2022-2023学年广东省广州市白云区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市白云区高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市白云区高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量a=(3,−6)，b=(2,λ)(λ∈R)，若a⊥b，则λ=(    )
A. −4 B. −1 C. 1 D. 4
2. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则“抛掷的两枚骰子的点数之和是6”的概率为(    )
A. 112 B. 536 C. 17 D. 16
3. 已知甲组样本数据分别为4，6，9，11，x，且平均数为7.若乙组样本数据为7，11，17，21，2x−1，则乙组样本数据的平均数为(    )
A. 13 B. 14 C. 27 D. 28
4. 已知2−i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，则实数p，q分别为(    )
A. p=4，q=−11 B. p=−4，q=3
C. p=4，q=−3 D. p=−4，q=5
5. 已知等腰直角三角形的斜边长为 2，以直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，这个几何体的表面积为(    )
A. π3 B. 2π C. ( 2+1)π D. (2 2+1)π
6. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(    )
A. 中位数为3，众数为3 B. 中位数为3，极差为3
C. 平均数为3，中位数为3 D. 平均数为3，众数为4
7. 已知棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上.先从正方体的8个顶点中任取4个共面的点，再从球面上取1个点，形成四棱锥，这些四棱锥的体积的最大值为(    )
A. 1+ 36 B. 66 C. 34 D. 2+ 312
8. 已知点P在△ABC所在平面内，满足PA+PB+PC=0，且AB=mAP+nAC，则m+n=(    )
A. 23 B. 1 C. 43 D. 2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则下列命题中正确的是(    )
A. 交线l的垂线必垂直于平面β
B. 与平面α垂直的直线平行于平面β或在平面β内
C. 平面α内的任一条直线必垂直于平面β内无数条直线
D. 过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
10. 已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P(AB)=29，P(A)=23，P(B)=13，则(    )
A. 事件A与B互为对立 B. 事件A与B相互独立
C. P(A∪B)=79 D. P(AB−)=29
11. 设z1，z2，z3为复数，且z1≠z2.下列命题中正确的是(    )
A. 若z1z3=z2z3，则z3=0 B. 若z1=z3，则|z1|2=z1z3
C. 若|z1−z2|=|z1+z2|，则z1z2=0 D. 若z−2=z3，则|z1z2|=|z1z3|
12. 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD=λAC(λ∈R)，记∠ABD=θ.下列命题中正确的是(    )
A. 若λ=12，则csinθ=asin(B−θ)
B. 若λ=12，则ccosθ+bcos(A+θ)=BD
C. 若λ∈[0,1]，则sinθa+sin(B−θ)c=sinBBD
D. 若λ∈[0,1]，则acos(B−θ)+bcos(A+θ)=ccosθ
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某市2023年6月某一周的空气质量指数如下：
35 54 80 86 72 85 58
这一周空气质量指数的第60百分位数为______ ．
14. 已知复数z=1−i1+i，i为虚数单位，则z的虚部为______ ．
15. 在△ABC中，已知AB=2，AC=6 2，∠BAC=45°，点D为边BC的中点，则AD= ______ ，sin∠BAD= ______ ．
16. 在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，过点A，E，F作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(sinA, 3cosA)，n=(1,1)，且m//n．
(1)求角A；
(2)若a=2 7，b=4，求△ABC的周长．
18. (本小题12.0分)
图1是正方形ABCD，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点.将其沿对角线AC折起，连结DB，如图2.请在图2中证明：

(1)AC//平面EFG；
(2)AC⊥DB．
19. (本小题12.0分)
为了解某市今年高一年级学生的身体素质状况，从该市高一年级学生中抽取100名学生进行“掷实心球”的项目测试.经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据分[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)成五组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计该市今年高一年级学生“掷实心球”成绩的平均数(同一组中的数据以该组区间的中点值作代表)；
(2)已知这100名学生中有女生40名，男生60名，这40名女生“掷实心球”成绩的平均数和方差分别为7和2.1，这60名男生“掷实心球”成绩的平均数和方差分别为8.5和2.4，求这100名学生“掷实心球”成绩的方差．

20. (本小题12.0分)
甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为12.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求经过两轮活动，两人共猜对2个成语的概率；
(2)求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率．
21. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1BC⊥平面ABB1A1．
(1)求证：BC⊥平面ABB1A1；
(2)若直线AC与平面A1BC所成角为α，二面角A1−BC−A的大小为β，试判断α，β的大小关系，并予以证明．

