2022-2023学年新疆巴音郭楞州博湖县奇石中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆巴音郭楞州博湖县奇石中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年新疆巴音郭楞州博湖县奇石中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列集合中表示同一集合的是(    )
A. M={(3,2)}，N={(2,3)}
B. M={2,3}，N={3,2}
C. M={(x,y)|x+y=1}，N={y|x+y=1}
D. M={2,3}，N={(2,3)}
2. 已知集合A={−1,1,2,4}，B={x||x−1|≤1}，则A∩B=(    )
A. {−1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. {−1,4}
3. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(    )
A. 60种 B. 70种 C. 75种 D. 150种
4. 从3名女同学和2名男同学中各选出1人进行跳舞，唱歌表演，则不同的选法种数为(    )
A. 6 B. 12 C. 8 D. 5
5. 设离散型随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
16
13
16
p
则p的值为(    )
A. 12 B. 14 C. 13 D. 16
6. (文科)设随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a,i=1,2,3，则P(X=2)=(    )
A. 19 B. 16 C. 13 D. 14
7. 若Cn2=15，则n的值为(    )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
8. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(    )
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
9. 已知P(AB)=310，P(A)=35，则P(B|A)等于(    )
A. 950 B. 12 C. 910 D. 14
10. 下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过(    )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7

A. 点(2,2) B. 点(1.5,2) C. 点(1,2) D. 点(1.5,4)
11. 如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(    )

A. 函数f (x)在区间(−3,0)上是减函数 B. 函数f (x)在区间(1,3)上是减函数
C. 函数f (x)在区间(0,2)上是减函数 D. 函数f (x)在区间(3,4)上是增函数
12. 二项式(2x+1)6的展开式中含x4项的系数为(    )
A. 60 B. 120 C. 240 D. 480
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为______ ．
14. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的可能取值是______ .(用集合表示)
15. 在(x−12 x)5的展开式中，x2的系数为          ．
16. 曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率为−2，则a= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
计算：
(1)C87+C98+C109；
(2)A65−A54A44．
18. (本小题12.0分)
(1)12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？
(2)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？
19. (本小题10.0分)
已知随机变量X的分布列为
X
0
1
x
P
12
13
p
若E(X)=23，
(1)求D(X)的值；
(2)若Y=3X−2，求 D(Y)的值．
20. (本小题12.0分)
已知函数y=xlnx．
(1)求这个函数的导数；
(2)求这个函数的图像在点(1,0)处的切线方程．
21. (本小题12.0分)
投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表一和表二所示：
表一
收益X/元
−1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
表二
收益X/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
(1)投资哪种股票的期望收益大？
(2)投资哪种股票的风险较高？
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=12x2−lnx．
(1)f(x)的单调区间．
(2)函数f(x)在区间[1,e]上的最大、最小值．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．
利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；
【解答】
解：A、M={(3,2)}，N={(2,3)}，(3,2)和(2,3)表示两个不同的点，故不是同一集合，故A错误；
B、M={2,3}，N={3,2}，根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故B正确；
C、M={(x,y)|x+y=1}，M集合的元素表示点的集合，N={y|x+y=1}，N表示直线x+y=1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故C错误；
D、M={2,3}，集合M的元素是数，N={(2,3)}的元素是点，故D错误，
故选B．  
2.【答案】B 
【解析】解：|x−1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B={x|0≤x≤2}
∴A∩B={1,2}．
故选：B．
解不等式求集合B，再根据集合的运算求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．

3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种．
故选C．
  
4.【答案】B 
【解析】解：从3名女同学和2名男同学中各选出1人进行跳舞，唱歌表演，
所有可能为C31⋅C21⋅A22=3×2×2=12种．
故选：B．
男女各选一人出来跳舞和唱歌，有区别，产生顺序，先选人，后排序即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解∵16+13+16+p=1．
∴p=13．
故选：C．
根据分布列概率和为1求得p．
考查分布列基本性质．属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】解：∵P(X=i)=i2a,i=1,2,3，
∴12a+22a+32a=1
∴62a=1
∴a=3，
∴P(X=2)=26=13
故选：C．
根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P(X=2)．
本题考查离散型随机变量的分布列和分布列的性质，本题解题的关键是熟练应用分布列的性质来解题，本题是一个基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：根据题意，由组合数计算公式Cn2=n(n−1)2×1=15，
解得n=6或−5(n=−5舍去)．
故选：D．
根据组合数公式可解．
本题考查组合数公式，属于基础题．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
【解答】
解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．  
9.【答案】B 
【解析】解：因为P(AB)=310，P(A)=35，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12．
故选：B．
直接代入条件概率公式即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．

10.【答案】D 
【解析】解：∵回归直线方程必过样本中心点，
∵x=0+1+2+34=32
y=1+3+5+74=4，
∴样本中心点是(32,4)
∴y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点(32,4)
故选D．
根据回归直线方程一定过样本中心点，先求出这组数据的样本中心点，即横标和纵标的平均数分别作横标和纵标的一个点，得到结果．
本题考查线性回归方程的性质，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题．

