+湖北省襄阳市襄州区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份+湖北省襄阳市襄州区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区八年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )
A. 3 B. 12 C. 8 D. 12
2. 下列计算正确的是(    )
A. 3 7− 7=3 B. 2× 3= 6 C. 12÷ 2=6 D. 7− 2= 5
3. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是(    )
A. 1，2， 3 B. 5，4，3 C. 17，8，15 D. 2，3，4
4. 一次函数y=−23x+3的图象不经过的象限是(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 某村欲购进一批杏树，考察中随机从甲、乙、丙、丁四个品种中各选了10棵，每棵产量(单位：kg)的平均数x−及方差s2如表所示：
统计量
甲
乙
丙
丁
x−
40
40
38
38
s2
1.8
2.3
1.8
2.3
该村准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的杏树，则应选的品种是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 直线y1=k1x+b与直线y2=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b≤k2x的解集为(    )
A. x>−3
B. x<−3
C. x≤−3
D. x≥−3


7. 已知点(12,m)，(−2,n)都在直线y=2x+b上，则m与n的大小关系是(    )
A. m>n B. m=n C. m 8. 如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(    )

A. 4.5米 B. 6米 C. (3+3 3)米 D. 9米
9. 如图，在四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，点E、F分别是PA、PQ的中点，当点P在BC上移动时，线段EF的长度(    )


A. 先变大，后变小 B. 保持不变 C. 先变小，后变大 D. 无法确定
10. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，则线段EF的最大值为(    )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若代数式 x+2有意义，则x的取值范围是______ ．
12. 已知一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点(2,1)，该函数解析式是______ ．
13. 将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是______．
14. 腰长为10，底边上的高为8的等腰三角形的底边长为______ ．
15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=80°，E是线段AO上一点，且BC=CE，则∠OBE的度数是______ °.


16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______．


三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 先化简，再求值：(a2−b2a2−2ab+b2+ab−a)÷b2a2−ab，其中a=−1，b= 2．
四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
计算下列各题：
(1) 48÷ 3−2 15× 10+ 8．
(2)( 3+ 2)( 3− 2)−( 5−1)2．
19. (本小题6.0分)
如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE=CF，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是平行四边形．





20. (本小题7.0分)
武汉市教育局举办中小学生经典诵读活动，激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是5本，最多的是8本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表．

(1)补全条形统计图，扇形统计图中的a=______；
(2)本次抽样调查中，中位数是______，扇形统计图中课外阅读6本的扇形的圆心角大小为______度；
(3)若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数．
21. (本小题6.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BH//AC．
(1)尺规作图：作BC的垂直平分线，交AC于E，交BH于D，(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接BE、CD，求证：四边形BECD是平行四边形．

22. (本小题8.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE//BD，DE//AC，CE和DE交于点E．

(1)求证：四边形ODEC是矩形；
(2)当∠ADB=60°，AD=2 3时，求EA的长．
23. (本小题10.0分)
如图，过点B(1,0)的直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=2x+4相交于点P(−1,a)．
(1)求直线l1的解析式．
(2)不等式y1≥y2的解集为______；(直接写出答案)
(3)求四边形PAOC的面积．

24. (本小题11.0分)
“双减”政策颁布后，各校重视了延迟服务，并在延迟服务中加大了体育活动的力度.某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，它们的进价和售价如下表：

进价
售价
乒乓球拍(元/套)
a
50
羽毛球拍(元/套)
b
60
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该面店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x(套)，售完这批体育用品获利y(元)．
①求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商店实际采购时，恰逢“双十一”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了a元(0<α∠10)，羽毛球拍的进价不变，已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？
25. (本小题12.0分)
(1)尝试探究：
如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F．

①求证：△CDE≌△CBF；
②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连结PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论．
(2)拓展应用：
如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连结EF交DB于M，连结CM并延长CM交AB于P，已知AB=6，DE=2，求PB的长．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、 3是最简二次根式，故A符合题意；
B、 12= 22，故B不符合题意；
C、 8=2 2，故C不符合题意；
D、 12=2 3，故D不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：3 7− 7=2 7，故选项A错误，不符合题意；
2× 3= 6，故选项B正确，符合题意；
12÷ 2= 6，故选项C错误，不符合题意；
7− 2不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A、∵12+( 3)2=22，故是直角三角形，不符合题意；
B、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
C、82+152=172，故是直角三角形，不符合题意；
D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

4.【答案】C 
【解析】解：∵y=−23x+3中，k=−23<0，
∴必过第二、四象限，
∵b=3>0，
∴交y轴于正半轴．
∴函数图象过第一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
首先根据k的符号确定函数图象必过第二、四象限，再确定b，看与y轴交点，即可得到答案．
此题主要考查了一次函数的性质，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：因为甲、乙的平均数比丙、丁的平均数大，
而甲的方差比乙的小，
所以甲的产量既高产又稳定，
所以产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是甲；
故选：A．
先比较平均数得到甲和乙的产量较好，然后比较方差得到甲品种既高产又稳定．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