22. (本小题12.0分)
古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：S= p(p−a)(p−b)(p−c)
这个公式常称为海伦公式.其中，p=12(a+b+c)．
我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2]
这个公式常称为“三斜求积”公式．
(1)利用以上信息，证明三角形的面积公式S=12acsinB；
(2)在△ABC中，a+c=8，tanB2=sinA2−cosA，求△ABC面积的最大值．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：a=(3,−6)，b=(2,λ)(λ∈R)，
若a⊥b，则3×2−6λ=0，即λ=1．
故选：C．
直接由两平面向量垂直的坐标运算列式求解λ值．
本题考查两平面向量垂直的坐标运算，是基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：抛掷两枚骰子的基本事件数为：6×6=36；
抛掷两个骰子的点数之和为6的基本事件为：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5种，
所以P=536，
故选：B．
分别计算出抛掷的两个骰子的点数之和是6的基本事件数，抛掷两枚骰子的基本事件数，即可解出．
本题考查了古典概型的概率计算，学生的数学运算能力，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：∵甲组样本数据分别为4，6，9，11，x，且平均数为7，
∴4+6+9+11+x5=7，
解得x=5，
∴乙组样本数据为7，11，17，21，9，
∴乙组样本数据的平均数为7+11+17+21+95=13．
故选：A．
根据甲组样本数据的平均数求出x的值，从而求出乙组样本数据的平均数．
本题主要考查了平均数的计算，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：2−i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，
则2+i也是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，
故2−i+2+i=−p(2−i)(2+i)=q，解得p=−4，q=5．
故选：D．
根据已知条件，推得2+i也是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，再结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：由题意知，该几何体是底面半径为1，母线长为 2的圆锥，
所以底面积S1=π⋅12=π，侧面积S2=12⋅ 2⋅2π⋅1= 2π，
所以这个几何体的表面积S=S1+S2=π+ 2π=( 2+1)π．
故选：C．
由题意知，该几何体是底面半径为1，母线长为 2的圆锥，再由圆锥的表面积公式求解即可．
本题考查圆锥的表面积，考查运算求解能力，属于基础题．

6.【答案】D 
【解析】解：对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，所以A不可以判断；
对于B，当掷骰子出现的结果为3，3，3，3，6时，满足中位数为3，极差为3，所以B不可以判断；
对于C，当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6时，满足平均数为3，中位数为3，可以出现点6，所以C不能判断；
对于D，若平均数为3，且出现点数为6，则其余4个数的和为9，而众数为4，故其余4个数的和至少为10，所以D可以判断；
故选：D．
选项D，利用反证法说明一定不含6，选项ABC中依次举例说明可以含有6即可．
本题主要考查了平均数、中位数、众数的定义，考查学生的推理能力，属于基础题．

7.【答案】A 
【解析】解：如图，

正方体的棱长为1，则外接球的直径为 3，半径为 32，
当面为正方体表面的一个正方形面时，正方形的面积为1，球面上的点到该正方形面距离的最大值为 3+12，此时棱锥体积为V=13×1× 3+12= 3+16；
当面为正方体的一个对角面时，对角面的面积为 2×1= 2，球面上的点到该对角面距离的最大值为 32，
此时两种的体积为V=13× 2× 32= 66．
∵ 3+1> 6，∴四棱锥的体积的最大值为 3+16．
故选：A．
由题意画出图形，分类求解四棱锥的体积，比较大小得结论．
本题考查棱锥体积的求法，考查分类讨论、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．

8.【答案】D 
【解析】解：∵AB=mAP+nAC，
∴PB−PA=−mPA+n(PC−PA)，
∴PB=(1−m−n)PA+nPC，
∵PA+PB+PC=0，
∴PB=−PA−PC，
由平面向量基本定理得：1−m−n=−1n=−1，
∴m+n=2．
故选：D．
由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算可得．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．

9.【答案】BD 
【解析】解：A项，交线l的垂线不一定在平面α内，
则不一定有交线l的垂线垂直于平面β，A错误；
B项，在平面β内作直线m⊥l，则m⊥平面α，
不在平面β内的任意直线n，若n与m平行，则n⊥平面α，则B项正确；
C项，如图①，a⊂α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错；
D项，如图②由两平面垂直的性质定理可知D正确；

故选：BD．
利用两个平面垂直的性质可判断各个选项．
本题考查平面与平面垂直的性质，属于基础题．

10.【答案】BC 
【解析】解：根据题意，A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P(AB)=29，P(A)=23，P(B)=13，
则有P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A、B相互独立，B正确，
A、B相互独立，事件AB可以同时发生，事件A与B不互为对立事件，A错误；
P(A)=23，P(B)=13，则P(A−)=13，P(B−)=23，
又由事件A、B相互独立，则P(AB−)=P(A−)P(B−)=29，D错误；
P(A∪B)=1−P(AB−)=1−29=79，C正确．
故选：BC．
根据题意，由相互独立事件的定义分析可得A、B相互独立，可得B正确，结合相互独立事件的性质分析A、C和D是否正确，综合可得答案．
本题考查相互独立事件的判定和性质应用，注意事件之间的关系，属于基础题．

