精品解析：广东省肇庆市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：广东省肇庆市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
肇庆市2022—2023学年第二学期高一年级期末教学质量检测数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，所以函数的最小正周期.
故选：B
2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A等于（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】
分析】由正弦定理及大边对大角即得.
【详解】由正弦定理，得＝，即sin A＝，因为b>a，所以A＝.
故选：B
3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积运算法则计算出，从而利用投影向量的公式进行求解.
【详解】，
因为，所以，
故.
故选：A
4. 已知向量，，在集合中随机取值作为，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直求得，根据古典概型的概率计算公式求得正确答案.
【详解】当时，，
解得或，
所以集合中随机取值作为，则的概率为.
故选：A
5. 设为复数，若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】结合复数的概念结合条件可得a，b范围，进而即可判断复数位于第几象限.
【详解】设z，则，
∴，，∴，，
∴，，即z位于第四象限，
故选：D.
6. 圆锥的母线、高、底面半径满足，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知可得出，与组成方程组解出、、的值，再利用圆锥侧面积公式即可得出结果.
【详解】由题意可得①，又因为，可得出，，代入①，
整理得，解得（舍）或，则，，
再直接利用圆锥的侧面积公式，
故选：B.
7. 已知三棱锥的底面为直角三角形，且.若平面，且，，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，记球的体积和表面积分别为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意外接圆的直径为斜边，设三棱锥外接球的半径为，则，求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得.
【详解】因为为直角三角形且，则，
又平面，平面，则，
而平面，于平面，又平面，
因此，取中点，连接，则，
从而点即为球的球心，设三棱锥外接球的半径为，
则，即，所以，
则.

故选：B
8. 给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立
B. 若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立
C. 若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立
D. 若为偶数，则对任意的，事件和事件独立
【答案】B
【解析】
【分析】主要是用判断事件的相互独立性.
【详解】对于A，对于任意，，
即事件和事件独立， A不正确.
对于B，当时，满足；
当时，满足；
以此类推，当时，，，满足；
故存在无穷多个，使事件和事件独立，B正确.
对于C，当时，，
此时显然；
当时，，
此时显然；
当时，，
此时显然；
综上可知，对任意奇数，事件和事件都不独立；C不正确.
对于D，当时，D不正确.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）

A. 图中的值为
B. 估计样本数据的分位数为85
C. 用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000
D. 用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为80.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，根据频率分布直方图的性质计算；
B选项，先判断出分位数所在的区间，然后列方程计算；
C选项，先算出样本数据中不及格的频率，由此估计全市学生不及格的人数；
D选项，根据题意中的平均数的计算要求进行计算.
【详解】A选项，根据频率分布直方图的性质，，
解得，A选项错误；
B选项，前个矩形条的面积为，
前个矩形条的面积为：，
故样本数据的分位数落在中，设样本数据的分位数为，
于是，解得，B选项错误；
C选项，根据直方图可以看出，低于分的频率为：，
于是估计全市学生不及格的人数为：，C选项正确；
D选项，由题意，平均数：
.
故选：CD
10. 已知函数（，）的相邻两条对称轴之间的距离为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 图象上所有点向上平移一个单位长度得到的图象，若的最大值为3，则
C. 图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则
D. 图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到的图象，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，由题目条件得到的最小正周期，从而得到；B选项，得到，故根据最大值列出方程，求出；CD选项，根据伸缩变换的性质得到答案.
【详解】A选项，设函数的最小正周期为，由题意得，解得，
因为，所以，解得，A错误；
B选项，，故，
因为，所以的最大值为，故，解得，B正确；
C选项，由图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得，C正确；
D选项，图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得，D错误.
故选：BC
11. 如图，在边长为1的正方形中，，分别为，的中点，以为圆心，为半径作圆，得到重叠部分为扇形.连接，，分别交弧于，.下列说法正确的是（ ）

A. B.
C. 可作为一个基底 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据单位向量，诱导公式、二倍角公式、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，表示方向上的单位向量，，
且与方向相同，所以，所以A选项正确.
B选项，，
所以，

所以
，B选项正确.
C选项，连接，
由于，所以，
由于分别是的中点，所以，
所以，故不能作为一个基底，C选项错误.

