速度可求出泄洪时间．
本题属于一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，利用待定系数法函数解析式是解题关键．
24.【答案】CF⊥BD
【解析】解：(1)CF⊥BD
∵tan∠ACB=1，
∴∠ACB=45°．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAD=90°
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°
∴∠DAC+∠CAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠FCB=90°，即CF⊥BD．
故答案为：CF⊥BD；
(2)(1)中的结论仍然成立，即：BD⊥CF，
理由如下：
如图(2)，过点A作AG⊥AC，交BC于点G，则∠DAG+∠DAC=90°．
∵tan∠ACB=1，
∴∠ACB=45°．
∴∠AGD=45°，
∴∠ACB=∠AGD，
∴AG=AC
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠DAC+∠CAF=90°，
∴∠GAD=∠CAF，
∴△GAD≌△CAF(SAS)，
∴∠AGD=∠ACF=45°，
∴∠FCB=90°，即CF⊥BD．
∴(1)中的结论仍然成立．
(3)线段CP的最大值为1．
如图(3)，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q．
∴∠AQC=90°，
∵∠BCA=45°,AC=4 2，
∴AQ=CQ=4．
设PC=y，CD=x，(由于线段DE与线段CF相交于点P，所以x≤4，即0
由(2)知，CF⊥BD，
∴∠AQD=90°，
∴∠DAQ+∠ADQ=90°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴∠ADE=90°=∠AQD，
∴∠ADQ+∠CDP=90°，
∴∠DAQ=∠CDP
∴△AQD∽△DCP，
∴CPDQ=DCAQ，即y4−x=x4，
∴y=−14x2+x=−14(x−2)2+1，
∴当x=2时，y有最大值1，
即线段CP的最大值为1．
(1)先求出∠ACB=45°，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAF，即可得出结论；
(2)先判断出AG=AC，进而同(1)的方法即可得出结论；
(3)先求出AD=CD=4，利用同角的余角相等，判断出△AQD∽△DCP，得出比例式，进而得出y=−14(x−2)2+1，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，判断出△AQD∽△DCP是解本题的关键．
25.【答案】72
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=3cm，
当点P与点C重合时，点P运动的路程是：AB+BC=4+3=7(cm)，
∵点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线AB−BC−CD运动，
∴t=72s，
故答案为：72；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，BC=AD=3cm，
在Rt△ABC中由勾股定理得AC= AB2+BC2= 42+32=5(cm)，
∵点Q从点A出发以1cm/s的速度沿AC向点C运动，
∴0
当点P在边AB上时，即0
过点Q作QE⊥AB于点E，
∴∠QEA=∠B=90°，
又∠QAE=∠CAB，
∴△AQE∽△ACB，
∴AQAC=QEBC，
∴t5=QE3，
∴QE=35t，
∴S=12AP⋅QE=12⋅2t⋅35t=35t2；
当点P在BC边上时，即2
此时CP=(7−2t) cm，
过点P作PF⊥AC于点F，
∴∠PFC=∠B=90°，
又∠PCF=∠ACB，
∴△PCF∽△ACB，
∴PFAB=CPAC，
∴PF4=7−2t5，
∴PF=−85t+285，
∴S=12AQ⋅PF=12⋅t⋅(−85t+285)=−45t2+145t；
当点P在CD上，即72
此时CP=(2t−7)cm，
过点P作PG⊥AC于点G，
∴∠PGC=∠D=90°，
又∠PCG=∠ACD，
∴△PGC∽△ADC，
∴PGAD=CPAC，
∴PG3=2t−75，
∴PG=65t−215，
∴S=12AQ⋅PG=12t⋅(65t−215)=35t2−2110t；
综上，S=35t2(0
∵CP=CQ，
∴CP=(5−t) cm，
在Rt△CBP中，由勾股定理得，CP2=BC2+BP2，
∴(5−t)2=32+(4−2t)2，
解得，t1=0(舍去)，t2=2；
当点P在BC边上时，即2
∵CP=CQ，
∴7−2t=5−t，
∴t=2(舍去)；
当点P在CD上，即72
∵CP=CQ，
∴2t−7=5−t，
∴t=4；
综上，t的值为2或4．