11.【答案】AD 
【解析】解：对于A，若z1z3=z2z3，则z3(z1−z2)=0，
∵z1≠z2，
∴z3=0，故A正确；
对于B，取z1=z3=1+2i，
则|z1|2=12+22=5，z1z3=(1+2i)2=1+4i+4i2=−3+4i，
∴|z1|2≠z1z3，故B错误；
对于C，设z1=1，z2=i，则|z1−z2|=|z1+z2|= 2，
∴z1z2=i≠0，故C错误；
对于D，若z2−=z3，则|z2|=|z2−|=|z3|，
∴|z1z2|=|z1||z2|=|z1||z3|=|z1z3|，故D正确．
故选：AD．
根据复数的运算法则，以及复数模长的性质，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数的模长公式，属于基础题．

12.【答案】ACD 
【解析】解：对于A，因为AD=λAC(λ∈R)，当λ=12时，AD=CD，

在△ABD中，ABsin∠ADB=ADsinθ，则csinθ=ABsinθ=ADsin∠ADB，
在△BCD中，BCsin∠CDB=CDsin(B−θ)，则asin(B−θ)=BCsin(B−θ)=CDsin∠CDB，
因为∠ADB=π−∠CDB，所以sin∠ADB=sin∠CDB，所以csinθ=asin(B−θ)，故A正确；
对于C，因为S△ABD+S△BCD=S△ABC，
所以12c⋅BDsinθ+12a⋅BDsin(B−θ)=12acsinB，
则sinθa+sin(B−θ)c=sinBBD，故C正确；
 对于D，因为BC⋅BD=|BC|⋅|BD|cos(B−θ)=a⋅BDcos(B−θ)，
CA⋅BD=|CA|⋅|BD|cos(A+θ)=b⋅BDcos(A+θ)，
BA⋅BD=|BA|⋅|BD|cosθ=c⋅BDcosθ，
又BC⋅BD+CA⋅BD=(BC+CA)⋅BD=BA⋅BD，
所以a⋅BDcos(B−θ)+b⋅BDcos(A+θ)=c⋅BDcosθ，
则acos(B−θ)+bcos(A+θ)=ccosθ，故D正确；
对于B，取Rt△ABC，AD=CD=c=2，A=π2，
 
易得θ=π4，A+θ=3π4，BD=2 2，b=AD+CD=4,a= b2+c2=2 5，
此时ccosθ+bcos(A+θ)=2× 22+2 5×(− 22)≠BD，故B错误．
故选：ACD．
对于A，利用正弦定理判断即可；对于C，利用三角形面积公式即可判断；对于D，利用向量数量积的定义与线性运算即可判断；对于B，利用特例法排除即可．
本题考查正弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查向量的数量积的计算，属中档题．

13.【答案】85 
【解析】解：将数据从小到大排列：35，54，58，72，80，85，86，
7×60%=4.2，故这一周空气质量指数的第60百分位数为第5个数，即85．
故答案为：85．
根据百分位数的定义计算即可．
本题考查百分位数的应用，属于基础题．

14.【答案】−1 
【解析】解：z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，z的虚部为−1．
故答案为：−1．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合虚部的定义，即可求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．

15.【答案】5 35 
【解析】解：因为D为BC的中点，所以AD=12(AB+AC)，知AB=2，AC=6 2，∠BAC=45°，点
可得AD2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14(AB2+AC2+2|AB|⋅|AC|⋅cos∠BAC,
因为AB=2，AC=6 2，∠BAC=45°，
所以AD2=14(4+72+2×2×6 2× 22)=25，即AD=5，
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos∠BAC=4+72−2×2×6 2× 22=52，所以BC=2 13，
所以BD=CD= 13，
在△ABD中，由余弦定理：cos∠BAD=AB2+AD2−BC22AB⋅AD=4+25−132×2×5=45，
所以sin∠BAD= 1−cos2∠BAD=35．
故答案为：5；35．
由D为BC的中点，可得向量AD的表达式，两边平方，再由题意可得AD的大小；在△ABC中，由余弦定理求出BC的大小，在△ABD中，再由余弦定理可得∠ABD的余弦值，再求它的正弦值．
本题考查向量的运算性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．

16.【答案】724a3 
【解析】解：由题意画出图形如图：

∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，则正方体的体积为a3，
截面AEFD1下侧部分为棱台，其体积为V1=13a⋅(18a2+12a2+ 18a2⋅12a2)=724a3．
则上侧部分的体积为V2=1724a3．
∴体积较小的多面体的体积为724a3．
故答案为：724a3．
由题意画出图形，分别求出截面两侧多面体的体积，则答案可求．
本题考查多面体体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．

