2022-2023学年河南省商丘第一高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省商丘第一高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省商丘第一高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线l的方向向量为u=(1,−2,1)，平面α的法向量为n=(−2,4,k)(k∈R)，若l//α，则k=(    )
A. −2 B. 2 C. 6 D. 10
2. 直线l1：3x−y+1=0，直线l2过点(1,0)，且它的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为(    )
A. y=6x+1 B. y=6(x-1) C. y=34(x-1) D. y=-34(x-1)
3. 已知抛物线x2=12y的焦点为F，过焦点F的直线y=kx+m(k>0)与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=36，则k=(    )
A. 2 B. 2 C. 22 D. 12
4. 已知等比数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，S2=2，S4=8，则S8等于(    )
A. 16 B. 128 C. 54 D. 80
5. 已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为4，方差为2，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均数与方差的和为(    )
A. 6 B. 15 C. 19 D. 22
6. 已知曲线y=x24−3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为(    )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 3或−2
7. (1x3+2)(x2−1x)6的展开式中的常数项为(    )
A. −20 B. 30 C. −10 D. 10
8. 已知函数f(x)=ex−ax2+2ax有两个极值点，则a的取值范围是(    )
A. (e,+∞) B. (e2,+∞) C. (e2,+∞) D. (e22,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论正确的是(    )
A. 若数列{an}是等差数列，则{2an}为等比数列
B. 若数列{an}是等比数列，则{lnan}为等差数列
C. 若数列{an}满足an+1=qan，则{an}为等比数列
D. 若数列{an}是等差数列，bn=a2n−1+a2n，则{bn}为等差数列
10. 已知O为坐标原点，F1，F2分别是渐近线方程为x±2y=0的双曲线E的左、右焦点，M为双曲线E上任意一点，MN平分∠F1MF2，且F1N⋅MN=0，|ON|=4，则(    )
A. 双曲线E的标准方程为x24−y2=1
B. 双曲线E的离心率为 52
C. 点M到两条渐近线的距离之积为165
D. 若直线MF1与双曲线E的另一支交于点P，Q为MP的中点，则kOQ×kPM=14
11. 甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则(    )
A. P(A)=12 B. P(B|A)=13 C. P(B)=712 D. P(A|B)=47
12. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(    )
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有48种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C. 甲乙不相邻的排法种数为72种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，且ka+b与2a−b的夹角为钝角，则实数k的取值范围为            ．
14. 已知⊙C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,−1)，⊙C2：(x−4)2+(y−2)2=10，则⊙C1与⊙C2的公共弦长为______ ．
15. 已知公比q>1的等比数列{an}满足a52=a10，2(an+an+2)=5an+1.若bn=(n−λ)an(n∈N*)，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是______．
16. 安排A，B，C，D，E五名志愿者到甲，乙两个福利院做服务工作，每个福利院至少安排一名志愿者，则A，B被安排在不同的福利院的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知f(x)=(2x+1)n展开式的二项式系数和为128，且(1+2x)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n．
(1)求a2的值；
(2)求a1+a2+a3+…+an的值．
18. (本小题12.0分)
已知圆C过点A(2,1)，与y轴相切，且圆心在直线y=x上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点A且与圆C相切的直线l的方程．
19. (本小题12.0分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为矩形，PA=AD=1，AB=2且PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PC的中点．
(1)求证：EF⊥PD；
(2)求二面角C−PD−E的大小．

20. (本小题12.0分)
某学校长期坚持以人为本，实施素质教育每年都会在校文化节期间举行诗词知识和环保知识两项竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.设该校某班学生两项知识竞赛都参加，且两项知识竞赛的成绩的数据统计如下图所示，其中环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人．

(1)求该班学生诗词知识竞赛成绩为A的人数以及诗词知识竞赛的平均分；
(2)若该班两项竞赛成绩总得分超过8分的学生共有7人，其中有3人10分，4人9分，从这7人中随机抽取三人，记三人的成绩之和为X，求X的分布列及P(X≥E(X))．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于12，椭圆C与抛物线C′：y2=92x交于P，Q两点(P在x轴上方)，且PQ经过C的右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足直线AP与直线BP关于直线PQ对称，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=xlnx−(k+1)x，k∈R．
(1)若k=−1，求f(x)的最值；
(2)对于任意x∈[2,e2]，都有f(x)>−2x−k成立，求整数k的最大值．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：直线l的方向向量为u=(1,−2,1)，平面α的法向量为n=(−2,4,k)(k∈R)，l//α，
则u⊥n，即u⋅n=0，即1×(−2)+(−2)×4+1×k=0，解得k=10．
故选：D．
根据已知条件，推得u⊥n，再结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面的法向量，属于基础题．

