天津市九校联考2023届高三下学期模拟考试数学试卷（含答案）

这是一份天津市九校联考2023届高三下学期模拟考试数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

天津市九校联考2023届高三下学期模拟考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2、已知a为非零实数，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4、少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )

A.样本的众数为65 B.样本的第80百分位数为72.5
C.样本的平均值为67.5 D.该校学生中低于的学生大约为1000人
5、设，，，则( )
A. B. C. D.
6、设，，则( )
A. B. C. D.
7、设、分别为双曲线（，）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为( )
A. B. C. D.
8、中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂.1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为( )

A. B. C. D.6
9、已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：

①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为.
以上四个说法中，正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
10、已知i是虚数单位，复数的虚部为________.
11、在的展开式中，的系数是________.
12、直线l经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线l的方程为________.
13、设，对任意实数x，记.若有三个零点，则实数a的取值范围是________.
三、双空题
14、有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%.假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为________.
15、在中，，，若O为其重心，试用，表示为________；若O为其外心，满足，且，则m的最大值为________.
四、解答题
16、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.满足.
（1）求角B的大小；
（2）设，.
（ⅰ）求c的值；
（ⅱ）求的值.
17、如图，在三棱锥中，底面，.点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，.

（1）求证：平面；
（2）求点N到直线的距离；
（3）在线段上是否存在一点H，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由.
18、设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1.已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求的前项和；
（3）设，求证：.
19、已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）椭圆上一点P在第一象限，且满，与椭圆交于点Q，直线交的延长线于点D.若的面积为，求椭圆的标准方程.
20、已知函数，其中.
（1）当时，求函数在点上的切线方程.（其中e为自然对数的底数）
（2）已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值.
参考答案
1、答案：D
解析：，
由，
得，所以，
故选：D.
2、答案：A
解析：由，即，即，
解得或，
所以由可以推出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3、答案：C
解析：由可得，，，
因为，，
所以函数不是奇函数，也不是偶函数，
所以函数的图象不关于y轴对称，A，D错误，
又，B错误；
选项C满足以上要求.
故选：C.
4、答案：B
解析：由频率分布直方图可得众数为67.5，A错误；
平均数为，C错误；
因为体重位于，，，的频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，
因为，
所以第80百分位数位于区间内，设第80百分位数为x，
则，
所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；
样本中低于的学生的频率为，
所以该校学生中低于的学生大约为，D错误；
故选：B.
5、答案：D
解析：由题知，，，
因为在定义域内单调递减，
所以，
即，
因为在定义域内单调递增，
所以，
即，
因为在定义域内单调递增，
所以，
即，
综上：.
故选：D.
6、答案：C
解析：由得，所以，
故选：C.
7、答案：B
解析：依题意，可知是一个等腰三角形，
在直线的投影是其中点D，由勾股定理可知，
根据双曲定义可知，整理得，
代入整理得，
所以，
所以双曲线渐近线方程为，即，
抛物线准线方程为，
渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，，
的面积.
所以双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为.
故选：B.

8、答案：A
解析：由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，
则该球半径，如图：

可知E为外接球球心，，平面，D为底面等边的中心，
设正四面体的棱长为d，则，，
在中，则，即，
解得，即.
故选：A.
9、答案：C
解析：依题意可得，，
，
再根据五点法作图可得，
解得，.
因为，
所以的图象关于点对称，故①正确；
因为，
所以的图象关于直线对称，故②正确；
将的图象向左平移个单位长度得到
，
故③错误；
因为，
当时且，，
因为函数在上有且只有两个极值点，
所以，
解得，即t的最大值为，故④正确；
故选：C.
10、答案：-1
解析：因为，
所以其虚部为-1，
故答案为：-1.
11、答案：60
解析：由题意得：，，
只需，可得，
所以，
故答案为：60.
12、答案：或
解析：圆，即，圆心为，半径，
因为直线与圆相交截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为3，符合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线方程为，即，
则，解得，所以直线方程为，即，
综上可得直线方程为或.
故答案为：或.
13、答案：
解析：令，，
因为函数有一个零点，函数至多有两个零点，
又有三个零点，
所以必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等，
且函数与函数的零点均为函数的零点，
由可得，，所以，
所以为函数的零点，
即，
所以，
令，可得，
由已知有两个根，
设，则有两个正根，
所以，，
所以，故，
当时，有两个根，
设其根为，，，则，
设，
则，，
所以，
令，则，
则，，
且，，
所以当时，，
所以当时，，为函数的零点，又也为函数的零点，
且与互不相等，
所以当时，函数有三个零点.
故答案为：.
14、答案：1.5%；13%
解析：由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为，
记B“加工的零件为优秀品”，“零件为第1台车床加工“，“零件为第2台车床加工“，，，，，
由全概率公式可得，
故答案为：1.5%；13%
15、答案：；1
解析：连接并延长交与点D，
由重心性质可得D为线段的中点，且，
又，
所以，

若O为的外心，则，
设点E为线段的中点，设点F为线段的中点，
则，，
因为，
，
所以可化为：
，
所以，
由正弦定理可得，故
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以m的最大值为1.

故答案为：，1.
16、答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：（1）由，
根据正弦定理得，，
可得，
因为，故，则，
又，所以.
（2）由（1）知，，且，，
（ⅰ）则，
即，解得（舍），.
故.
（ⅱ）由，
得，
解得，则，
则，
，
则
.
17、答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）因为底面，，
建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，，
所以，，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得，
又，
可得，因为平面，
所以平面，
（2）因为，
所以点N到直线的距离.
（3）设，，则，
设平面的法向量为，
则令，则，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.
18、答案：（1），
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）依题意设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，
则，，
又，，
所以，
解得或（舍去），
所以，.
（2）由（1）可得，
设的前项和为，
所以

.
（3）因为，所以，
所以，
所以
.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆内一点M满足，所以M为的中点，则，，化简得，
因为，所以，
所以椭圆的离心率为.
（2）椭圆上一点P在第一象限，且满，

所以直线，设直线方程为，
由直线方程与椭圆方程联立得，
，
解得，
因为点P在第一象限，，，因为P，Q关于原点对称，
，，
因为，，
则直线的方程为，
联立得，，
所以，
所以直线的方程为，
即，
所以点D到直线的距离为，，
所以的面积，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故椭圆方程为.
20、答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
解析：（1）当时，，所以，
所以，又，
所以函数在点上的切线方程为，即；
（2）（ⅰ）即，则有，，
设，，则，令，得，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又x趋向于0时，趋向负无穷，x趋向于正无穷大时，无限趋向0，且，
函数的图象如下：

由题意，方程有两个不相等的正实根，
即方程有两个不相等的正实根，
所以函数的图象与直线有两个交点，
由图知，，故实数a的取值范围为；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）得，则，
所以，设，则，
即，，
由题意有最小值，即有最小值e，
设，，
则，
记，则，
由于，，时，，则在上单调递减，
时，，
则在上单调递增，
又，，
且t趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，
故存在唯一，使得，
时，，即，所以在上单调递减，
时，，即，所以在上单调递增，
所以时，有最小值，
而，则，
即，
所以，
由题意知，令，
设，则，
设，则，
设，则，
故在上单调递增，，
此时在上单调递增，
有，此时，故在上单调递增，
又，
故的唯一解是，
故的唯一解是，
即，
综上所述，.