2022-2023学年河南省濮阳市高二（下）质检数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省濮阳市高二（下）质检数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省濮阳市高二（下）质检数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数f(x)=lnx−12x2，则f′(2)=(    )
A. 32 B. −32 C. 12 D. −12
2. 在等差数列{an}中，已知a3=4，a2+a6=10，则数列{an}的公差为(    )
A. 1 B. 0 C. −1 D. 2
3. 已知P(AB)=215,P(A)=15，那么P(B|A)=(    )
A. 475 B. 13 C. 34 D. 23
4. 已知随机变量X～N(2,σ2)，且P(0 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6
5. 某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示
第x天
1
2
3
4
5
6
7
高度y/cm
1
4
6
9
11
12
13
由表格数据可得到y关于x的经验回归方程为y =2.04x+a ，则第6天的残差为(    )
A. −0.08 B. 2.12 C. −2.12 D. 0.08
6. 已知函数f(x)导函数f′(x)的图象如图所示，则(    )
A. f(x)在(−∞,−2)上单调递增
B. f(x)在(0,3)上单调递减
C. f(x)在x=0处取得最大值
D. f(x)在x=−2处取得最小值
7. 若函数f(x)=x2−12lnx+1在其定义域的一个子区间(k−2,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(    )
A. [1,32) B. [2,52) C. (−12,52) D. [32,2)
8. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举．某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门课程，每门课程至少有一位同学参加，则不同的报名方法有(    )
A. 24种 B. 36种 C. 54种 D. 72种
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中正确的是(    )
A. 若两个变量x、y具有线性相关关系，则经验回归直线至少过一个样本点
B. 在经验回归方程y =−0.85x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y​平均减少0.85个单位
C. 若某商品的销售量y(件)关于销售价格x(元/件)的经验回归方程为y =−5x+350，则当销售价格为10元/件时，销售量一定为300件．
D. 线性经验回归方程y​=b​x+a​一定过样本中心(x−,y−)．
10. A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是(    )
A. 若A，B不相邻，有72种排法 B. 若A在正中间，有24种排法
C. 若A在B左边，有24种排法 D. 若A，B相邻，有24种排法
11. 已知( x−124x)n(n≥3,n∈N*)的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则(    )
A. n=7 B. 展开式中有理项有2项
C. 第4项为−358x54 D. 第3项二项式系数最大
12. 学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此反复.记某同学第n天选择A套餐的概率为An，选择B套餐的概率为Bn.一个月(30天)后，记甲、乙、丙三位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法中正确的是(    )
A. An+Bn=1 B. 数列{An−25}是等比数列
C. E(X)=1.5 D. P(X=1)=36125
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知离散型随机变量X的方差为1，则D(3X+1)=______．
14. 甲、乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.4，若采用3局2胜制(无平局)，则甲最终获胜的概率为______ ．
15. 甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为______ ．
16. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：∀x>0有xf′(x)−f(x)>0成立且f(1)=2，则不等式f(x)<2x的解集为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知数列{an}，an>0，a1=2，an+12−an2=an+1+an．
(Ⅰ)证明：数列{an}为等差数列；
(Ⅱ)求数列{1an(an−1)}的前n项和Tn．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x3−(a−3)x2−4ax的图象在x=1处的切线方程为y=bx+2a−2b．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在[−3,1]上的最值．
19. (本小题12.0分)
某公司对其产品研发的年投资额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据进行统计，整理后得到如下统计表；
x
1
2
3
4
5
y
1.5
2
3.5
8
15
(1)求变量x和y的样本相关系数r(精确到0.01)，并推断变量x和y的线性相关程度；
(参考；若|r|≥0.75，则线性相关性程度很强；若0.30≤|r|<0.75，则线性相关性程度一般，若|r|≤0.25，则线性相关性程度很弱.)
(2)求年销售量y关于年投资额x的经验回归方程．
参考公式：样本相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1nxiyi−nx−y− i=1nxi2−nx−2 i=1nyi2−ny−2
经验回归方程y​=b​x+a​中b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2,a =y−−b x−
参考数据 51≈7.14
20. (本小题12.0分)
某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
45
35
80
不优秀
45
75
120
合计
90
110
200
(1)根据α=0.01的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设A=“选到的学生语文成绩不优秀”，B=“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计L(B|A)的值．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α
0.05
0.01
0.001
xa
3.841
6.635
10.828