6.【答案】C 
【解析】结合函数图象，写出直线y2=k2x在直线y1=k1x+b上方所对应的自变量的范围即可．
解：∵直线y1=k1x+b与直线y2=k2x的交点的横坐标为−3，
∴当x≤−3时，y2≥y1，
∴关于x的不等式k1x+b≤k2x的解集为x≤−3．
故选：C．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

7.【答案】A 
【解析】解：∵点(12,m)，(−2,n)都在直线y=2x+b上，
∴m=2×12+b=b+1，n=2×(−2)+b=b−4，
而b+1>b−4，
∴m>n．
故选：A．
把已知点的坐标代入一次函数解析式得到m、n的值，从而得到它们的大小关系．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)图象上点的坐标满足y=kx+b．

8.【答案】D 
【解析】解：∵AB=3，∠ACB=30°，∠ABC=90°，
∴AC=6，
∴这棵树在折断前的高度为AC+AB=6+3=9(米)．
故选：D．
根据含有30°角的直角三角形的性质可以得到AC的长，然后即可计算出AB+AC的值，从而可以得到这棵树在折断前的高度．
本题考查了含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．连接AQ，则可知EF为△PAQ的中位线，可知EF=12AQ，可知EF不变．
【解答】
解：如图，连接AQ，

∵E、F分别为PA、PQ的中点，
∴EF为△PAQ的中位线，
∴EF=12AQ，
∵Q为定点，
∴AQ的长不变，
∴EF的长不变，
故选B．  
10.【答案】C 
【解析】解：如图，连接AC，取AC的中点O，

∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F为CD的中点，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵AO=OC，CF=FD，
∴OF=12AD=12BC=4，
∵∠AEC=90°，
∴OE=12AC=12×10=5，
由三角形的三边关系得，O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF最大=4+5=9．
故选：C．
如图，连接AC，取AC的中点O，求出OF，OE即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线并判断出EF最大时的情况是解题的关键．

11.【答案】x≥−2 
【解析】解：由题意得：
x+2≥0，
解得x≥−2，
所以x的取值范围是x≥−2．
故答案为：x≥−2．
由题意得：x+2≥0，解不等式即可得出答案．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练应用二次根式有意义的条件进行计算是解决本题的关键．

12.【答案】y=−x+3 
【解析】解：∵一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点(2,1)，
∴2k+3=1，
解得k=−1，
故函数解析式是y=−x+3．
故答案为：y=−x+3．
把经过的点的坐标代入一次函数解析式求出k的值即可得解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，把点的坐标代入求出k的值即可，比较简单．

13.【答案】y=2x−2 
【解析】解：根据平移的规则可知：
直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y=2x+1−3=2x−2．
故答案为：y=2x−2．
根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．

14.【答案】12 
【解析】解：根据题意画出示意图，如图所示：

△ABC中，AB=AC=10，AD⊥BC，AD=8，
所以BD=DC=12BC，
在Rt△ABD中，AD=8，AB=10，
BD= AB2−AD2=6，
所以BC=2BD=12．
故答案为：12．
根据题意，首先画出示意图，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=DC=12BC；再在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，进而即可得到等腰三角形的底边长BC．
本题主要考查的是等腰三角形的知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

15.【答案】25 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴∠CBO=12∠ABC=40°，AC⊥BD，
∴∠COB=90°，
∴∠BCO=90°−∠CBO=90°−40°=50°，
∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB=12(180°−∠BCO)=12×(180°−50°)=65°，
∴∠OBE=∠CBE−∠CBO=65°−40°=25°，
故答案为：25．
由菱形的性质得∠CBO=40°，AC⊥BD，再由直角三角形的在得∠BCO=50°，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠CBE=65°，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．

16.【答案】3 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO=BO，AO=OC，
∵OA=4，
∴AC=2OA=8，
∵S菱形ABCD=24，
∴12×8×BD=24，
解得：BD=6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB=90°，
∵DO=BO，
∴OH=12BD=12×6=3，
故答案为：3．
根据菱形的性质得出AC⊥BD，DO=BO，AO=OC，求出AC，根据S菱形ABCD=24求出BD，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可．
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．

17.【答案】解：原式=[(a+b)(a−b)(a−b)2−a(a−b)(a−b)2]⋅a(a−b)b2=b(a−b)(a−b)2⋅a(a−b)b2=ab，
当a=−1，b= 2时，原式=− 22． 
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】解：(1)原式=4−2 2+2 2
=4；
(2)原式=3−2−5+2 5−1
=−5+2 5． 
【解析】(1)先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

19.【答案】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴ED//BF，
又∵AE=CF，
且ED=AD−AE，BF=BC−CF，
∴ED=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形． 
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．
由平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，由已知得到ED=BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．

