2022-2023学年山东省泰安市高新区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省泰安市高新区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省泰安市高新区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中： 2， 312， 14， 0.2， 9，最简二次根式的个数为(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 若关于x的一元二次方程mx2+x−m2+1=0的一个根为−1，则m的值为(    )
A. 0 B. 1 C. −1或0 D. 0或1
3. 下列计算正确的是(    )
A. −4× −9=−2×(−3)=6 B. 6÷ 3= 3
C. 3+2 3=5 3 D. 4 2− 2=3 2
4. 给出下列判断，正确的是(    )
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
5. 如果 (1−3x)2=3x−1，那么x的取值范围(    )
A. x≥13 B. x>13 C. x≤13 D. x<13
6. 一菱形的对角线长分别为(6 5+1)与(6 5−1)，则该菱形的面积为(    )
A. 179 B. 65 C. 89.5 D. 不能确定
7. 若x2−2x−5=0的一个解为a，则a(2a−3)+a(1−a)的值为(    )
A. 5 B. 2 6+4 C. 6 D. −5
8. 两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC.若AB=2，BC=6，则图中重叠(阴影)部分的面积为(    )


A. 103 B. 2 5 C. 203 D. 12
9. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，∠BAC的平分线交BC于点E，BM⊥AE于点M，交AC于点F.若点N是BC的中点，连接MN.已知AB=6，BC=8.则MN的长为(    )
A. 3.5
B. 3
C. 2.5
D. 2
10. 若(a+b+1)(a+b−1)=15，则a+b的值是(    )
A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4
11. 如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD，连接AE，交BD于点F.若∠CDE=42°，则∠BFC的度数为(    )

A. 72° B. 71° C. 70° D. 69°
12. 如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE的度数为(    )


A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 一元二次方程x(x−4)+x−4=0的根是______ ．
14. 代数式 1−xx+2有意义，则字母x的取值范围是______．
15. 关于x的一元二次方程(m−1)x2−2mx+m−3=0有实数根，则m的取值范围为______ ．
16. 若二次根式 5a−2与 a2+4是同类二次根式，则a=______．
17. 如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBC=80°，则∠ACB= ______ °.


18. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E在DC上，点F在AC上，∠BFE=90°，若CE=1.则AF的长为______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算
(1)(2 27− 48)÷ 3− 5+ 114；
(2)(2 3−1)2−(2 3+3 2)(2 3−3 2)．
20. (本小题12.0分)
按照指定方法解下列方程：
(1)3x2−4x+1=0(配方法)；
(2)2x2−2 2x+1=0(公式法)；
(3)3x(x−2)=2x−4．
21. (本小题10.0分)
(1)当a=3−2 2时，求代数式a+2 a2−6a+9的值．
(2)当a=3+2 2，b=3−2 2，求代数式a2−3ab+b2的值．
22. (本小题10.0分)
如图，正方形ABCD的顶点A在直线l上，分别过点B，D作直线l的垂线，点E，F为垂足，连接BF．
(1)请找出一对全等的三角形，并说明理由；
(2)若AE=6，BF=2 29，求△ABF的面积．

23. (本小题12.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+k−1=0
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知12是关于x的方程x2−(k+2)x+k−1=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长．
①求k的值；
②求△ABC的周长．
24. (本小题13.0分)
如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G为EF中点，连接BD、DG、BG、CG．
(1)试判断△ECF的形状，并说明理由；
(2)求∠BDG的度数．

25. (本小题13.0分)
如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE，使EF=DE，连接BF并延长，使FG=OF，连接AG，OF．
(1)求证：四边形AOFG为菱形；
(2)若AD=5，AE=3，求BG的长．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：最简二次根式有 2， 14，共2个，
故选：C．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：①被开方数不含有分母，②被开方数的每个因式的指数都小于根指数2．