D选项，


，所以D选项正确.

故选：ABD
12. 如图，已知长方体的三条棱长分别为，，，，，为常数，且满足，.点为上的动点（不与，重合），过点作截面，使，分别交，于点，.下列说法正确的是（ ）

A. 截面是三角形 B. 截面的周长为定值
C. 存在点，使 D. 为定值
【答案】AD
【解析】
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，，，，利用线面垂直求出，得点的坐标，根据点的坐标对四个选项逐个判断可得答案.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系；
则，，设，，，，
，，，
因为，所以，得，
因为，所以，即点在线段上（不与和重合），
，，即，
所以点在线段上（不与和重合），
所以截面是三角形，故A正确；
因为，所以，
所以，，，
所以截面的周长为，
因为为常数，所以当增大时，周长也增大，故周长不为定值，故B错误；
由，，得，得，这不可能，故C错误；
由以上知，为定值，故D正确.

故选：AD
【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用线面垂直求出点的坐标是解题关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角形面积公式求解.
【详解】由题意知，，所以，又因为在锐角三角形中，，所以.
故答案为：.
14. 已知，为不共线的单位向量，所成角为，若向量，，则的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据数量积的定义求得的值，再利用向量的数量积的运算法则即可求得的值.
【详解】已知，为不共线的单位向量，所成角为，所以，
又，，所以.
故答案为：.
15. 某银行发行了甲，乙两款理财产品，一名投资者有意向去投资这两款理财产品.已知这名投资者选择投资甲，乙两款理财产品相互独立，且投资甲产品的概率为，投资乙产品的概率为，则该投资者两种产品都不投资的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由已知可得出这名投资者不投资甲产品的概率为，不投资乙产品的概率为，由独立事件乘法公式即可求出都不投资的概率，从而得出结果.
【详解】因为这名投资者投资甲产品的概率为，所以不投资甲产品的概率为，
同理投资乙产品的概率为，所以不投资乙产品的概率为，
根据独立事件的乘法公式，该投资者两种产品都不投资的概率为，
故答案为：
16. 如图，在直角梯形中，，，，若以为圆心，为半径的圆与相切，切点为，则的值为__________.

【答案】9
【解析】
【分析】利用向量的数量积运算代入即可求出结果.
【详解】
连接，则,,
所以，
故答案为：9.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设复数，，若.
（1）求；
（2）记为的共轭复数，计算的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的除法运算以及复数的分类可得，进而由模长公式即可求解，
（2）根据复数的加减法以及乘方运算即可化简求解.
【小问1详解】
，
则，则，所以，则.
【小问2详解】
，则，
.
18. 山东淄博有着丰富的烧烤文化，淄博烧烤以其独特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，今年的“五一”假期更是游客“进淄赶烧”的高峰期.某商家为了提高自己的竞争力，举行了消费抽奖活动，活动规则如下：每消费满100元，会获得一次抽奖机会，奖项为“5元烧烤优惠券”“10元烧烤优惠券”以及“谢谢惠顾”.已知抽中“5元烧烤优惠券”的概率为，抽中“10元烧烤优惠券”的概率为，并且每次抽奖互不影响.
（1）求抽到“谢谢惠顾”的概率；
（2）某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出事件，根据互斥事件求概率公式进行求解；
（2）分两种情况进行求解，相加得到答案.
【小问1详解】
记抽到“5元烧烤优惠券”为事件，
抽到“10元烧烤优惠券”为事件，抽到“谢谢惠顾”为事件，
且，.
根据互斥事件求概率公式可得.
【小问2详解】
记抽到总计10元烧烤优惠券为事件，则可能一次抽到“10元烧烤优惠券”、一次抽到“谢谢惠顾”，记为事件，或者两次都抽到“5元烧烤优惠券”，记为事件.
则，，.
故该客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率为.
19. 如图，已知正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面相互垂直.以为直径，在平面内作半圆（半圆位于的左侧），点为弧上的一点.

