公安县第三中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷（含答案）

这是一份公安县第三中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
公安县第三中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、若实数a使得，则( )
A. B.
C.且 D.a可以是任意实数
2、已知空间两不同直线m，n，两不同平面，，下列命题正确的是( )
A.若且，则
B.若且，则
C.若且，则
D.若m不垂直于，且，则m垂直于n
3、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )

A. B.
C. D.
4、如图，是水平放置的的直观图，则在的三边及中线AD中，最长的线段是( )

A.AB B.AD C.AC D.BC
5、小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图，纸卷的直径为12cm，轴的直径为4cm，当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于( )

A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
6、如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE的夹角( )

A. B. C. D.
7、如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则线段MN的最大值为( )

A. B. C. D.3
8、在等边中，P为BC上一点，D为AC上一点，且，，，则的边长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、多项选择题
9、已知l、m、n为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有( )
A.若，，，则
B.若，，，若，则
C.若，l、m分别与、所成的角相等，则
D.若，，，则
10、已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C.若，则复数z对应的点位于第四象限
D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
11、已知函数的定义域为R，为奇函数，且对于任意，都有，则( )
A. B.
C.为偶函数 D.为奇函数
12、如图，在四边形ABCD中，和是全等三角形，，，下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥
折法①：将沿着AC折起，形成三棱锥，如图1；
折法②：将沿着BD折起，形成三棱锥，如图2下列说法正确的是( )

图一 图二
A.按照折法①，三棱锥的外接球表面积值为
B.按照折法①，存在D，满足
C.按照折法②，三棱锥体积的最大值为
D.按照折法②，存在满足平面，且此时BC与平面所成线面角的正弦值为
三、填空题
13、设常数，若函数的反函数的图象经过点，则_______.
14、中，BC边上的点D满足，，点G在三角形内，满足，则的值为______.
15、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的平分线交BC于D，若，则的最小值为______.
16、在梯形ABCD中，，，M为AC的中点，将沿直线AC翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
四、解答题
17、对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x，满足，则称为“类指数函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由；
（2）若为“类指数函数”，求a的取值范围.
18、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且.
（1）当，时，求a，c的值；
（2）若角B为锐角，求实数p的取值范围.
19、如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E，F，N分别为棱PA，PC，AB，BC的中点，M是线段AD的中点，，.

（1）求证：平面MNF；
（2）求三棱锥的体积.
20、（1）结合函数单调性的定义，证明函数在区间上为严格增函数；
（2）某国际标准足球场长105m，宽68m，球门AB宽7.32m当足球运动员M沿边路带球突破时，距底线CA多远处射门，对球门所张的角最大？精确到1米
21、已知O为坐标原点，a、，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.已知函数.，
（1）求的伴随向量，并求.
（2）关于x的方程在内恒有两个不相等实数解，求实数t的取值范围.
（3）将函数图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把整个图象向左平移个单位长度得到函数的图象，已知，，在函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.
22、如图，在四棱锥中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，.

（1）证明：平面平面ABCD；
（2）若，求四棱锥的体积.
参考答案
1、答案：B
解析：因为，所以，解得且.故选：B.
2、答案：C
解析：由空间两不同直线m，n，两不同平面，，知：
在A中，若且，则或m、n相交或异面，故A不正确；在B中，若且，则，故B不正确；在C中，若且，则，所以C正确；在D中，若m不垂直于，且，则m与n有可能垂直，故D不正确；故选：C.
3、答案：D
解析：由于在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质：所以，，，故选：D.
4、答案：C
解析：是水平放置的的直观图，则在中，，AC为斜边，AD为三角形内部的一条线段，AC的长度最长，即最长的线段是AC；故选：C
5、答案：B
解析：设小明用掉的纸后，剩下的这卷纸的直径为
xcm，卷纸高为hcm，则由题可知，解得，所以剩下的这卷纸的直径最接近于7cm.故选：B.
6、答案：B
解析：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，又，
故，所以直线与平面BDE的夹角为.故选：B.
7、答案：A
解析：如图，