2.【答案】B 
【解析】解：把x=−1代入方程，得m−1−m2+1=0，
解得：m=0或m=1，
当m=0时，此方程不是关于x的一元二次方程，
故m=1．
故选：B．
把x=−1代入方程，解方程即可求解．
本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，讨论当m=0时，此方程不是关于x的一元二次方程是解决本题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A． −4× −9无意义；选项错误，不符合题意；
B. 6÷ 3= 2；选项错误，不符合题意；
C.3与2 3无法合并；选项错误，不符合题意；
D.4 2− 2=3 2；选项正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是关键．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】
解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意，
故选：D．  
5.【答案】A 
【解析】解：由题意可知：3x−1≥0，
∴x≥13，
故选：A．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

6.【答案】C 
【解析】解：菱形的面积为：
(6 5+1)×(6 5−1)÷2=89.5．
故选：C．
根据菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，即可求得答案．
本题考查了菱形的性质：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半；熟练掌握菱形面积公式是解题关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵x2−2x−5=0的一个解为a，
∴a2−2a−5=0，
∴a2−2a=5，
∴a(2a−3)+a(1−a)=a2−2a=5，
故选：A．
首先根据x2−2x−5=0的一个解为a得到a2−2a−5=0，从而得到a2−2a=5，然后整体代入即可求解．
本题考查了一元二次方程的解及单项式乘以单项式的知识，解题的关键是能够利用方程的解的定义得到有关a的代数式的值，难度不大．

8.【答案】C 
【解析】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：








∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD//BC，AE//CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
∠B=∠E∠AGB=∠CGEAB=CE，
∴△ABG≌△CEG(AAS)，
∴AG=CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG=CG=x，则BG=BC−CG=6−x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：22+(6−x)2=x2，
解得：x=103，
∴CG=103，
∴菱形AGCH的面积=CG×AB=103×2=203，
即图中重叠(阴影)部分的面积为203，
故选：C．
先证四边形AGCH是平行四边形，再证△ABG≌△CEG(AAS)，得AG=CG，则四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC−CG=3−x，然后在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程得出CG的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出CG的长是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵∠BAC的平分线交BC于点E，BM⊥AE于点M，
∴△ABF是等腰三角形，
∴BM=MF，AB=AF，
∴FC=AC−AF=AC−AB=10−6=4，
∵点N是BC的中点，
∴MN是△BFC的中位线，
∴2MN=FC=4，
∴MN=2，
故选：D．
根据等腰三角形的判定和性质得出△ABF是等腰三角形，进而利用三角形中位线定理解答即可．
此题主要考查了矩形的性质，根据等腰三角形的判定和性质得出△ABF是等腰三角形是解题关键．

10.【答案】B 
【解析】解：(a+b+1)(a+b−1)=15，
(a+b)2−1=15，
(a+b)2=16，
开方得：a+b=±4，
故选：B．
先根据平方差公式进行计算，求出(a+b)2=16，再方程两边开方即可．
本题考查了平方差公式和解一元二次方程，能求出(a+b)2=16是解此题的关键．

11.【答案】D 
【解析】解：在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDE=42°，
∴∠ADE=90°+42°=132°，
∵ED=CD，
∴AD=ED，
∴∠DAE=(180°−132°)÷2=24°，
在△ADF和△CDF中，
AD=CD∠ADB=∠CDBDF=DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF=∠DAF=24°，
∴∠BCF=90°−24°=66°，
∴∠BFC=180°−45°−66°=69°，
故选：D．
根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，再根据已知条件可知AD=ED，可得∠DAE，再证明△ADF≌△CDF(SAS)，根据全等三角形的性质即可求出∠DCF，进而解答即可．
本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．

12.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定、三角形的内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，最后可求出∠AFD，∠CFE的度数．
【解答】
解：连接AC，

∵菱形ABCD，
∴AB=BC，∠B=∠D=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°，
∴AB=AC，∠ACF=12∠BCD=60°，
∴∠B=∠ACF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，
又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE与△ACF中，
∠B=∠ACFAB=AC∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴AE=AF，
又∵∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
又∵∠AFD=180°−∠FAD−∠D=180°−45°−60°=75°，
∴∠CFE=180°−∠AFD−∠AFE=180°−75°−60°=45°．
故选B．  
13.【答案】x1=4，x2=−1 
【解析】解：原方程可化为(x−4)(x+1)=0，
解得x1=4，x2=−1．
故答案为x1=4，x2=−1．
可将等式的左边因式分解，就可解出此方程．
本题主要考查了运用因式分解法解方程，解方程常用的方法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，应灵活运用．

