2022-2023学年重庆市部分区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市部分区高一（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市部分区高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数z=1−i的虚部是(    )
A. 1 B. −1 C. i D. −i
2. 已知点C在线段AB上，且AC=2CB，若向量AC=λAB，则λ=(    )
A. 2 B. 12 C. 32 D. 23
3. 某校高中生共有3000人，其中高一年级900人，高二年级600人，高三年级1500人，现采用分层抽样的方法随机抽取容量为150人的样本，那么高一、高二、高三年级被抽取的人数分别为(    )
A. 45，30，75 B. 45，15，90 C. 30，30，90 D. 60，30，60
4. 若向量a=(4,2)，b=(6,k)，若a/​/b，则k=(    )
A. −12 B. 12 C. −3 D. 3
5. 函数f(x)=2sin(x+π3)，x∈[0,π]的单调递减区间是(    )
A. [0,π6] B. [0,5π6] C. [0,π] D. [π6,π]
6. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1.则直线AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值是(    )
A. 32
B. 12
C. 33
D. 13
7. 2023年4月10日，重庆市中学生田径锦标赛在奉节举行.本次锦标赛设有长跑、短跑、跳高、跳远、铅球等项目，某参赛队员要从短跑、跳高、跳远、铅球4个项目中任选2项，假设每个项目被选中的可能性相等，那么跳高和铅球至少有一门被选中的概率是(    )
A. 16 B. 12 C. 23 D. 56
8. 已知锐角△ABC的内角A，B，C所对边为a，b，c，且b=2csinB，则sinB+cosA的取值范围是(    )
A. (12, 32) B. ( 32,32) C. (0, 3) D. (1, 3)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数f(x)= 3sinx+cosx，则(    )
A. f(x)的最大值为 3 B. f(x)的最小正周期为2π
C. f(x+π3)是偶函数 D. f(x−π6)的图象关于原点对称
10. 下列说法正确的是(    )
A. 若直线a不平行于平面α，则α内不存在与a平行的直线
B. 直线l1，l2互相平行的一个充分条件是l1，l2都垂直于同一个平面
C. 已知平面α，β，γ，若α/​/β，β/​/γ，则α/​/γ
D. 已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
11. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10同学的成绩依次是：85，77，92，88，95，88，93，92，96，84.则下列针对该组数据说法正确的是(    )
A. 平均数为89，方差为3.06 B. 中位数为90，众数为88和92
C. 每个数都加5后平均数和方差均无变化 D. 75%分位数为93，极差为19
12. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，侧面ADD1A1上有一个动点M，则下列结论正确的是(    )
A. 若M∈A1D，则CM⊥AD1
B. 三棱锥B−MC1D体积的最大值是13
C. 若M∈AD1，则异面直线B1M与CD所成角的余弦值范围是[ 22, 63]
D. 不存在点M，使M到直线AD和直线C1D1的距离相等

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 一个正方体的体对角线长为 2，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为______ ．
14. 若cos(α−π)=45，则sin2α= ______ ．
15. 甲袋中有4个黑球、2个白球，乙袋中有2个黑球、1个白球，先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球，记B=“从乙袋中取出的是黑球”.则P(B)= ______ ．
16. 已知菱形ABCD的边长为 3，且∠ABC=120°，将菱形沿对角线AC翻折成直二面角B−AC−D，则AB⋅AD= ______ ；二面角A−BD−C的余弦值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知向量a=(−1,2),b=(3,−1)．
(1)求向量a在向量b方向上的投影向量n；
(2)确定实数λ的值，使(a+2b)⊥(λa+b)．
18. (本小题12.0分)
骰子(tóuzi)，中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔(或数字)，其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现甲、乙两人玩掷骰子(质地均匀)游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)记A=“甲、乙两人掷出的点数和为6”，写出事件A包含的样本点；
(2)现连玩三次，记B=“甲至少赢一次”，C=“乙至少赢两次”，试问：B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
19. (本小题12.0分)
已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sinB+ 3cosB=2sinC，且b>c．
(1)求A；
(2)若a= 3,△ABC的周长3+ 3，求△ABC的面积．
20. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，点O是对角线AC与BD的交点，∠ABC=120°，M是PD的中点．
(1)证明：OM/​/平面PBC；
(2)证明：平面PAC⊥平面PBD；
(3)若PA= 3，求三棱锥D−PBC的体积．

