华师大版数学八上13.3 等腰三角形（课件PPT）

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13.3 等腰三角形1.等腰三角形的性质1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)2.经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)学习目标复习引入有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 等腰三角形的性质 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰 AB、AC 重叠在一起，折痕为 AD.你能发现什么现象吗？探究归纳我们可以得出结论：1.等腰三角形是轴对称图形.折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴.你还有新的发现吗？2. ∠B ＝∠C∠B，∠C 是等腰三角形的__________ .所以我们可以描述为:底角等腰三角形的两个底角相等.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.已知：如图，△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C .分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD ≌ △ACD.证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD.在△ABD 与△ACD 中，AB＝AC，∠1＝∠2， AD＝AD，∴ △ABD ≌ △ACD（S. A. S.），∴ ∠B＝∠C.例1已知：在△ABC 中，AB = AC，∠B = 80°，求∠C 和∠A 的大小.想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么? A B D C AB＝AC BD＝CDAD＝AD ∠B＝∠C∠BAD＝∠CAD ∠ADB＝∠ADC＝90°性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合(简称“三线合一”). A D C填一填：根据等腰三角形性质完成下列填空.在△ABC 中， AB = AC 时， 12BDCD2ADBCBD1BCADCD 例2 在△ABC 中 ，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°.求：（1）∠ADC 的大小解：(1) ∵AB = AC，BD = DC，∴AD⊥BC.∴∠ADC =∠ADB = 90°.（2）∠1 的大小.∵∠1 +∠B +∠ADB = 180° ，∠B = 30° ，∴∠1 = 180° - ∠B - ∠ADB = 180° - 30° - 90° = 60°.等边三角形的性质三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？三条对称轴例3 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.（1）找出图中所有的相等角(2) 找出图中有几个等腰三角形；(3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢?(4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x.1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.∠B =∠C = 72°∠B =∠C = 30°当堂练习2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为__________________________；(2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为 ____________________；(3) 等腰三角形一个角为 120°，它的另外两个角为_____________ .75°，30°72°，72° 或 36°，108°30°，30°① 顶角 + 2×底角 = 180°② 顶角 = 180°－2×底角，③ 底角 =（180°－顶角）÷2，④ 0°＜顶角＜180°⑤ 0°＜底角＜90°.结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.3. 如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边 AB 和 AC 是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:①工人师傅在测量了∠B 为 37°以后，并没有测量∠C ，就说∠C 的度数也是 37°②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁 BC 的中点 D，然后在 AD 两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的.请同学们想想，工人师傅的说法对吗？请说明理由.2.等腰三角形的判定1. 能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理.(重点)2. 能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点)学习目标ABCA 在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？等腰三角形的判定 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系?AB = AC 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？你能验证你的结论吗？证明：过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.则∠1 =∠2.在△ABD 与△ACD 中，∠1 =∠2，∠B =∠C，AD = AD，∴ △ABD≌△ACD(A. A. S. ).∴ AB = AC.△ABC 是等腰三角形.等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所以的边也相等（简写成“等角对等边”）.((应用格式：在△ABC 中， ∵∠B =∠C ( )，∴ AC = AB ( )，即△ABC 为等腰三角形.已知等角对等边((等角对等边等边对等角 例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC.证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°， ∠A = 40°，∠B = 70°，∴∠C = 180° -∠A -∠B，= 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠C =∠B.∴ AB = AC.例2 如图，AD∥BC，∠1 =∠2，求证：AB = AC.证明：∵ AD∥BC （已知），∴ ∠B =∠1 （两直线平行，同位角相等）.又∵ ∠1 =∠2，∴ ∠B =∠2（等量代换）.∴ AC = BC（等角对等边）.等边三角形的判定一个三角形满足什么条件就是等边三角形？由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：如图，∠A =∠B =∠C.求证： AB = AC = BC.证明：∵ ∠A =∠B， ∴ AC = BC. ∵ ∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC.判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.若顶角 ∠A = 60°，则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.如果是底角∠B = 60°(或∠C = 60°) 呢？又 AB = AC，∴∠B =∠C.∴∠B =∠C =∠A = 60°.∴△ABC 是等边三角形.例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.求证：△ADE 是等边三角形.变式 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD = AE，△ADE 还是等边三角形吗？试说明理由.例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．求证：AB = AC． 例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'，求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧.B'A'C'B(A)(C)∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)，∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°.即点 B、C'、B' 在同一条直线上.B'A'C'B(A)(C)在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)，∴ ∠B =∠B' (等边对等角).在△ABC 和△A'B'C' 中，∵∠B =∠B' (已证)，∠ACB =∠ A'C'B' (已知)，AC = A'C' (已知)，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(A. A. S. ).1. 在△ABC 中，已知∠A = 50°，∠B = 65°，判断△ABC 是什么三角形，为什么?△ABC是等腰三角形，因为∠B = 65°，∠A = 50°，所以∠C = 65°，∠B =∠C = 65°，所以△ABC 是等腰三角形.当堂练习2. 如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则∠DBC = _____°，∠BDC = _____°，图中的等腰三角形有_______________________.3672△ABC、△DBA、△BCD 3. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则△ABC 的周长为______cm.4.如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个9D5.如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度数.解：∵ △ABC 是等边三角形，∴∠CBA = 60°.∵BD 是 AC 边上的中线，∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.∵ BD = BE，∴ ∠BDE = (180° -∠DBA)÷2 =(180° - 30°)÷2 = 75°.∴ ∠EDA = 90° -∠BDE = 90° - 75° = 15°.6.如图，A，O，D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小. 解：∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，∴AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°.F∵ A，O，D 三点共线，∴ ∠DOB =∠COA = 120°.∴ △COA≌△DOB (S. A. S. ).∴ ∠DBO =∠CAO.设 OB 与 EA 相交于点 F，∵ ∠EFB =∠AFO，∴ ∠AEB =∠AOB = 60°.注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.有三条对称轴，每个内角等于 60°.课堂小结等腰三角形的判定：等角对等边.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.课堂小结