(1)先计算出点P与点C重合时运动的路程，再根据运动速度即可求出运动时间；
(2)分情况讨论：当0
本题考查了矩形的性质，动点问题，勾股定理，三角形的面积与函数关系，学会用分类讨论思想思考问题，属于压轴题．
26.【答案】2
【解析】解：(1)∵−−42×1=2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
故答案为：2；
(2)①把(0,0)代入y=x2−4x+3a得：0=3a，
∴a=0，
∴抛物线所对应的二次函数表达式为y=x2−4x；
②当m+2<2，即m<0时，x=m+2，y取最小值，
∴(m+2)2−4(m+2)=−3，
解得m=−1或m=1(舍去)；
∴m=−1，
当m<2≤m+2，即0≤m<2时，x=2，y取最小值，
此时最小值为22−4×2=−4，不符合题意；
当m>2时，x=m，y取最小值，
∴m2−4m=−3，
解得m=−1(舍去)或m=3；
综上所述，m的值为−1或3；
(3)设抛物线对称轴交AB于K，如图：
在y=x2−4x+3a中，令x=0得y=3a，
∴A(0,3a)，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，
∴B(4,3a)，K(2,3a)；
∵点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为2a+1，
∴P(2,2a+1)，
∴PK=|(2a+1)−3a|=|−a+1|，
以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，由图可知，直角顶点为P，
∴∠PAB=45°，
∴△PAK是等腰直角三角形，
∴AK=PK，
∴2=|−a+1|，
解得a=−1或a=3，
∴a的值为−1或3．
(1)由抛物线对称轴公式即可得答案；
(2)①把(0,0)代入y=x2−4x+3a得y=x2−4x；
②分三种情况：当m+2<2，即m<0时，(m+2)2−4(m+2)=−3，当m<2≤m+2，即0≤m<2时，最小值为22−4×2=−4，不符合题意；当m>2时，m2−4m=−3，解方程可得答案；
(3)设抛物线对称轴交AB于K，求出A(0,3a)，B(4,3a)，K(2,3a)；根据以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形知，直角顶点为P，故AK=PK，可得2=|−a+1|，即可解得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
2023年吉林省松原市长岭县三校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最小的数是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 下列几何体中，俯视图是圆的几何体是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算中，结果是a5的是( )
A. a2+a3 B. a2⋅a3 C. a10÷a2 D. (a2)3
4. 据央广网消息，近年来，数字贸易在国内创造了高达32000亿元的经济效益．将数据“32000亿”用科学记数法表示为( )
A. 3.2×1011 B. 3.2×1012 C. 32×1012 D. 0.32×1013
5. 如图，AB是⊙O的直径，∠D=32°，则∠AOC等于( )
A. 158°
B. 58°
C. 64°
D. 116°
6. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为( )
A. 6 B. 7.5 C. 12 D. 15
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 实数8的立方根是______ ．
8. 不等式2x−4>−6的解集为______．
9. 分解因式：ax2−ay2= ．
10. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为s甲2=1.2，s乙2=1.9，则两人成绩比较稳定的是______ .(填“甲”或“乙”)
11. 如图，AB//CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A= ______ °.
12. 如图，道旁树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯O离地8m，树影AC长4m，树AB与路灯O的水平距离AP为6m，则树AB的高是______ m.
13. 如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)直接具有的关系为h=24t−4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为______s.