14.【答案】x≤1且x≠−2 
【解析】解：由题意，得
1−x≥0且x+2≠0，
解得x≤1且x≠−2，
故答案为：x≤1且x≠−2．
根据分母不为零分式有意义，被开方数是非负数，可得到答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义，被开方数是非负数得出不等式是解题关键．

15.【答案】m≥34且m≠1 
【解析】解：根据题意得m−1≠0且Δ=4m2−4(m−1)(m−3)≥0，
所以m≥34且m≠1．
故答案为m≥34且m≠1．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m−1≠0且Δ=4m2−4(m−1)(m−3)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

16.【答案】2或3 
【解析】解：∵二次根式 5a−2与 a2+4是同类二次根式，
∴5a−2=a2+4，
解得：a=2或3，
经检验a=2或3都符合题意，
故答案为：2或3．
根据同类二次根式的定义得出5a−2=a2+4，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．

17.【答案】25 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，∠DAC=∠BAC，
∴∠AFB=∠FBC=80°，∠DAC=∠ACB，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA=12(180°−∠AFB)=50°，
∴∠DAC=∠BAC=25°，
∴∠ACB=25°，
故答案为：25．
由菱形的性质可得AD//BC，∠DAC=∠BAC，由平行线的性质可得∠AFB=∠FBC=80°，∠DAC=∠ACB，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可求∠DAC=∠BAC=25°，即可求解．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握菱形的性质是本题的关键．

18.【答案】3 22 
【解析】解：过点F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，如图所示：
则∠EGF=∠FHB=90°，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
在正方形ABCD中，∠BCD=∠ABC=90°，∠ACD=∠CAB=45°，
∴四边形BCGH是矩形，
∴CG=BH，
∵∠GCA=45°，∠CGF=90°，
∴∠GFC=45°，
∴CG=GF，
∴GF=BH，
∵∠BFE=90°，
∴∠GFE+∠HFB=90°，
∴∠HFB=∠GEF，
在△GFE和△HBF中，
∠GEF=∠HFB∠EGF=∠FHBGF=HB，
∴△GFE≌△HBF(AAS)，
∴FH=GE，
∵∠CAB=45°，∠AHF=90°，
∴∠HFA=45°，
∴AH=FH，
设AH=FH=x，
∵正方形的边长为4，
∴AB=4，
则GE=x，HB=4−x，
∵CG=HB，
∴x+1=4−x，
解得x=32，
∴AH=FH=32，
在Rt△AFH中，根据勾股定理，得AF= AH2+FH2=3 22，
故答案为：3 22．
根据正方形的性质可得∠BCD=∠ABC=90°，∠ACD=∠CAB=45°，可证四边形BCGH是矩形，再证△GFE≌△HBF(AAS)，根据全等三角形的性质可得GE=FH，设AH=FH=x，根据CG=HB列方程，求出x的值，进一步根据勾股定理求出AF的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．

19.【答案】解：(1)原式=(6 3−4 3)÷ 3− 5+ 52
=2 3÷ 3− 5+ 52
=2− 5+ 52
=2− 52；

(2)原式=12+1−4 3−(12−18)
=12+1−4 3+6
=19−4 3． 
【解析】(1)直接利用二次根式的性质以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案；
(2)直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

20.【答案】解：(1)方程变形得：x2−43x=−13，
配方得：x2−43x+49=−13+49，即(x−23)2=19，
开方得：x−23=±13，
解得：x1=1，x2=13；
(2)这里a=2，b=−2 2，c=1，
∵Δ=(−2 2)2−4×2×1=8−8=0，
∴x=−b± b2−4ac2a=2 2±04= 22，
解得：x1=x2= 22；
(3)方程整理得：3x(x−2)−2(x−2)=0，
分解因式得：(x−2)(3x−2)=0，
所以x−2=0或3x−2=0，
解得：x1=2，x2=23． 
【解析】(1)方程利用配方法求出解即可；
(2)方程利用公式法求出解即可；
(3)方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