（1）证明：平面；
（2）若点为弧的中点，求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，进而利用线线垂直即可求证线面垂直，即可求证，
（2）根据二面角的几何法求解其平面角，进而由三角形的边角关系求解即可.
【小问1详解】
证明：
由于平面平面，且两平面的交线为,平面，，
所以平面，又平面,
所以,
又在以为直径的半圆上，因此可以得到.
平面,
所以平面；
小问2详解】
过在平面内作交的延长线于点，则平面，
过作交于点，连接.
由于平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，平面，即，又，
所以就是所求的二面角的平面角.
设正方形的边长为，则,
则，，.
在中，，
即二面角的正切值为.

20. 为调查某校高一学生的数学学习情况以及男女生学习水平的差异，采用分层随机抽样的方式从高一年级抽取人参加数学知识竞赛（满分10分）.已知该校高一男女生的人数比为1：2，抽取了20名男生参加数学知识竞赛，他们的成绩记为，其中分别为：8，3，2，4，8，5，5，7，7，6，8，5，5，6，4，9，6，8，6，8.
（参考数据：，）
（1）求样本总人数；
（2）求男生数学知识竞赛成绩的第60百分位数以及方差；
（3）若女生数学知识竞赛成绩的平均数为3，方差为10.3，求样本总方差.
【答案】（1）60 （2）6.5；，
（3）10
【解析】
【分析】（1）根据抽样比和男生人数可得答案；
（2）男生数学知识竞赛成绩从小到大排列，可得第60百分位数；根据平均数和方差公式可得男生数学知识竞赛成绩的平均数和方差；
（3）求出样本总平均数，根据样本总方差公式计算可得答案.
【小问1详解】
男生占样本总人数的，所以；
【小问2详解】
.男生数学知识竞赛成绩从小到大排列为2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，8，8，9，其中第12个数据为6，第13个数据为7，
所以男生数学知识竞赛成绩的第60百分位数为，
记男生数学知识竞赛成绩的平均数和方差分别为，.
则，；
【小问3详解】
记女生数学知识竞赛成绩的平均数和方差分别为，，
则样本总平均数，
样本总方差.
21. 如图所示，在一块面积为的圆心角为的扇形空地中（如图1：扇形，），要建设一座长方体的高楼（如图2：长方体）.由于建设需求，点需在弧上（如图3）.为了消防安全，楼层建设不能太高，与地面所成的角最大为.

（1）求楼高的最大值；
（2）求这座高楼体积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意先求得扇形半径，连接，，得到是与地面所成角，从而可求；
（2）设，，则，.从而可表示矩形的面积关于的函数，利用三角恒等变换结合正弦函数的性质可求得矩形的面积的最大值，结合第一问可求长方体体积的最大值.
【小问1详解】
设扇形半径为，则，所以.
连接，，
因为长方体中，平面，
所以是与地面所成角，所以,
因为与地面所成的角最大为，
所以.
【小问2详解】
设，，则，.
因为，所以，
，
则矩形的面积
.
又，所以，
所以当，即时，，
故这座高楼的体积最大值.

22. 在中，设内角，，所对的边分别为，，.若.
（1）证明：；
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的数量积公式，对化简，再根据余弦定理推论，化简即可求证结果.
（2）根据诱导公式和两角和差的正弦定理化简可得，再根据正余弦定理，将角化边，可得，再根据（1）的结论，即可求得，再利用余弦定理推论即可求出结果.
【小问1详解】
证明：因为，所以，
即，化简得.
【小问2详解】
解：若，则，
即，化简得，
所以，即，化简得，①.
又，②
联立①②解得或（舍去）.代入可得.
所以.