14. 如图①，菱形卡片ABCD与菱形卡片A′B′C′D′的边长均为2，∠B=∠B′=60°，卡片中的扇形半径均为2.如图②是交替摆放这两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2023张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为______.(结果保留π)
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算： 8−4sin45°+(3−π)0+|−4|
16. (本小题5.0分)
小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的概率是多少？(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
17. (本小题5.0分)
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
18. (本小题5.0分)
如图，CA=CB，点E、D分别是CA、CB的中点．求证：∠A=∠B．
19. (本小题7.0分)
图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
(2)在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
(3)在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN=45°．
20. (本小题7.0分)
2022年3月23日，“天空课堂”第二课开讲，神舟十三号飞行乘组航天员在中国空间站进行太空授课．某校为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
(1)补全图1条形统计图；
(2)扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______°；
(3)该校共有900人，根据调查结果估计该校“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
21. (本小题7.0分)
如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧BG的长为60cm，∠DFG=53°，ED长度约为21cm.求出该书架中最多能竖放几个这样的档案盒．(点A、点B、点C、点D、点E、点F、点G在同一平面内．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈0.75)
22. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系中，双曲线y=kx(x>0)与直线y=x−1交于点A(3,m).已知点P(n,0)(n>0)，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y=x−1于点B，交函数y=kx(x>0)于点C．
(1)求m，k的值；
(2)当n=2时，求出线段PC与PB的长度；
(3)直接写出当0
23. (本小题8.0分)
去年我市经历罕见暴雨，石头口门水库水位不断上涨，暴雨过后，水库水位已经超过警戒线水位，上级下达指示立即将五个水流量相同的泄洪闸打开紧急泄洪，6小时后关闭三个泄洪闸继续泄洪．水库水位y(m)与泄洪时间x(h)的关系如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)五个泄洪闸同时开放时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该水库的警戒线水位．
(3)若水位高度降至125米时关闭所有泄洪闸，此次泄洪共持续______小时．
24. (本小题8.0分)
在△ABC中，tan∠ACB=1，点D(不与点B，C重合)是线段BC上的一个动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF
(1)发现问题：
如图(1)，若AB=AC，则CF与BD的位置关系______；
(2)拓展探究：
如图(2)，若AB≠AC，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)解决问题：
若AB≠AC,AC=4 2，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，请直接写出线段CP的最大值
25. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线AB−BC−CD运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度沿AC向终点C运动，当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动，连接AP，PQ.设点P的运动时间为t(s)(t>0)，△PAQ的面积为S(cm2).
(1)当点P与点C重合时，t= ______ s；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．
26. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−4x+3a(a为常数，且a≠0)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．
(1)抛物线的对称轴为直线x= ______ ；
(2)当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当m≤x≤m+2(m为常数)时，y的最小值为−3，求m的值；
(3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为2a+1，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
−1<0<1<2，
∴四个数中，最小的数是−1．
故选：A．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】A
【解析】解：A、俯视图是圆，故此选项正确；
B、俯视图是正方形，故此选项错误；
C、俯视图是长方形，故此选项错误；
D、俯视图是长方形，故此选项错误．
故选：A．
分别找出从图形的上面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2+a3，无法合并，故此选项不合题意；
