专题03 矩形、菱形、正方形的性质与判定（9大考点）-八年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

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专题03 矩形、菱形、正方形的性质与判定
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目录
【典型例题】 1
【考点一 利用矩形的性质求角度】 1
【考点二 利用矩形的性质求线段长】 3
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】 6
【考点四 利用菱形的性质求角度】 10
【考点五 利用菱形的性质求线段长】 12
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】 15
【考点七 利用正方形的性质求角度】 19
【考点八 利用正方形的性质求线段长】 20
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】 25
【过关检测】 29

【典型例题】
【考点一 利用矩形的性质求角度】
例题：（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．

【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．
2．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．

(1)求证：；
(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．



【考点二 利用矩形的性质求线段长】
例题：（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．

【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．

2．（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．

(1)若，，求的长．
(2)求证：．

【考点三 矩形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．



【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．

(1)求证：；
(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．




2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．



【考点四 利用菱形的性质求角度】
例题：（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．

【变式训练】
1．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．

2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．


【考点五 利用菱形的性质求线段长】
例题：（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．

【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．

2．（2022秋·辽宁辽阳·九年级辽阳市第一中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为 _____．

3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．

(1)求证：；
(2)若，，求菱形的面积．


【考点六 菱形的性质与判定综合问题】
例题：（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长；


【变式训练】
1．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．



2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当______时，四边形是矩形，请说明理由．


【考点七 利用正方形的性质求角度】
例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．

【变式训练】
1．（2021秋·山西太原·九年级太原市外国语学校校考阶段练习）如图，正方形中，，则_____．

2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．


【考点八 利用正方形的性质求线段长】
例题：（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，过点作，交于点，，，则___________．

【变式训练】
1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．

2．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______．

3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．



【考点九 正方形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．

(1)若正方形的边长为，且，求的长；
(2)求证：．


【变式训练】
1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的长．



2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．

(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．
(2)如图2，连接．若．
①当点E是的中点时，____________；
②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．





【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点F，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．
3．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为（    ）

A．10 B． C． D．5
5．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）已知四边形是平行四边形，再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（    ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题
6．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）已知菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积__________．
7．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______

8．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，在矩形中，点是对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，图中阴影部分的面积和为8，则矩形的周长为_____．

9．（2022秋·全国·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形边上，交的延长线于F，连接，过点A作的垂线，与分别交于点H、G．若，则的长为 ____．

10．（2022秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2023次，点B的落点依次为，则的横坐标为___________．

三、解答题
11．（2022秋·江西抚州·九年级校考期末）已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且．

(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．






12．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考开学考试）已知，如图，在菱形中，为对角线，E是上的点，分别连结，并延长交于点F，交于点G．

(1)求证：；
(2)若，求的长．








13．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）如图，中，，是边上的中线，分别过点A，C作的平行线交于点E，连接交于点O，求证：

(1)四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．





14．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）如图，在中，，为的中点，，．

(1)试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)当________°时，四边形为正方形．





15．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，点为边上一点，连接，交于点．

(1)当时，求证：四边形为菱形；
(2)当______时，则四边形为矩形．






16．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)①若，，则四边形的面积＝　 　．
②若，则　 　时，四边形是正方形．






17．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A，B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C，D重合）．运动时间设为t秒．

(1)若点P，Q均以的速度移动，则___________；___________．（用含t的代数式表示）
(2)在（1）的条件下，t为何值时，P，Q间的距离为？
(3)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
(4)若点P，Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？





18．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．

(1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示）
(2)点P在上，∥时，求t的值．
(3)当直线平分的面积时，求t的值．
(4)若点Q的运动速度改变为每秒a个单位．当，的某两个顶点与P、Q所围成的四边形为菱形时，直接写出a的值．