17.【答案】解(1)∵m=(sinA, 3cosA)，n=(1,1)，且m//n，
∴sinA= 3cosA，∴tanA= 3，
∵A∈(0,π)，∴A=π3；
(2)由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，
∴(2 7)2=42+c2−2×4c×12，
c2−4c−12=0，解得c=6或c=−2(舍去)，
∴△ABC的周长为6+2 7+4=10+2 7． 
【解析】(1)由已知可得sinA= 3cosA，进而可求A；
(2)由余弦定量可求c，进而可求△ABC的周长．
本题考查向量的线性运算，考查无余弦定理的应用，属中档题．

18.【答案】证明：(1)由于F，G分别是BC，CD的中点，
则AC//GF，又AC⊄平面EFG，GF⊂平面EFG，
则AC//平面EFG；

(2)取AC中点M，连接MD，MB，
由于AD=CD，AB=BC，则有AC⊥DM，AC⊥BM，
又MD∩MB=M，则AC⊥平面BDM，则AC⊥BD． 
【解析】(1)证明AC//GF，可得线面平行；(2)证明AC⊥平面BDM，即可得．
本题考查线面平行，线面垂直，属于基础题．

19.【答案】解：(1)∵(0.025+0.075+0.200+0.150+a)×2=1，∴a=0.05，
根据频率分布直方图，估计该市今年高一年级学生“掷实心球”成绩的平均数为：
x−=0.025×2×3+0.075×2×5+0.2×2×7+0.15×2×9+0.05×2×11=7.5；
(2)由题意，100名学生“掷实心球”成绩的平均数为40×7+60×8.540+60=7.9，
则这100名学生“掷实心球”成绩的方差为：
S2=4040+60×[2．12+(7−7.9)2]+6040+60×[2．42+(8.5−7.9)2]=4.68． 
【解析】(1)首先根据频率分布直方图的性质求出a值，然后用每组数值的中间值乘以概率后相加即可；
(2)根据总方差公式S2=mm+n[s12+(x1−x)2]+nm+n[s22+(x2−x)2]可直接求得．
本题考查频率分布直方图，样本数据的方差，属基础题．

20.【答案】解：(1)该事件可以为甲对2，乙对0；甲对0，乙对2；甲对1，乙对1，
所以该事件概率为23×12×23×12+13×13×12×12+2×23×12×13×12=14；
(2)该事件可以为甲对0，乙对1或2；甲对1，乙对0或2；甲对2，乙对0或1，
所以该事件概率为13×13×(1−12×12)+2×13×23×(12×12+12×12)+23×23×(1−12×12)=2336． 
【解析】(1)该事件可以为甲对2，乙对0；甲对0，乙对2；甲对1，乙对1；
(2)该事件可以为甲对0，乙对1或2；甲对1，乙对0或2；甲对2，乙对0或1．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．

21.【答案】(1)证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得AD⊥平面A1BC，
又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC，
因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC，
又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1；
(2)解：连接CD，则由(1)知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，
∠ABA1是二面角A1−BC−A的平面角，即∠ACD=α，∠ABA1=β，
于是在Rt△ADC中，sinα=ADAC，
在Rt△ADB中，sinβ=ADAB，
因为BC⊥AB，所以AB 又0<α<π2，0<β<π2，所以α<β． 
【解析】(1)过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，利用面面垂直的性质定理得到AD⊥平面A1BC，又三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，
利用线面垂直的判定定理即可得证；
(2)连接CD，则由(1)知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1−BC−A的平面角，即∠ACD=α，∠ABA1=β，在直角三角形中利用正弦值即可求解．
本题考查了线面垂直的证明和线面角、二面角的计算，属于中档题．

22.【答案】(1)证明：由余弦定理可得a2+c2−b2=2accosB，
所以(a2+c2−b22)2=a2c2cos2B，
再由三斜求积公式可得S= 14[a2c2(1−cos2B)]=12ac|sinB|，在三角形中，sinB>0，
可证得S=12acsinB；
(2)解：在△ABC中，a+c=8，
∵tanB2=sinA2−cosA，∴(2−cosA)⋅sinB1+cosB=sinA，
即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，
∴2b=a+c=8，∴b=4．
∵a+c=8，∴a=8−c.p=12(8+4)=6，三角形面积的公式：S= p(p−a)(p−b)(p−c)，
∴S= 6(6−a)(6−b)(6−c)= 12(6−c)(c−2)
∵(6−c)(c−2)≤(6−c+c−22)2=4，当且仅当c=4时取等号，
∴S≤4 3．
△ABC面积的最大值：4 3． 
【解析】(1)利用余弦定理，结合三角形面积的公式：S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，转化求解证明即可．
(2)使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角函数化简，三角形的面积公式，属于中档题．