华师大版数学八上13.4 尺规作图（课件PPT）

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13.4 尺规作图了解尺规作图的定义，会用尺规：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作已知角的平分线. (重点)学习目标2. 应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.(难点)3. 会用尺规作一个三角形；培养动手能力，会说求作过程. 我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具方便地画出各种几何图形.如果限定只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形，你还能做出符合条件的图形吗？基本作图我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图. 最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图.5 种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一已知点作已知直线的垂线；（5）作已知线段的垂直平分线.一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 作一条线段等于已知线段已知：线段 MN. 求作线段 AC，使 AC＝MN.1. 画射线 AB；2. 用圆规量出线段 MN 的长，在射线 AB 上截取 AC＝MN. 线段 AC 就是所要画的线段.作一个角等于已知角已知：∠AOB.求作：∠A'O'B'，使 ∠A'O'B' = ∠AOB.作法：1.作射线 O'A'； 2.以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA 于C，交 OB于 D；3.以点 O' 为圆心，以 OC 长为半径作弧，交 O'A' 于 C'；4.以点 C' 为圆心，以 CD 长为半径作弧，交前弧于 D'；5.经过点 D' 作射线 O'B'，∠A'O'B' 就是所求的角.OABCDO'A'C'D'B'证明：连结 CD、C'D'，由作法可知∵ OC = O'C'，OD = O'D'，CD = C'D'，△COD≌△C'O'D' (S. S. S. ).∴∠C'O'D' = ∠COD(全等三角形的对应角相等).即∠A'O'B' = ∠AOB.OABCDB'O'A'C'D'作已知角的平分线问题：如何用尺规作∠AOB 的平分线呢？步骤：1. 在射线 OA 和 OB 上，分别截取 OD，OE，使 OD = OE； 2. 分别以 D，E 为圆心，适当长(大于线段 DE 长的一半)为半径作圆弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C；AOBCDE 3. 作射线 OC.射线 OC 就是所要求作的∠AOB 的平分线.AOBCDE想一想：为什么 OC 是角平分线呢？你能给出证明吗？证明：连结 EC，DC.∵OD = OE，DC = EC，OC = OC，∴△OCD≌△OCE (S. S. S. ).∴∠AOC =∠BOC.想一想：如何将∠AOB 四等分?步骤：1. 在射线 OA 和 OB 上，分别截取 OD，OE，使 OD = OE； 2. 分别以 D，E 为圆心，适当长(大于线段 DE 长的一半)，为半径作圆弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C；3. 作射线 OC. 射线 OC 就是所要求作的∠AOB 的平分线.AOBCDEFPQ4.在射线 OC 截取 OF，使 OF = OE，同理可得射线 OP、OQ，则 OP、OQ 分别是∠BOC、∠AOC 的平分线，于是∠AOB 四等分了.已知线段 AB 和 CD，如图，求作一线段，使它的长度等于 AB + 2CD.所以 EF 就是所求作的线段.例1例2已知∠AOB，利用尺规作：∠A'OB' 使∠A'OB' = 2∠AOB.口述作法、保留作图痕迹.作法一：∠A'OB' 即为所求.法二：∠A'OB' 即为所求. 1. 如图所示，已知线段 a，b，用尺规作图法作一条线段 AB 等于 2a－b. (写出作法) 解：如图所示． 作法：(1) 作一条直线 l；(2) 在直线 l 上作线段 AC＝a，CD＝a；(3) 在线段 AD 上作线段DB＝b，线段 AB 就是所求作的线段． 当堂练习2. 已知： ∠1， ∠2.求作：∠3，使得∠3 = ∠2 -∠1；解：1. 作法：(1) 作射线 OA；(2) 以 OA 为边做∠AOB =∠2；(3) 以 O 为顶点，以射线 OA 为边，在∠AOB 内部作∠AOD =∠1．则∠BOD 即为所求的∠3. (2) ∠4，使得∠4 =∠1 +∠2.解：2. 作法：(1) 作射线 OA；(2) 以 OA 为边做∠AOB =∠2；(3) 以 O 为顶点，以射线 OB 为边，在∠AOB 外部作∠BOD =∠1．则∠AOD 即为所求的∠4. BD3. (1)如图，已知∠BAC，试作∠1 = ∠BAC.