21. (本小题12.0分)
“杭州2022年第19届亚运会”将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行.在杭州亚运会倒计时两周年之际，由杭州亚运会组委会与中国日报社联合主办的“杭州2022年第19届亚运会”双语学生记者活动正式启动.为助力杭州亚运会宣传工作，向世界讲好中国故事，奏响亚运最强音.杭州市相关部门积极组织学生报名参加选拔考试，现从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40,50)，[50,60)，……，[90,100]六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差.(每组数据以区间的中点值为代表)．

22. (本小题12.0分)
已知向量m=(cosωx−sinωx,2sinωx),n=(cosωx+sinωx, 3cosωx)(ω>0)，函数f(x)=m⋅n+t，若f(x)图象上一个最高点和它相邻最低点之间的水平距离为π2，图象过点(π6,1)．
(1)求f(x)表达式和f(x)的单调减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π4个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，若函数F(x)=g(x)−k在区间[0,2π]上有且只有一个零点，求实数k的取值范围；
(3)若函数h(x)=x2−2mx+1，在(2)的条件下，若当x1∈[0,2]时，总有x2∈[π3,5π3]使得h(x1)=g(x2)，求实数m的取值范围．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了复数代数形式的概念，属于基础题．根据复数的代数形式得复数的虚部．
【解答】
解：根据复数的概念得，z=1−i的虚部是−1，
故选B．
  
2.【答案】D 
【解析】解：如图，由AC=2CB，

可得AC=23AB，所以AC=23AB，即λ=23，
故选：D．
根据题意可知AC=23AB，结合向量的线性表示即可求得λ．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：依题意，高一年级被抽取的人数为900×1503000=45人，
高二年级被抽取的人数为600×1503000=30人，
高三年级被抽取的人数为1500×1503000=75人．
故选：A．
根据分层抽样的定义求出抽样比，按此比例求出各个年级的人数即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：根据题意，向量a=(4,2)，b=(6,k)，
若a/​/b，则有4×k=2×6=12，
解可得k=3；
故选：D．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若a/​/b，则有4×k=2×6=12，解可得k的值，即可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题．

5.【答案】D 
【解析】解：依题意，由2kπ+π2≤x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，
得：2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6(k∈Z)，
∴f(x)=2sin(x+π3)的单调递减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6](k∈Z)，
又x∈[0,π]，
∴f(x)=2sin(x+π3)在x∈[0,π]上的单调递减区间为[π6,π]．
故选D．
由2kπ+π2≤x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，与x∈[0,π]联立即可求得答案．
本题考查复合三角函数的单调性，着重考查正弦函数的单调性质，考查集合的运算，属于中档题．

6.【答案】C 
【解析】解：如图，

连接直线BC1，显然，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB⊥平面BB1C1C，故∠AC1B即为直线AC1与平面BB1C1C所成角，
在Rt△AC1B中，AB=2，C1B= BC2+C1C2= 2，∴AC1= AB2+C1B2= 22+( 2)2= 6，
∴cos∠AC1B=C1BAC1= 2 6= 33．
故选：C．
根据线面角的定义，可知∠AC1B即为直线AC1与平面BB1C1C所成角，解三角形即可求得结果．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：从4个项目中任选2项共有：短跑+跳高、短跑+跳远、短跑+铅球、跳高+跳远、跳高+铅球、跳远+铅球，共6种情况，
其中满足跳高和铅球至少有一门被选中的有5种情况，
所以其概率为56，
故选：D．
采用列举法得到所有可能的情况，根据古典概型概率计算公式得到结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．