11.【答案】A 
【解析】解；由题意得：
在区间(−3,0)，和(2,4)上，f′x)<0，∴f(x)是减函数，
在区间(0,2)上，f′(x)>0，∴f(x)是增函数，
故选：A．
通过读图得到函数f(x)的导数的取值范围，进而求出函数f(x)的单调区间，从而得到答案．
本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

12.【答案】C 
【解析】解：由二项式(2x+1)6的展开式得通项Tr+1=C6r(2x)6−r得，
令6−r=4，
解得r=2，
即含x4项的系数为24C62=240，
故选：C．
由二项式定理及展开式通项得：Tr+1=C6r(2x)6−r，则含x4项的系数为24C62=240，得解．
本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．

13.【答案】59 
【解析】
【分析】
在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，再利用古典概率及其计算公式求得第二次也取到新球的概率．
本题主要考查古典概率及其计算公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．
【解答】
解：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，
故第二次也取到新球的概率为59，
故答案为：59．  
14.【答案】{2,3,4,5,6,7,8,9,10} 
【解析】解：球是有放回的，
则两球号码和可出现同号相加，最小为1+1=2，最大为5+5=10．
故X可能取值为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}．
故答案为：{2,3,4,5,6,7,8,9,10}．
根据已知条件，结合随机变量X的含义，即可求解．
本题主要考查随机事件的应用，属于基础题．

15.【答案】52 
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
写出二项展开式的通项，由x的幂为2求得r值，则答案可求．
【解答】
解：(x−12 x)5的二项展开式的通项为
Tr+1=C5r⋅x5−r⋅(−12 x)r=(−12)r⋅C5r⋅x10−3r2．
由10−3r2=2，得r=2．
∴x2的系数为(−12)2⋅C52=52．
故答案为：52．
  
16.【答案】−3 
【解析】解：由题意知y′=aex+(ax+1)ex，
曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率为−2，
可知f′(0)=−2，解得a=−3．
故答案为：−3．
求出导函数，利用切线的斜率，列出方程求解即可．
本题考查函数导数的应用，切线的斜率的求解，是基础题．

17.【答案】解：(1)C87+C98+C109=C81+C91+C101=8+9+10=27；：
(2)A65−A54A44=(30−5)A44A44=25． 
【解析】(1)根据组合数可解；
(2)根据排列数公式可解．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．

18.【答案】解：(1)先选后排，先从12人选三人，然后安排三人获得三种奖项，
共C123⋅A33=1320种，
故共有1320种不同的获奖情况；
(2)由于集合中元素是无序的，故为组合问题，
集合的子集中有3个元素的有C73=35个． 
【解析】(1)根据排列与组合的知识，计算即可；
(2)根据组合的知识，计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．

19.【答案】解：(1)由题意可得12+13+p=1，
即p=16，
又E(X)=23，
则0×12+1×13+16x=23，
即x=2，
则D(X)=(0−23)2×12+(1−23)2×13+(2−23)2×16=59；
(2)∵Y=3X−2，
∴D(Y)=32D(X)=9×59=5，
∴ D(Y)= 5． 
【解析】(1)先由已知条件求出p、x，然后求其方差即可；
(2)根据方差的性质，即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差的求解，方差的性质，属基础题．

20.【答案】解：(1)y′=x′lnx+x(lnx)′=lnx+1；
(2)这个函数的图像在点(1,0)处的切线的斜率为y′|x=1=ln1+1=1，
∴这个函数的图像在点(1,0)处的切线方程为：y−0=1×(x−1)即x−y−1=0． 
【解析】(1)根据导数运算法则运算即可；
(2)根据导数运算首先求得这个函数的图像在点(1,0)处的切线的斜率，然后根据点斜式可写出切线方程．
本题考查导数运算及几何意义，考查数学运算能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)A股票：E(X)=−1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，
B股票：E(X)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1，
因为1.1>1，
所以投资A股票的期望收益大；
(2)A股票：D(x)=(−1−1.1)2×0.1+(0−1.1)2×0.3+(2−1.1)2×0.6=1.29，
B股票：D(x)=(0−1)2×0.3+(1−1)2×0.4+(2−1)2×0.3=0.6，
因为1.29>0.6，
所以在期望收益相差不大的情况下，A股票风险较高． 
【解析】(1)通过计算投资A，B两种股票收益的期望，确定哪种股票的期望收益大；
(2)计算投资A，B两种股票收益的方差，确定哪种股票的风险高．
本题考查期望与方差的实际意义，属于中档题．

22.【答案】解：(1)已知f(x)=12x2−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=x−1x=x2−1x，
当0 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
(2)由(1)知函数f(x)在[1,e]上单调递增，
所以当x=1时，函数f(x)取得最小值，最小值f(1)=12，
当x=2时，函数f(x)取得最大值，最大值f(e)=12e2−1，
故函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为12e2−1，最小值为12． 
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数的几何意义即可得到函数f(x)的单调区间；
(2)结合(1)中所得函数f(x)的单调区间，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．