取的中点D，取的中点E，连接MD，DE，ME，所以，又面，面，所以平面，又M为的中点，所以，又面，面，所以平面，又，面DEM，面DEM，所以平面平面，又因为N是侧面上一点，且平面，所以N在线段DE上，又因为，，所以线段MN的最大值为.故选：A.
8、答案：A
解析：设等边的边长为，因为是等边三角形，所以，又因为，，所以，所以，所以，
即，解得，所以的边长为.故选：A.
9、答案：BD
解析：
图一 图二
对于A，如图，若，，，则n可以与平行，故A错误；
对于B，因为，，，且，，则，因为，，则，故，B对；
对于C，如图，若，l、m分别与、所成的角为时，l与m可以相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若，，则，又，则，D对.
10、答案：AD
解析：对于A，，故A正确；
对于B，两个虚数不能比较大小，故B错误；
对于C，，则复数z对应的点位于第二象限，故C错误；
对于D，复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹以，为端点的线段的垂直平分线，故D正确.故选：AD.
11、答案：BCD
解析：由，得.由是奇函数，得，即，所以，即，所以，故选项A错误；
由，得，由，得，所以，故选项B正确；
由，，得，即为偶函数，故选项C正确；
由，，得，则，即为奇函数，故选项D正确.故选：BCD.
12、答案：ABCD
解析：对于A：和是全等三角形，，，，可得AC中点O到A，B，C，D的距离相等，故O为棱锥的外接球的球心，AC为直径，外接球的半径为，三棱锥的外接球表面积值为，故A正确；
对于B：，当为等边三角形时，可得，又，平面，平面，，即存在D，满足，故B正确；
对于C：三棱锥体积最大时，平面平面BCD，由已知可得，为等边三角形，且易求到平面BCD的距离为，
，故C正确；
当，可得，，平面，则是BC与平面所成的角，由，，由勾股定理可得，在中，，故D正确.故选：ABCD.
13、答案：2
解析：由题意得的图象过，所以，解得.故答案为：2.
14、答案：6
解析：因为，所以，即，如下图，取BC中点H，因为，所以，得到，所以A，G，H三点共线，且，所以G是的重心，所以.
故答案为：6.
15、答案：9
解析：因为AD平分，所以，，即，又，整理得，故，所以，当且仅当，，即，时等号成立，则的最小值是.
16、答案：
解析：由题得，因为，，，
因为，，所以M是外接圆的圆心，外接圆的半径为，
当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面ABC的高最大，
即此时平面平面ABC，即平面ABC，
如图，设球心为O，在平面内作，垂足为M，因为，所以，所以平面ABC，
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆，所以截面面积的最小值为.
17、答案：（1）不是“类指数函数”，理由见解析
（2）
解析：（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x满足方程，由于函数与在R上均单调递增，所以在R上均单调递增，至多有一个零点，所以不是“类指数函数”；
（2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，整理得，设，则方程有两个不等的正根，则，由，解得或，由，解得，由，解得.所以.故a的取值范围.
18、答案：（1），或，
（2）
解析：（1）由正弦定理及知，，因为，，所以，
又，所以，或，.
（2）由（1）知，，且，由余弦定理得，，
因为B为锐角，所以，所以，解得，
故实数p的取值范围为
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）D，E分别是PA，PC中点，，
同理，，
又平面MNF，平面MNF，平面MNF；
（2）底面ABC，平面ABC，
，，，PA，平面PAB，
平面PAB，
F，N分别为AB，BC中点，，
平面PAB，点N到平面PAB的距离为，
，
即三棱锥的体积为.
20、答案：（1）证明见解析
（2）34m
解析：（1）设，
则，又由，则，，，
则有，
函数在区间上为严格增函数；
（2）根据题意，如图，
设，，
，
，
又由，当且仅当时，等号成立，
即当时，取得最小值，
此时最大，即对球门所张的角最大.
21、答案：（1）
（2）存在，，理由见解析
解析：（1）
，
，.
（2）关于x的方程在内恒有两个不相等实数解，
的图象与直线在内恒有两个不同的交点，
的图象如图，

由图可知，即t的取值范围是.
（3）依题意可得，
，AB的中点为，
假设在函数的图象上存在一点，使得，
则点P在以AB为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为，
，即，
，，
，又，
，，
，，，
综上所述：在函数的图象上存在一点P，使得，且.
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接DB交AC于点O，连接PO，
因为ABCD是菱形，所以，且O为BD的中点，
因为，所以，
又因为AC，平面APC，且，AC，平面APC，
所以平面APC，
又平面ABCD，所以平面平面ABCD；
（2）解法一：由（1）可知，平面平面ABCD，
又平面平面，，平面ABCD，所以平面APC，
所以，由已知可得，，
又，且O为BD的中点.所以，，
又，，所以，
所以，，
所以.
解法二：由已知可得：为正三角形，且，，
又，且O为BD的中点，
所以，，又，，所以，
从而，，
所以三棱锥是为棱长为2的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为，所以.
解法三：取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH.
因为，所以是等边三角形，所以，
又因为，，PD，平面PDM，
所以平面PDM，平面PDM，所以，
由知，且，AB，平面ABCD，所以平面ABCD.
由ABCD是边长为的菱形，
在中，，，
由，在中，，
所以.
所以四棱锥的体积为.