21.【答案】解：(1)∵a=3−2 2，
∴a−3=3−2 2−3=−2 2<0，
∴a+2 a2−6a+9
=a+2 (a−3)2
=a+2(3−a)
=a+6−2a
=6−a，
=6−(3−2 2)
=6−3+2 2
=3+2 2；
(2)∵a=3+2 2，b=3−2 2，
∴a−b=3+2 2−3+2 2=4 2，ab=(3+2 2)(3−2 2)=1
∴a2−3ab+b2
=(a−b)2−ab
=(4 2)2−1
=32−1
=31． 
【解析】(1)先判断出a−3的符号，再把二次根式进行化简即可；
(2)把原式化为(a−b)2−ab的形式，再把a，b的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．

22.【答案】解：(1)△BEA≌△AFD(AAS)，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵BE⊥l，DF⊥l，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵∠EAB+∠FAD=90°，∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠FAD=∠ABE，
在△BEA与△AFD中，
∠AEB=∠AFD∠FAD=∠ABEAB=AD，
∴△BEA≌△AFD(AAS)；
(2)由(1)知△BEA≌△AFD，
∴AF=BE，
设AF=BE=x，则EF=AF+AE=x+6，
在Rt△BEF中，BE2+EF2=BF2，
即x2+(x+6)2=(2 29)2，
即x2+6x−40=0，
解得：x1=4，x2=−10(舍去)，
∴S△ABF=12×AF×BE=12×4×4=8． 
【解析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．
本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、勾股定理等知识点．

23.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−(k+2)，c=k−1，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×(k−1)=k2+8>0，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)解①：把x=12代入方程x2−(k+2)x+k−1=0得：
14−12(k+2)+k−1=0，
解得k=72；
②方程为x2−112x+52=0，
解得x1=12，x2=5，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为12、5、5，
所以△ABC的周长为212． 
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=k2+8>0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；
(2)①先把x=12代入方程x2−(k+2)x+k−1=0得k=72；
②方程为x2−112x+52=0，利用因式分解法解方程得到x1=12，x2=5，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．

24.【答案】(1)解：△ECF是等腰直角三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∴∠BEA=∠BAE=45°，
∴∠CEF=45°，AB=BE，
∴∠F=90°−45°=45°=∠CEF，
∴EC=FC，
又∵∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵AB=BE，
∴BE=CD，
∵EC=FC，∠ECF=90°，
∴CG=12EF=EG，∠ECG=12∠ECF=45°，∠EGC=90°，
∴∠DCG=90°+45°=135°，
∵∠BEG=180°−45°=135°，
∴∠DCG=∠BEG，
在△DCG和△BEG中，
DC=BE∠DCG=∠BEGCG=EG,
∴△DCG≌△BEG(SAS)，
∴DG=BG，∠DGC=∠BGE，
∴∠BGD=∠EGC=90°，
又∵DG=BG，
∴∠BDG=45°． 
【解析】(1)先证明∠BEA=∠BAE=45°，得出∠CEF=45°，AB=BE，得出∠F=45°，再证出EC=FC，即可得出结论；
(2)由“SAS”可证△DCG≌△BEG，得出∠DGC=∠BGE，证出∠BGD=∠EGC=90°，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．

25.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，EF=DE，
∴OD=OF，DA=AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB，
∴OA=OD=OB=OF，
∴D、A、F、B四点共圆，
∴∠DFB=90°，
∴AO//GF，
∵FG=OF，
∴FG=OA，
∴四边形AOFG为菱形；
(2)解：∵AD=5，AE=3，
∴DE=EF=4，
在Rt△DEO中，设OE=x，由勾股定理得：(x+3)2−42=x2，
解得：x=76，
∴OD=256，OE=76，
∴BF=2OE=73，FG=OD=256，
∴BG=GF+BF=256+73=132． 
【解析】(1)根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；
(2)依据菱形的性质与平行线的性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和菱形的判定解答．