B、a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
C、a10÷a2=a8，故此选项不合题意；
D、(a2)3=a6，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：32000亿=3200000000000=3.2×1012．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠D=32°，
∴∠BOC=2∠D=64°，
∴∠AOC=180°−64°=116°．
故选：D．
先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由补角的定义即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设AE=x，则ED=BE=9−x，
根据勾股定理可得，32+x2=(9−x)2，
解得：x=4，
由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，
∵AD//BC，
∴∠FED=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF=5，
∴S△BFE=12×5×3=7.5．
故选：B．
根据翻折的性质可得，BE=DE，设AE=x，则ED=BE=9−x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得32+x2=(9−x)2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，由矩形的性质可得∠FED=∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE=BF，即可得出答案．
本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
7.【答案】2
【解析】解：∵23=8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
根据立方根的定义解答．
本题考查了立方根的定义，找出2的立方是8是解题的关键．
8.【答案】x>−1
【解析】解：移项得，2x>4−6，
合并得，2x>−2
系数化为1得，x>−1．
故答案为：x>−1．
先移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
9.【答案】a(x+y)(x−y)
【解析】
【分析】
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：ax2−ay2
=a(x2−y2)
=a(x+y)(x−y)．
故答案为：a(x+y)(x−y)．
10.【答案】甲
【解析】解：∵S甲2=1.2，S乙2=1.9，
∴S甲2
故答案为：甲．
根据方差的意义求解即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了平均数．
11.【答案】40
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠C=∠EFB=110°，
∴∠AFE=180°−110°=70°，
∵AE=AF，
∴∠E=∠AFE=70°，
∴∠A=180°−∠E−∠AFE=40°．
故答案为40．
根据平行线的性质得∠C=∠EFB=110°，再利用邻补角的定义得∠AFE=180°−110°=70°，由AE=AF，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠AFE=70°，然后根据三角形内角和定理计算∠A．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．也考查了三角形内角和定理以及等腰三角形性质．
12.【答案】3.2
【解析】解：∵AB//OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴ABOP=ACPC，
∴AB8=44+6，
∴AB=3.2，
答：树的高度AB长是3.2m，
故答案为：3.2．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
13.【答案】6
【解析】解：依题意，令h=0得：0=24t−4t2，
解得t=0或t=6，
小球从飞出到落地所用的时间为6−0=6s．
根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单．
14.【答案】2022 3+23π
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴AE=AB⋅sinB=2× 32= 3，
∴S菱形ABCD=S菱形A′B′C′D′=2 3，
S扇形BAC=60π×22360=23π，
∵2023÷2=1011…1，
所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：1011×S菱形ABCD+S扇形BAC=2022 3+23π．
故答案是：2022 3+23π．
首先发现两种卡片阴影部分的面积和为一个菱形的面积，然后确定2023张卡片中两种卡片的阴影部分面积组成菱形1011个面积，第2023个图形的阴影面积与扇形BAC面积相同，由此列式计算即可．
此题考查图形的变化规律，扇形的面积计算公式，菱形的面积计算公式，根据题意找出规律是解题的关键所在．
15.【答案】解： 8−4sin45°+(3−π)0+|−4|
=2 2−4× 22+1+4
=5．
【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式化简、绝对值的化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则，求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式、绝对值的化简等考点的运算．
16.【答案】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有1种情况，
∴他获胜的概率是：14．
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他获胜的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km．
由题意列方程组得：x+y=55y=9x−5，
解得：x=6y=49，
答：港珠澳大桥隧道长度为6km，桥梁长度为49km．
