新疆生产建设兵团2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份新疆生产建设兵团2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共30页。试卷主要包含了解不等式组等内容，欢迎下载使用。

新疆生产建设兵团2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．解一元一次不等式组（共1小题）
1．（2023•新疆）（1）解不等式组．
（2）金秋时节，新疆瓜果飘香，某水果店A种水果每千克5元，B种水果每千克8元，小明买了A、B两种水果共7千克，花了41元．A，B两种水果各买了多少千克？
二．一次函数的应用（共2小题）
2．（2023•新疆）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：

A超市
B超市
优惠方案
所有商品按八折出售
购物金额每满100元返30元
（1）当购物金额为80元时，选择 　 　超市（填“A”或“B”）更省钱；
当购物金额为130元时，选择 　 　超市（填“A”或“B”）更省钱；
（2）若购物金额为x（0≤x＜200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%（注：优惠率＝×100%）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
3．（2022•新疆）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 　 　km/h；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式；
（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．

三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2021•新疆）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式k1x+b≥的解集．

四．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•新疆）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标．

五．矩形的判定（共1小题）
6．（2023•新疆）如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO的中点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形．

六．四边形综合题（共1小题）
7．（2022•新疆）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）当AE⊥BC时，∠AEB＝　 　°；
（2）探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
（3）设AC＝4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．


七．切线的性质（共1小题）
8．（2022•新疆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE；
（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．

八．切线的判定与性质（共2小题）
9．（2023•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点C，F是⊙O上的点，且∠CBF＝∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BE＝4，求FH的长．

10．（2021•新疆）如图，AC是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，且CD平分∠ACE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：∠CDE＝∠DBE；
（3）若DE＝6，tan∠CDE＝，求BF的长．

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
11．（2023•新疆）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）

12．（2022•新疆）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
13．（2022•新疆）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育．该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对七年级学生一周参加家庭劳动次数情况，开展了一次调查研究，请将下面过程补全．
（1）收集数据
①兴趣小组计划抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是 　 　．
A．从该校七年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校七作级女生中随机抽取20名学生
C．从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学生
②通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3 1 2 2 4 3 3 2 3 4
3 4 0 5 5 2 6 4 6 3
（2）整理、描述数据
整理数据，结果如下：
分组
频数
0≤x＜2
2
2≤x＜4
10
4≤x＜6
6
6≤x＜8
2
（3）分析数据
平均数
中位数
众数
3.25
a
3
根据以上信息，解答下列问题：
①补全频数分布直方图；
②填空：a＝　 　；
③该校七年级现有400名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数；
④根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论．

一十一．众数（共1小题）
14．（2023•新疆）跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148
152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数
众数
中位数
145
a
b
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．

新疆生产建设兵团2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．解一元一次不等式组（共1小题）
1．（2023•新疆）（1）解不等式组．
（2）金秋时节，新疆瓜果飘香，某水果店A种水果每千克5元，B种水果每千克8元，小明买了A、B两种水果共7千克，花了41元．A，B两种水果各买了多少千克？
【答案】（1）3＜x＜8；
（2）该水果店购进A种水果5千克，B种水果2千克．
【解答】解：（1）解不等式①得：x＜8，
解不等式②得：x＞3，
则不等式组的解集为3＜x＜8；
（2）设该水果店购进A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得：，
解得：，
答：该水果店购进A种水果5千克，B种水果2千克．
二．一次函数的应用（共2小题）
2．（2023•新疆）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：

A超市
B超市
优惠方案
所有商品按八折出售
购物金额每满100元返30元
（1）当购物金额为80元时，选择 　A　超市（填“A”或“B”）更省钱；
当购物金额为130元时，选择 　B　超市（填“A”或“B”）更省钱；
（2）若购物金额为x（0≤x＜200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%（注：优惠率＝×100%）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
【答案】（1）A；B；
（2）当0≤x＜100或150＜x＜200时，选择A超市更省钱，当100≤x＜150时，选择B超市更省钱，当x＝150时，A、B两超市花费一样多；
（3）不一定，举例见解析．
【解答】解：（1）∵80＜100，
∴A超市八折优惠，B超市不优惠，
∴选择A超市更省钱；
∵100＜130＜200，
∴A超市应付：130×0.8＝104元，B超市应付：130﹣100＝30元，
∵104＞100，
∴选择B超市更省钱；
故答案为：A；B．
（2）当0≤x＜100时，A超市八折优惠，B超市不优惠，
∴选择A超市更省钱，
当100≤x＜200时，A超市函数表达式为：y＝0.8x，B超市函数表达式为：y＝x﹣30，
当0.8x＜x﹣30，即150＜x＜200时，选择A超市更省钱；
当0.8x＝x﹣30，即x＝150时，A、B两超市花费一样多；
当0.8x＞x﹣30，即100≤x＜150时，选择B超市更省钱．
（3）不一定，例：
当100≤x＜200时，设优惠率为P，则有P＝，
当900≤x1＜1000时，设优惠率为Q，则有Q＝，
∴P﹣Q＝，
∵xx1＞0，
∴当x1﹣9x＜0时，P﹣Q＜0，即购物金额小时，享受的优惠率大，
∴在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
3．（2022•新疆）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 　60　km/h；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式；
（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．