21. (本小题12.0分)
小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是13；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是12，第二个路口遇到红灯的概率是23.假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
(1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间(单位：min)的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=(x−a−1)ex−12x2+ax，a∈R．
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有极小值点x1，极大值点x2，且对任意a>0，f(x1)−f(x2) 答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：已知f(x)=lnx−12x2，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=1x−x=1−x2x，
则f′(2)=1−222=−32．
故选：B．
由题意，对函数f(x)进行求导，将x=2代入导函数中即可得到答案．
本题考查导数的运算，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a2+a6=2a4=10，
∴a4=5，
∴d=a4−a3=1，
即数列{an}的公差为1．
故选：A．
根据已知条件，结合等差数列的通项公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．

3.【答案】D 
【解析】解：P(B|A)=P(AB)P(A)=21515=23．
故选：D．
根据条件概率公式，即可求得答案．
本题考查条件概率公式，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：随机变量X～N(2,σ2)，且P(0 故选：C．
根据正态分布的对称性求解即可．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．

5.【答案】A 
【解析】解：x−=17(1+2+3+4+5+6+7)=4，y−=17(1+4+6+9+11+12+13)=8，
∵经验回归直线y =2.04x+a 过点(x−,y−)，
∴a =y−−2.04x−=−0.16，
∴y关于x的经验回归方程为y =2.04x−0.16，
∴回归模型第6天的残差12−(2.04×6−0.16)=−0.08．
故选：A．
根据已知条件，结合线性回归方程的性质，求出a​，再结合残差公式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，以及残差公式，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：由图象得当x<−2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当−20，f(x)单调递增；
当0 当x>3，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x=−2时，函数f(x)取得极小值，并非最小值；
当x=0时，函数f(x)取得极大值，并非最大值．
故选：B．
由题意，根据导函数的正负和函数的单调性对选项进行逐一判断，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和数形结合．

7.【答案】B 
【解析】解：∵f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−12x=(2x+1)(2x−1)2x，
f′(x)>0得，x>12；f′(x)<0得，0 ∵函数f(x)定义域内的一个子区间(k−2,k+1)内不是单调函数，
∴0≤k−2<12 ∴2≤k<52．
故选：B．
由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−12x=(2x+1)(2x−1)2x，根据题意可得到，0≤k−2<12，从而可得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．

8.【答案】B 
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
先将四位同学分组为 1，1，2的三组，则有 C41⋅C312=6 种情况，
再安排三组学生参加A，B，C三门德育校本课程学习，有A33=6种安排方法，
则有 6×A33=36 种报名方法；
故选：B．
根据题意，分2步进行分析：先将四位同学分组为 1，1，2的三组，再安排三组学生参加A，B，C三门德育校本课程学习，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

9.【答案】BD 
【解析】解：两个变量x、y具有线性相关关系，经验回归直线可能不过任何一个样本点，故A错误；
在经验回归方程y =−0.85x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y​平均减少0.85个单位，故B正确；
若某商品的销售量y(件)关于销售价格x(元/件)的经验回归方程为y =−5x+350，则当销售价格为10元/件时，销售量约为300件，故C错误；
线性经验回归方程y​=b​x+a​一定过样本中心(x−,y−)，故D正确．
故选：BD．
由线性经验回归方程的性质逐一判断四个选项得答案．
本题考查线性回归方程及其性质，是基础题．

10.【答案】AB 
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若A、B不相邻，先将其他三人全排列，再将AB安排在3人的空位中，有A33A42=72种方法，A正确；
对于B，若A在正中间，其余4人任意排列，有A44=24种排法，B正确；
对于C，5人全排列，有A55=120种排法，其中A在B的左侧和A在B的右侧情况是一样的，A在B左边有12×120=60种排法，C错误；
对于D，若A、B相邻，将AB看成一个整体，与其他3人全排列，有A22A44=48种方法，D错误；
故选：AB．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．

11.【答案】ABC 
【解析】解：∵( x−124x)n(n≥3,n∈N*)的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，
∴Cn2=3Cn1，∴n=7，故A正确．
根据它的桐项公式为Tr+1=C7r⋅(−12)r⋅x14−3r4，令14−3r4为整数，可得r=0，4，
故展开式中有理项有2项，故B正确．
令r=3，可得第4项为C73⋅(−18)⋅x54=−358⋅x−54，故C正确．
由于n=7，故第4项或第5项的二项式系数最大，故D错误．
故选：ABC．
由题意，利用等差数列的定义和性质，二项式展开式的通项公式，先求出n的值，再考查通项公式中x的幂指数，从而得出结论．
本题主要考查等差数列的定义和性质，二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．