【解析】设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km.由题意：桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】证明：∵点E、D分别是CA、CB的中点，
∴CE=12CA，CD=12CB，
∵CA=CB，
∴CE=CD，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠C=∠CCD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠A=∠B．
【解析】由CE=12CA，CD=12CB，且CA=CB，得CE=CD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ACD≌△BCE，得∠A=∠B．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ACD≌△BCE是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图①中，平行四边形ABEF即为所求；
(2)如图②中，高AM即为所求；
(3)如图③中，点N即为所求．
【解析】(1)利用网格特征连接AP，BP并延长，即可作以点P为对称中心的平行四边形ABEF；
(2)取格点E，连接AE交BC于点M，即可作四边形ABCD的边BC上的高AM；
(3)取格点E，P，Q，连接AE，PQ，ED，PQ与ED交于点F，连接AF并延长交CD于点N即可．
本题考查作图−旋转变换，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】43.2
【解析】解：(1)不关注、关注、比较关注的共有4+6+24=34(人)，占调查人数的比例为：1−32%=68%，
∴此次调查中接受调查的人数为34÷68%=50(人)，
“比较关注”人数为：50×32%=16(人)，
补全统计图如图所示：
(2)360°×650=43.2，
故答案为：43.2；
(3)900×24+1650=720(人)，
答：估计该校“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有720人．
(1)从统计图中可以得到不关注、关注、比较关注的共有34人，占调查人数的68%，可求出调查人数；接受调查的人数乘以非常关注的百分比即可得到非常关注的人数，即可补全统计图；
(2)用360°乘以关注”的比例即可得到“关注”对应扇形的圆心角度数；
(3)样本估计总体，用样本中“比较关注”及“非常关注”的所占比例，乘以该校人数900人即可求解．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
21.【答案】解：如图，设一个档案盒的宽度DF=x cm，
则DG=60−7x−21=(39−7x)cm，
在Rt△DFG中，∠DFG=53°，
∵sin∠DFG=DGDF，
∴DG=DF⋅sin∠DFG
即39−7x=x⋅sin53°，
解得x=5，
即一个档案盒的宽度为5cm，
∴该书架中最多能竖放这样的档案盒个数为60÷5=12(个)，
答：该书架中最多能竖放12个这样的档案盒．
【解析】设每一个档案盒的厚度为x cm，用含有x的代数式表示DG，在Rt△DFG中由锐角三角函数的定义列方程求出档案盒的宽度，进而求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵y=x−1经过点A(3,m)，
∴m=3−1=2，
∴点A(3,2)，
∵点A(3,2)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3×2=6，
答：m=2，k=6；
(2)当n=2时，点P(2,0)，
当n=2时，y=2−1=1，
∴点B(2,1)，
当n=2时，y=62=3，
∴点C(2,3)，
∴PB=1−0=1，PC=3−0=3，
答：PB=1，PC=3；
(3)由于点P(n,0)，
∴点B(n,n−1)，点C(n,6n)，
∴BC=6n−(n−1)=6n−n+1，
∴S△OBC=12BC⋅OP
=12×(6n−n+1)×n
=−12n2+12n+3，
∵a=−12<0，
∴S有最大值，
当n=−b2a=12时，S最大=−12×14+12×12+3=258，
即当当0
(2)求出当n=2时，点B、点C的坐标，进而求出PB，PC的长即可；
(3)用含有n的代数式表示△OBC的面积，再根据二次函数的最值进行计算即可．
本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的计算方法是解决问题的关键．
23.【答案】16
【解析】解：(1)当0≤x≤6时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
根据题意，得b=1306k+b=127，
解得k=−12b=130，
∴y与x之间的函数关系式为y=−12x+130(0≤x≤6)；
(2)由题意得，当x=5时，y=−12×5+130=127.5，
因此，该水库的警戒线水位为127.5m；
(3)由题意得，5个泄洪闸全开时的水位下降速度为：130−1276=12(m/h)，
∴关闭3个泄洪站后的水位下降速度为：12×5−35=15(m/h)，
∴(127−125)÷15+6=16，
∴此次泄洪共持续了16h．
故答案为：16．
(1)当0≤x≤6时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将(0,130)，(6,127)代入并解方程组即可得出结论；
(2)将x=5代入(1)中所求函数关系式即可；
(3)先求出5个泄洪闸全开时的水位下降速度，再求出关闭3个泄洪站后的水位下降速度，高度除以速度可求出泄洪时间．
本题属于一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，利用待定系数法函数解析式是解题关键．
24.【答案】CF⊥BD
【解析】解：(1)CF⊥BD
∵tan∠ACB=1，
∴∠ACB=45°．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAD=90°
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°
∴∠DAC+∠CAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠FCB=90°，即CF⊥BD．
故答案为：CF⊥BD；
(2)(1)中的结论仍然成立，即：BD⊥CF，
理由如下：
如图(2)，过点A作AG⊥AC，交BC于点G，则∠DAG+∠DAC=90°．