20.【答案】解：(1)20；
补全条形统计图如下：

(2)6，129.6；
(3)1200×14+850=528(人)．
答：估计该校八年级学生课外阅读至少7本的有528人． 
【解析】
【分析】
本题考查扇形统计图、条形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)先根据8本占比求调查的总人数，再求a．
(2)根据中位数定义求中位数，再根据比例求圆心角．
(3)根据样本比例求八年级学生课外阅读至少七本的人数．
【解答】
解：(1)8÷16%=50，
50−18−14−8=10．
10÷50×100%=20%．
∴a=20，
条形统计图见答案，
故答案为：20；
(2)将50名学生课外阅读本数从低到高排列，第25和26个数字均为6，故中位数为6+62=6．
课外阅读6本对应的圆心角为：360°×36%=129.6°．
故答案为：6，129.6；
(3)见答案．  
21.【答案】(1)解：如图：直线ED即为所求，

(2)证明：DE交BC于F，如图，

∵DE垂直平分BC，
∴BF=CF，
又∵BH//AC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△BDF和△CEF中，
∠1=∠2∠3=∠4BF=CF，
∴△BDF≌△CEF(AAS)，
∴BD=CE，
又∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形． 
【解析】(1)利用基本作图作BC的垂直平分线即可；
(2)DE交BC于点F，根据线段垂直平分线的性质得到BF=CF，再证明△BDF≌△CEF得到BD=CE，进而可以判断四边形BECD是平行四边形．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°．
∴四边形ODEC是矩形；
(2)解：∵Rt△AOD中，∠ADO=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=12AD= 3，AO=3，
∴AC=6，EC= 3，
∴AE= 39． 
【解析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
(1)先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形；
(2)根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．

23.【答案】解：(1)∵点P(−1,a)在直线l2：y2=2x+4上，
∴a=2×(−1)+4=2，
则P的坐标为(−1,2)，
∵直线l1：y1=kx+b过点B(1,0)，P(−1,2)，
∴k+b=0−k+b=2，解得k=−1b=1．
∴直线l1的解析式为：y=−x+1；
(2)x≤−1；
(3)∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为(0,1)，
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为(−2,0)，
∴AB=3，
∴S四边形PAOC=S△PAB−S△BOC
=12×3×2−12×1×1
=3−12
=52． 
【解析】解：(1)见答案；
(2)不等式y1≥y2的解集为x≤−1．
故答案为：x≤−1；
(3)见答案。
(1)由点P(−1,a)在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式；
(2)不等式y1≥y2即y=kx+b的函数值不小于2x+4的函数值，观察函数图象得到当x≤−1时满足条件；
(3)根据S四边形PAOC=S△PAB−S△BOC可得结论．
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题．

24.【答案】解：(1)根据题意：2a+b=1104a+3b=260，
解得a=35b=40，
答：a的值为35元，b的值为40元；
(2)①由题意得：
y=(50−35)x+(60−40)(300−x)=−5x+6000，
∵购进乒乓球拍的套数不超过150套，
∴x≤150，
∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，
∴x≥12(300−x)，
解得：x≥100，
则x的取值范围为：100≤x≤150，
∴y与x的函数关系式为y=−5x+6000，x的取值范围为：100≤x≤150；
②由题意得：y=(50−35+a)x+(60−40)(300−x)=(a−5)x+6000，
∵0 ∴当a<5即a−5<0时，y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y有最大值，
∴乒乓球拍购进10O套，羽毛球拍购进200套能获利最大；
当a≥5时，即a−5≥0时，y随x的增大而增大，
∴当x=150时，y有最大值，
∴乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大． 
【解析】(1)根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可；
(2)①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；
②根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组，难度一般．

25.【答案】解：(1)如图1中，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°−∠ABC=90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠DCB=∠ECF=90°
∴∠DCE=∠BCF，
∴△CDE≌△CBF(ASA)．

(2)结论：PE=PF．
理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF，
∴CE=CF，
∵PC=PC，∠PCE=∠PCF，
∴△PCE≌△PCF(SAS)，
∴PE=PF．

(3)如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，∠A=90°，∠EDH=45°，
∵EH⊥AD，
∴∠DEH=∠A=90°，
∴EH//AF，DE=EH=2，
∵△CDE≌△CBF，
∴DE=BF=2，
∴EH=BF，
∵∠EHM=∠MBF，∠EMH=∠FMB，
∴△EMH≌△FMB(AAS)，
∵EM=FM，
∵CE=CF，
∴PC垂直平分线段EF，
∴PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6−x，
在Rt△APE中，则有(x+2)2=42+(6−x)2，
∴x=4，
∴PB=4． 
【解析】(1)先判断出∠CBF=90°，再证明∠DCE=∠BCF即可解决问题．
(2)证明△PCE≌△PCF(SAS)即可解决问题．
(3)如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE.证明△EMH≌△FMB(AAS)，由EM=FM，CE=CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6−x，理由勾股定理构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．