2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查待定系数法求直线方程，涉及二倍角的正切公式，属基础题．
由题意和二倍角的正切公式可得直线的斜率，可得点斜式方程．
【解答】
解：直线l1：3x−y+1=0的斜率为3，设倾斜角为α，则tanα=3，
直线l2过点(1,0)，且它的倾斜角是l1的倾斜角的2倍即2α，
故直线l2的斜率k=tan2α=2tanα1−tan2α=−34，
∴直线l2的方程为y−0=−34(x−1)，
故选D．  
3.【答案】B 
【解析】解：由抛物线x2=12y的方程可得焦点F(0,3)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x2=12yy=kx+m，整理可得：x2−12kx−12m=0，
显然Δ>0，x1+x2=12k，y1+y2=k(x1+x2)+2m=12k2+2m，
因为焦点F的直线y=kx+m，所以3=k⋅0+m，则m=3，
由抛物线的性质可得|AB|=y1+y2+6=12k2+12=36，k>0，可得k= 2，
故选：B．
由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由题意可得m的值，设A，B的坐标，联立直线与抛物线的方程，可得两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB|的表达式，由题意可得k的值．
本题考查直线与抛物线的应用及抛物线的性质的应用，属于中档题．

4.【答案】D 
【解析】解：根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q，
若S2=2，S4=8，则其公比q≠1，
则有S2=a11−q(1−q2)=2S4=a11−q(1−q4)=8，
变形可得：q2=3，a11−q=−1，
故S8=a11−q(1−q8)=(−1)×(1−81)=80．
故选：D．
根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q，由等比数列的前n项和公式可得S2=a11−q(1−q2)=2S4=a11−q(1−q4)=8，变形可得：q2=3，a11−q=−1，代入S8=a11−q(1−q8)中，计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为4，方差为2，
所以数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均数为x−=2×4+3=11，
方差为s2=22×2=8，
所以平均数与方差的和为11+8=19．
故选：C．
根据平均数与方差的定义和性质，计算即可．
本题考查了平均数与方差的定义与计算问题，是基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，
则函数的导数f′(x)=x2−3x，
曲线y=x24−3lnx的一条切线的斜率为12，
由f′(x)=x2−3x=12，
即x2−x−6=0，
解得x=3或x=−2(舍)，
故切点的横坐标为3，
故选：A．
求出函数的定义域和导数，利用导数是切线的斜率进行求解即可．
本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，解导数方程即可，注意定义域的限制．

7.【答案】D 
【解析】解：因为(1x3+2)(x2−1x)6=1x3(x2−1x)6+2(x2−1x)6(x2−1x)6，
其展开式的通项公式为Tr+1=C6r(x2)6−r(−1x)r=(−1)rC6rx12−3r，
令12−3r=3，得r=3；
令12−3r=0，得r=4，
所以(1x3+2)(x2−1x)6的展开式中的常数项为：
1x3×(−1)3C63×x3+(−1)4C64×x0×2=−20+30=10．
故选：D．
先将(1x3+2)(x2−1x)6展开写为1x3(x2−1x)6+2(x2−1x)6，写出(x2−1x)6的通项，求出x3及x0的系数，代入1x3(x2−1x)6+2(x2−1x)6中即可．
本题考查二项式定理，属于中档题．

8.【答案】D 
【解析】解：∵f(x)=ex−ax2+2ax，
∴f′(x)=ex−2ax+2a，
令f′(x)=ex−2ax+2a=0，得ex=2a(x−1)，
∵f(x)有2个极值点，故方程ex=2a(x−1)有2个不同的实根，
即y=ex与y=2a(x−1)的图象有2个交点，
画出函数y=ex与y=2a(x−1)的图象，如图示：

当2a=e2即a=e22时，直线y=2a(x−1)与y=ex的图象相切，
由图可知当2a>e2即a>e22时，y=ex与y=2a(x−1)的图象有两个交点，
即a的范围是(e22,+∞)，
故选：D．
求出函数的导数，问题转化为y=ex与y=2a(x−1)的图象有2个交点，从而求出a的范围即可．
本题考查了函数的零点问题，考查图象的交点问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道常规题．