12.【答案】ABD 
【解析】解：对于A，由于学校食堂每天中都会提供A，B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，
故A n+Bn=1，故A正确，
对于B，由题意可得，An+1=An×14+(1−An)×12，
则An+1−25=−14(An−25)(n≥1,n∈N)，
又∵n=1时，A1−25=23−25=415，
∴数列{An−25}是首项为415，公比为−14的等比数列，
∴An−25=415⋅(−14)n−1,An=25−1615⋅(−14)n,Bn=1−An=35+1615⋅(−14)n，
当n>30时，Bn≈35，
∴X～B(3,35),P(X=1)=C31(35)(1−35)2=36125,E(X)=3×35=95=1.8，
故BD正确，C错误．
故选：ABD．
对于A，结合每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，即可求解，
对于BCD，结合等比数列的性质，以及期望公式，即可依次求解．
本题主要考查离散型随机变量的应用，以及等比数列的性质，属于中档题．

13.【答案】9 
【解析】解：D(X)=1，所以D(3X+1)=9D(X)=9．
故答案为：9．
利用方差的关系求解．
本题主要考查离散型随机变量的方差，属于基础题．

14.【答案】0.352 
【解析】解：①比赛进行2局甲获胜的概率为0.42=0.16；
②比赛进行3局甲获胜的概率为C21×0.4×0.6×0.4=0.192；
则甲最终获胜的概率为0.16+0.192=0.352．
故答案为：0.352．
根据比赛进行的局数分类讨论，再利用互斥事件的概率和公式求解即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，考查互斥事件的概率和公式，是基础题．

15.【答案】1325 
【解析】解：设A=“从乙袋中取出的是白球”，B1=“从甲袋中取出的是白球”，B2=“从甲袋中取出的是黑球”，
则P(B1)=35，P(B2)=25，P(A|B1)=59，P(A|B2)=49，
由全概率公式得该球是白球的概率为：
P(A)=P(A|B1)⋅P(B1)+P(A|B2)⋅P(B2)=59×35+49×25=2345．
故答案为：2345．
设A=“从乙袋中取出的是白球”，B1=“从甲袋中取出的是白球”，B2=“从甲袋中取出的是黑球”，由全概率公式能求出该球是白球的概率．
本题考查概率的求法，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

16.【答案】(−∞,1) 
【解析】解：令F(x)=f(x)x，x>0，
F′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
因为∀x>0有xf′(x)−f(x)>0成立，
所以x>0时，F′(x)>0成立，
所以在(0,+∞)上F(x)单调递增，
因为f(1)=2，
因为F(1)=f(1)1=2，
因为不等式f(x)<2x，x>0，
所以f(x)x<2，
所以F(x) 又F(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以x<1，
所以不等式f(x)<2x的解集为(−∞,1)，
故答案为：(−∞,1)．
令F(x)=f(x)x，x>0，求导分析F′(x)的符号，F(x)的单调性，由于f(1)=2，则F(1)=f(1)1=2，由于不等式f(x)<2x，x>0，可化为f(x)x<2，即F(x) 本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

17.【答案】解：(Ⅰ)证明：由an>0，a1=2，an+12−an2=an+1+an，
即为(an+1+an)(an+1−an)=an+1+an，可得an+1+an=1，
则数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得an=2+n−1=n+1，
则1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
可得Tn=1−12+12−13+13−14+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1． 
【解析】(Ⅰ)由平方差公式和等差数列的定义可得证明；
(Ⅱ)运用等差数列的通项公式可得1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