（不写画法，保留作图痕迹）BC(2)已知线段 AB，CD，如图所示，画一个等腰三角形，使其腰长等于 AB，底边长等于 CD．CDA(B)(B)4. 已知：线段 a，c，∠α.求作：△ABC，使 BC = a，AB = c，∠ABC=∠α.作法：(1) 作一条线段 BC = a；(2) 以 B 为顶点、BC 为一边，作∠DBC =∠α；(3) 在射线 BD 上截取线段 BA = c；(4) 连接 AC，△ABC 就是所求作的三角形.DAca5. 请在图中作出线段 AD，使其平分∠BAC 且长度等于 m.CBAmCNMABD解：三个基本作图注意：①已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；②求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；③作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程.作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作已知角的平分线的理论依据是：判定三角形全等的“边边边”课堂小结1.回顾已经学过的基本作图有哪几种？基本作图： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知角的平分线.2. 点与直线的位置关系有几种情况？（1）点在直线上；（2）点在直线外.3. 经过一已知点作已知直线的垂线有可以分为几种情况？两种.经过一已知点作已知直线的垂线基本作图4. 经过一已知点作已知直线的垂线可分为两种情况来讨论：1. 经过已知直线上一点作已知直线的垂线.2. 经过已知直线外一点作已知直线的垂线.1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线已知直线 AB 和 AB 上一点 C，试按下列步骤用直尺 和圆规准确地经过点 C 作出直线 AB 的垂线. 如图，由于点 C 在直线 AB 上，因此所求作的垂线正好是平角 ACB 的平分线所在的直线. 第一步：作平角 ACB 的平分线 CD；第二步：反向延长射线 CD.D2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线.已知直线 AB 和 AB 外一点 C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点 C 作出直线 AB 的垂线.DEF步骤：(1)以点 C 为圆心，作弧与直线 AB 相交于点 D、点 E；(2)作∠DCE 的平分线 CF.直线 CF 就是所要求作的垂线. 利用直尺和圆规作一个等于 45° 的角.1. 作直线 AB；2. 过点 A 作直线 AB 的垂线 AC；3. 作∠CAB 的平分线 AD. ∠DAB 就是所要求作的角.DABC例1作已知线段的垂直平分线 如图，已知线段 AB，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段 AB 的垂直平分线.CD想一想：为什么 CD 是线段 AB 的垂直平分线呢？你能给出证明吗？ 通过上面的作图，你还能发现什么？你会作任意一个三角形的三条中线吗？探究讨论例2 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到 AB 的垂直平分线与公路的交点便是.1. 如图，点 P 在∠O 的一边上，试过点 P 作∠O 两边的垂线.(1) 过点 P 作 OB 边上的垂线.① 在直线 OB 上点 P 的两旁分别截取线段 PA， PB，使 PA = PB；当堂练习② 分别以 A，B 为圆心以大于AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 C；③ 过点 C， P 作直线 CP， 则直线 CP 为所求作的直线.CEF(2) 过点 P 作 OA 边上的垂线.MCN① 以点 P 为圆心， 以大于点 P 到直线 OA 的距离的线段长为半径画弧， 交直线 OA 于点 M，N； MCN2. 如图，作△ABC 边 BC 上的高.EF3.如图，有 A，B，C 三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.BC学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.A 5. 如图，八 (1) 班与八 (2) 班两个班的学生分别在 M，N 两处参加植树劳动，现要在道路 AB、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点 P，使 P 到两条道路的距离相等，且 PM = PN，请你用折纸的方法找出 P 点并说明理由. MNBAC经过一已知点作已知直线的垂线经过已知直线上一点作已知直线的垂线，实质是作一个平角的平分线，并将角的平分线反向延长.经过已知直线外一点作已知直线的垂线，实质是作以直线外这一点为顶点，底在直线上的等腰三角形的顶角的平分线.课堂小结线段垂直平分线的尺规作图作已知线段的垂直平分线理论依据是：判定三角形全等的“边边边”对于语言叙述类的画图问题，应先画草图，再写已知、求作、作法.课堂小结