9.【答案】AD 
【解析】解：对于A，设数列{an}的公差为d，则2an+12an=2an+1−an=2d≠0，首项2a1≠0，
所以数列{2an}为等比数列，故A正确；
对于B，当an0)的右支上一点，
延长MF2，F1N交于点G，如图所示，
因为MN平分∠F1MF2，且F1N⋅MN=0，即F1N⊥MN，
所以在Rt△MF1N与Rt△MGN中，∠F1MN=∠NMGMN=MN∠F1NM=∠GNM=90°，
所以Rt△MF1N≌Rt△MGN，故|MF1|=|MG|，|NF1|=|NG|，
根据双曲线的定义得，|MF1|−|MF2|=|MG|−|MF2|=|GF2|=2a，
在△F1GF2中，ON为其中位线，|ON|=4，
所以，|ON|=12|GF2|=a=4，
因为双曲线E的渐近线方程为x±2y=0，
所以ba=12，得b=2，c2=b2+a2=20，c=2 5，
所以双曲线E的标准方程为x216−y24=1，离心率为e=ca= 52，
所以A不正确，B正确；
设M(x1,y1)，则x1216−y124=1，即x12−4y1216=1，
所以点M到两条渐近线的距离之积为|x1+2y1| 1+4⋅|x1−2y1| 1+4=x12−4y125=165，所以C正确；
设P(x2,y2)，Q(x,y)，因为P，M在双曲线E上，
所以x1216−y124=1①，x2216−y224=1②，
①−②并整理得x1+x2y1+y2=4(y1−y2)x1−x2，即2x2y=4(y1−y2)x1−x2，
因为kMP=y1−y2x1−x2,kOQ=yx，
所以kON⋅kMP=y1−y2x1−x2⋅yx=14，所以D正确．
故选：BCD．
不妨设M为双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上一点，延长MF2，F1N交于点G，进而得|MF1|=|MG|，|NF1|=|NG|，再结合双曲线的定义，中位线定理得a=4，b=2，进而判断AB；设M(x1,y1)，则x12−4y1216=1，再直接计算点M到两条渐近线的距离之积判断C；设P(x2,y2)，Q(x,y)，根据点差法求解判断D．
本题考查双曲线的几何性质，全等三角形的应用，点差法的应用，属中档题．

11.【答案】ACD 
【解析】解：因为甲罐中有2个红球，2个黑球，所以P(A)=12，故选项A正确；
因为P(B)=24×46+24×36 =712，故选项C正确；
因为P(AB)=24×46=13，P(B)=712，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=47，故选项D正确；
因为P(B|A)=P(AB)P(A)=23，故选项B错误．
故选：ACD．
根据古典概型求概率公式得到P(A)，由全概率公式计算P(B)，由条件概率计算BD选项中的概率即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．

12.【答案】BCD 
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有A44=24种排法，A错误；
对于B，分2种情况讨论：若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有A44=24 种排法，
若乙站在最左端，则甲有3种站法，剩下3人全排列，有3×A33=18种排法，
则有24+18=42种不同的排法，故B正确；
对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有A33A42=72种排法，C正确；
对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有A55=120种排法，甲乙丙全排列有A33=6种排法，
则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有1206=20种，故D正确．
故选：BCD．
对于选项A，利用捆绑法，再结合全排列公式，即可得到结果；对于选项B，分2种情况讨论：若甲站在最左端和乙站在最左端两种情况，分类计算即可求出结果；对于C，利用插空法，即可求出结果；对于D，根据排列中的定序问题计算公式，即可求出结果．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．

13.【答案】−∞,−2∪−2,75 
【解析】
【分析】
本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量的夹角公式，属于中档题．
由题意利用两个向量的数量积公式求得a⋅b，再两个向量共线的性质，两个向量的夹角公式，求得k的范围．
【解答】
解：∵向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，∴a⋅b=−1，且a、b不平行．
∵ka+b与2a−b的夹角为钝角，设ka+b与2a−b的夹角为θ，
ka+b与2a−b不共线且cosθ0，h(x)单调递增；
h(2)=−ln2+2−2=−ln20，
所以存在x0∈[2,e2]，h(x0)=0，即−lnx0+x0−2=0，①
h(3)=−ln3+3−2=−ln3+10，
所以x0∈(3,4)，
所以在(2,x0)上，h(x)0，g(x)单调递增，
所以g(x)min=g(x0)=x0lnx0+x0x0−1，
把①代入上式，得
g(x)min=g(x0)=x0(x0−2)+x0x0−1=x02−x0x0−1=x0∈(3,4)，
所以k−2x−k成立⇒对于任意x∈[2,e2]，都有xlnx+xx−1>k成立，令g(x)=xlnx+xx−1，x∈[2,e2]，只需要k