8.【答案】B 
【解析】解：因为b=2csinB，由正弦定理可得sinB=2sinCsinB，在三角形中，sinB≠0，
所以sinC=12，而三角形为锐角三角形，所以C=π6，
所以B=56π−Ac，∴B>C，故B+π3≠C，
∴B+π3+C=π，即B+C=2π3，∴A=π3；
(2)∵△ABC的周长3+ 3，
又∵a= 3，∴b+c=3，
由(1)可知：A=π3，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−2bc−2bccosπ3=9−3bc=3，
∴bc=2，
由面积公式得：S△ABC=12bcsinA=12bcsinπ3= 34bc= 32． 
【解析】(1)利用辅助角公式对已知等式化简变形得sin(B+π3)=sinC，然后利用正弦函数的性质结合b>c可求出B+C，从而可求出A；
(2)由已知可得b+c=3，然后利用余弦定理可求出bc的值，从而可求出三角形的面积．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．

20.【答案】证明：(1)因为在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，
所以OM//PB，
又因为OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
所以OM/​/平面PBC；
(2)因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，
又因为PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
因为BD⊂平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD；
解：(3)因为底面ABCD是边长为2菱形，∠ABC=120°，
所以根据三角形面积公式得S△BCD=S△ABC=12×22× 32= 3，
又因为三棱锥P−BCD的高为PA= 3，
所以VD−PBC=VP−BCD=13S△BCD⋅PA=13× 3× 3=1． 
【解析】(1)根据已知条件得到OM//PB，进而证明线面平行即可；
(2)根据已知条件证明线面垂直，根据面面垂直的判定定理证明即可；
(3)根据条件求得S△BCD= 3，根据棱锥体积公式求解即可．
本题考查了线面平行、面面垂直的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．

21.【答案】解：(1)因为各组的频率和等于1，
所以第四组的频率为1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1−0.7=0.3，
补全的频率分布直方图如图所示：

(2)前三组的频率之和为：(0.010+0.015+0.015)×10=0.40.5，
设中位数为x，则应有x∈(70,80)，
又0.4+(x−70)×0.03=0.5，
所以x=2203，即样本的中位数为2203，
抽取学生的平均数约为x−=10×(45×0.010+55×0.015+65×0.015+75×0.030+85×0.025+95×0.005)=71，
所以样本的方差为：s2=10×[(45−71)2×0.010+(55−71)2×0.015+(65−71)2×0.015+(75−71)2×0.030+(85−71)2×0.025+(95−71)2×0.005]
=67.6+38.4+5.4+4.8+49+28.8=194． 
【解析】(1)利用频率和为1可求答案；
(2)中位数利用频率为0.5可求，方差利用方差公式可得；
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和方差的计算，属于基础题．

22.【答案】解：(1)f(x)=m⋅n+t=cos2ωx−sin2ωx+2 3cosωxsinωx+t，
f(x)=cos2ωx+ 3sin2ωx+t=2sin(2ωx+π6)+t，
f(x)的最小正周期为2π2ω=π，∴ω=1，
∵f(x)的图象过点(π6,1)，∴2sinπ2+t=1，∴t=−1，即f(x)=2sin(2x+π6)−1，
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z，求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z，
故f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3],k∈Z；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π4个单位，可得y=2sin(2x−π2+π6)−1=2sin(2x−π3)−1的图象，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)=2sin(12x−π3)−1的图象．
在区间[0,2π]上，12x−π3∈[−π3,2π3]，∴sin(12x−π3)∈[− 32,1]，
故g(x)=2sin(12x−π3)−1在区间[0,2π]上的值域为[− 3−1,1]，
如下图：

若函数F(x)=g(x)−k在区间[0,2π]上有且只有一个零点，
由题意可得，函数g(x)=2sin(12x−π3)−1的图象和直线y=k有且只有一个零点，
并根据图象可知，实数k的取值范围为{k|k=1或− 3−1≤k< 3−1}；
(3)由(2)得g(x)=2sin(12x−π3)−1,x2∈[π3,5π3]时，12x2−π3∈[−π6,π2],g(x2)∈[−2,1]，根据对称轴讨论h(x1)取值范围：
①m≤0时，h(x1)在x1∈[0,2]时单调递增，h(x1)∈[1,5−4m]，此时不合题意；
②0