∵tan∠ACB=1，
∴∠ACB=45°．
∴∠AGD=45°，
∴∠ACB=∠AGD，
∴AG=AC
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠DAC+∠CAF=90°，
∴∠GAD=∠CAF，
∴△GAD≌△CAF(SAS)，
∴∠AGD=∠ACF=45°，
∴∠FCB=90°，即CF⊥BD．
∴(1)中的结论仍然成立．
(3)线段CP的最大值为1．
如图(3)，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q．
∴∠AQC=90°，
∵∠BCA=45°,AC=4 2，
∴AQ=CQ=4．
设PC=y，CD=x，(由于线段DE与线段CF相交于点P，所以x≤4，即0
由(2)知，CF⊥BD，
∴∠AQD=90°，
∴∠DAQ+∠ADQ=90°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴∠ADE=90°=∠AQD，
∴∠ADQ+∠CDP=90°，
∴∠DAQ=∠CDP
∴△AQD∽△DCP，
∴CPDQ=DCAQ，即y4−x=x4，
∴y=−14x2+x=−14(x−2)2+1，
∴当x=2时，y有最大值1，
即线段CP的最大值为1．
(1)先求出∠ACB=45°，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAF，即可得出结论；
(2)先判断出AG=AC，进而同(1)的方法即可得出结论；
(3)先求出AD=CD=4，利用同角的余角相等，判断出△AQD∽△DCP，得出比例式，进而得出y=−14(x−2)2+1，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，判断出△AQD∽△DCP是解本题的关键．
25.【答案】72
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=3cm，
当点P与点C重合时，点P运动的路程是：AB+BC=4+3=7(cm)，
∵点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线AB−BC−CD运动，
∴t=72s，
故答案为：72；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，BC=AD=3cm，
在Rt△ABC中由勾股定理得AC= AB2+BC2= 42+32=5(cm)，
∵点Q从点A出发以1cm/s的速度沿AC向点C运动，
∴0
当点P在边AB上时，即0
过点Q作QE⊥AB于点E，
∴∠QEA=∠B=90°，
又∠QAE=∠CAB，
∴△AQE∽△ACB，
∴AQAC=QEBC，
∴t5=QE3，
∴QE=35t，
∴S=12AP⋅QE=12⋅2t⋅35t=35t2；
当点P在BC边上时，即2
此时CP=(7−2t) cm，
过点P作PF⊥AC于点F，
∴∠PFC=∠B=90°，
又∠PCF=∠ACB，
∴△PCF∽△ACB，
∴PFAB=CPAC，
∴PF4=7−2t5，
∴PF=−85t+285，
∴S=12AQ⋅PF=12⋅t⋅(−85t+285)=−45t2+145t；
当点P在CD上，即72
此时CP=(2t−7)cm，
过点P作PG⊥AC于点G，
∴∠PGC=∠D=90°，
又∠PCG=∠ACD，
∴△PGC∽△ADC，
∴PGAD=CPAC，
∴PG3=2t−75，
∴PG=65t−215，
∴S=12AQ⋅PG=12t⋅(65t−215)=35t2−2110t；
综上，S=35t2(0
∵CP=CQ，
∴CP=(5−t) cm，
在Rt△CBP中，由勾股定理得，CP2=BC2+BP2，
∴(5−t)2=32+(4−2t)2，
解得，t1=0(舍去)，t2=2；
当点P在BC边上时，即2
∵CP=CQ，
∴7−2t=5−t，
∴t=2(舍去)；
当点P在CD上，即72
∵CP=CQ，
∴2t−7=5−t，
∴t=4；
综上，t的值为2或4．
(1)先计算出点P与点C重合时运动的路程，再根据运动速度即可求出运动时间；
(2)分情况讨论：当0
本题考查了矩形的性质，动点问题，勾股定理，三角形的面积与函数关系，学会用分类讨论思想思考问题，属于压轴题．
26.【答案】2
【解析】解：(1)∵−−42×1=2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
故答案为：2；
(2)①把(0,0)代入y=x2−4x+3a得：0=3a，
∴a=0，
∴抛物线所对应的二次函数表达式为y=x2−4x；
②当m+2<2，即m<0时，x=m+2，y取最小值，
∴(m+2)2−4(m+2)=−3，
解得m=−1或m=1(舍去)；
∴m=−1，
当m<2≤m+2，即0≤m<2时，x=2，y取最小值，
此时最小值为22−4×2=−4，不符合题意；
当m>2时，x=m，y取最小值，
∴m2−4m=−3，
解得m=−1(舍去)或m=3；
综上所述，m的值为−1或3；
(3)设抛物线对称轴交AB于K，如图：
在y=x2−4x+3a中，令x=0得y=3a，
∴A(0,3a)，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，
∴B(4,3a)，K(2,3a)；
∵点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为2a+1，
∴P(2,2a+1)，
∴PK=|(2a+1)−3a|=|−a+1|，
以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，由图可知，直角顶点为P，
∴∠PAB=45°，
∴△PAK是等腰直角三角形，
∴AK=PK，
∴2=|−a+1|，
解得a=−1或a=3，
∴a的值为−1或3．
(1)由抛物线对称轴公式即可得答案；
(2)①把(0,0)代入y=x2−4x+3a得y=x2−4x；
②分三种情况：当m+2<2，即m<0时，(m+2)2−4(m+2)=−3，当m<2≤m+2，即0≤m<2时，最小值为22−4×2=−4，不符合题意；当m>2时，m2−4m=−3，解方程可得答案；
(3)设抛物线对称轴交AB于K，求出A(0,3a)，B(4,3a)，K(2,3a)；根据以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形知，直角顶点为P，故AK=PK，可得2=|−a+1|，即可解得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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