2023年全国高考数学真题分类组合第10章《直线与圆》试题及答案

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第十章 直线与圆
第三节 直线与圆的位置关系
1.（2023全国甲卷理科8，文科9）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由，则，解得.
所以双曲线的一条渐近线为，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选D.
2.（2023全国乙卷理科22，文科22）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线（为参数，）.
（1） 写出的直角坐标方程；
（2） 若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.
【分析】(1) 根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意的取值范围；
(2) 根据曲线的方程，结合图形通过平移直线分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.
【解析】(1)因为，即，可得，
整理得，表示以为圆心，半径为1的圆，
又因为，，
且，则，则，，
故.
(2)因为（为参数，），
整理得，表示圆心为，半径为 2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线过，则，解得；
若直线，即与相切，则，解得，
若直线与均没有公共点，则或，
即实数的取值范围为.

3.（2023全国乙卷文科11）已知实数满足，则的最大值是 （ ）
A. B. C. D.
【分析】解法一：令，利用判别式法即可；解法二：通过整理得，利用三角换元法即可，解法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【解析】解法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是.故选C.
解法二：，整理得，
令，，其中，
则，
因为，所以，则，即时，取得最大值.故选C.
解法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得.
故选C.
4.（2023新高考I卷6）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，所以圆心为，
记，设切点为，如图所示.

因为，，故，
，，
.故选B.
5.（2023新高考II卷15）已知直线与圆交于两点，写出满足“”的m的一个值______.
【解析】由题意可知，直线恒过点，此点同时为圆与轴负半轴的交点.
又圆心，则，所以，
解得，或.
所以满足条件的点可以为，
代入直线方程得或或或.