18.【答案】解：(1)已知f(x)=x3−(a−3)x2−4ax，函数定义域为R，
可得f′(x)=3x2−2(a−3)x−4a，
因为f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=bx+2a−2b，
所以f′(1)=9−6a=b，①
又f(1)=4−5a=2a−b，②
联立①②，解得a=1，b=3；
(2)由(1)可知f(x)=x3+2x2−4x，
可得f′(x)=3x2+4x−4=(x+2)(3x−2)，
当x<−2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当−2 当x>23时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
又f(−3)=3，f(−2)=8，f(23)=−4027，f(1)=−1，
所以f(x)在[−3,1]上的最大值为8，最小值为−4027． 
【解析】(1)由题意，对f(x)进行求导，得到f′(1)和f(1)的表达式，结合f(x)的图象在x=1处的切线方程，列出等式求解即可；
(2)由(1)所得a，b的值，代入f(x)解析式中，对f(x)进行求导，利用导数得到f(x)的单调性，结合端点值即可得到f(x)在[−3,1]上的最值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．

19.【答案】解：(1)由题意，x−=15(1+2+3+4+5)=3，y−=15(1.5+2+3.5+8+15)=6，
i=15(xi−x−)(yi−y−)=(−2)×(−4.5)+(−1)×(−4)+0×(−2.5)+1×2+2×9=33，
i=15(xi−x−)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，
i=15(yi−y−)2=(−4.5)2+(−4)2+(−2.5)2+22+92=127.5，
∴r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2 i=15(yi−y−)2=33 10× 127.5≈0.92，
∵|r|≥0.75，∴变量x和y的线性相关程度很强；
(2)b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=3310=3.3，a =6−3.3×3=−3.9，
∴年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为y =3.3x−3.9． 
【解析】(1)计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出；
(2)根据公式即可求出b​与a​的值，即可得出回归方程．
本题考查相关系数的求法与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．

20.【答案】解：(1)零假设H0：数学成绩与语文成绩无关，
根据表中数据计算得，X2=200×(45×75−45×35)290×110×80×120=7511≈6.818>6.635，
根据α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，认为数学成绩与语文成绩有关联；
(2)由表格可知，P(B|A)=75110=1522，P(B−|A)=35110=722，
∴L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=1522722=157． 
【解析】(1)根据表中数据计算X2的值，再与临界值比较即可；
(2)利用条件概率公式求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了条件概率的概率公式，属于基础题．

21.【答案】解：(1)设至少遇到一个红灯为事件A，则A−为三个路口均遇见绿灯；
∴P(A−)=(1−13)3=827，
∴P(A)=1−827=1927；
(2)线路1遇见红灯的个数设为X，线路2遇见红灯的个数设为Y，
则X服从二项分布，X～B(3,13)，
所以E(X)=3×13=1，即选择线路1回家时长的累计增加时间的期望为1；
Y的所有可能取值为0，1，2，
P(Y=0)=12×(1−23)=16；
P(Y=1)=12×(1−23)+12×23=12；
P(Y=2)=12×23=13；
∴E(Y)=0×16+1×12+2×13=76，即选择线路2回家时长的累计增加时间的期望为76，
E(X) 【解析】(1)利用对立事件的概率计算，即可解出；
(2)线路1遇见红灯的个数设为X，线路2遇见红灯的个数设为Y，分别计算出X，Y的期望，即可解出．
本题考查了概率的实际应用，数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题．

22.【答案】解：(1)f′(x)=ex+(x−a−1)ex−x+a=(x−a)(ex−1)，
当a>0时，令f′(x)>0得x<0或x>a，所以f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，
令f′(x)<0得0 所以f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减．
(2)当a>0时，由(1)得：x1=a，x2=0，且f(x1) 当k≥0时，f(x1)−f(x2)<0≤ka3，符合题意；
当k<0时，f(x1)−f(x2)=f(a)−f(0)=−ea+12a2+a+1 即−ka3+12a2+a+1 令g(a)=(−ka3+12a2+a+1)e−a−1，得g′(a)=[k(a−3)−12]a2e−a，
令g′(a)=0得a=12k+3，若12k+3>0，即k<−16，
则当a∈(0,12k+3)时，g′(a)>0，所以g(a)在(0,12k+3)上单调递增；
所以g(12k+3)>g(0)=0，不符合题意；
若12k+3≤0，即−16≤k<0，则g′(a)<0，g(a)在(0,+∞)上单调递减．
所以g(a)≤g(0)=0，成立．综上所述：k的取值范围是[−16,+∞)． 
【解析】(1)对函数求导，利用导数与单调性的关系即可得解；
(2)首先由(1)判断a>0，：x1=a，x2=0，且f(x1) 本题主要考查利用导函数研究函数单调性及参数取值范围，考查运算求解能力，属于中档题．