【答案】（1）60；
（2）y甲＝60x（0＜x≤5）；y乙＝；
（3）甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了150km．
【解答】解：（1）甲的速度为：300÷5＝60（km/h），
故答案为：60；
（2）由（1）可知，y甲与x之间的函数解析式为y甲＝60x（0＜x≤5）；
设y乙与x之间的函数解析式为y乙＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴y乙＝100x﹣100（1≤x≤4），
∴y乙＝；
（3）根据题意，得60x＝100x﹣100，
解得x＝2.5，
60×2.5＝150（km），
∴点C的坐标为（2.5，150），
故点C的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了150km．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2021•新疆）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式k1x+b≥的解集．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（2，3）代入y＝得3＝，
解得k2＝6，
∴y＝，
把B（n，﹣1）代入y＝得﹣1＝，
解得n＝﹣6，
∴点B坐标为（﹣6，﹣1）．
把A（2，3），B（﹣6，﹣1）代入y＝k1x+b得：
，
解得，
∴y＝x+2．
（2）把x＝﹣2代入y＝x+2得y＝﹣2×+2＝1，
∴点P（﹣2，1）在一次函数y＝k1x+b的图象上．
（3）由图象得x≥2或﹣6≤x＜0时k1x+b≥，

∴不等式k1x+b≥的解集为x≥2或﹣6≤x＜0．
四．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•新疆）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标．

【答案】（1）证明见解答；
（2）①C（﹣4，1）；②y＝x+3；
（3）抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）解：①∵一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
∴A（0，3），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
过点C作CG⊥x轴于点G，如图，
则∠BGC＝90°＝∠AOB，

∴∠CBG+∠BCG＝90°，
∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBG＝90°，
∴∠BCG＝∠ABO，
∴△BCG≌△ABO（AAS），
∴BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，
∴OG＝OB+BG＝1+3＝4，
∴C（﹣4，1）；
②设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3；
（3）解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝．
∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
当点M在x轴上方时，如图，设BM交y轴于点K，过点K作KH⊥BQ于点H，
则∠KHQ＝∠KHB＝90°，

设K（0，t），
∵Q（0，﹣1），B（4，0），
∴OB＝4，OQ＝1，KQ＝t+1，
在Rt△BQO中，BQ＝＝＝，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠KHQ＝∠BOQ，
∵∠KQH＝∠BQO，
∴△KQH∽△BQO，
∴＝＝，即＝＝，
∴QH＝（t+1），KH＝（t+1），
∴BH＝BQ﹣QH＝﹣（t+1）＝（16﹣t），
∵tan∠MBQ＝，
∴＝，
∴BH＝3KH，
∴（16﹣t）＝3×（t+1），
解得：t＝，
∴K（0，），
设直线BK的解析式为y＝mx+n，则，
解得：，
∴直线BK的解析式为y＝﹣x+，
联立得，
解得：，（舍去），
∴M（﹣，）；
当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，
则∠QFE＝∠BOQ＝∠BQE＝90°，

∵tan∠MBQ＝，
∴＝tan∠MBQ＝，
∴EQ＝BQ＝，
∵∠OBQ+∠BQO＝90°，∠BQO+∠EQF＝90°，
∴∠OBQ＝∠EQF，
∴△QEF∽△BQO，
∴＝＝，即＝＝，
∴EF＝，QF＝，
∴OF＝OQ+QF＝1+＝，
∴E（，﹣）；
设直线BM的解析式为y＝m′x+n′，则，
解得：，
∴直线BM的解析式为y＝x﹣，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴E（﹣，﹣）；
综上所述，抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣．
五．矩形的判定（共1小题）
6．（2023•新疆）如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO的中点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）∠ABO＝∠DCO＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AO＝DO，
∵点E、F分别是AO、DO的中点，
∴，
∴OE＝OF；
（2）∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵∠A＝30°，
∴，
∵OE＝OF，
∴，
∴∠EBF＝90°，
∴四边形BECF是矩形．
六．四边形综合题（共1小题）
7．（2022•新疆）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）当AE⊥BC时，∠AEB＝　60　°；
（2）探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
（3）设AC＝4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．


【答案】（1）60；
（2）∠AEB＝30°+∠CAD，理由见解析过程；
（3）y＝（2﹣x）2+4．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠BAE＝60°，
∵将△ACD沿AD折叠得到△AED，
∴AC＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠AEB＝60°，
故答案为：60；
（2）∠AEB＝30°+∠CAD，理由如下：
∵将△ACD沿AD折叠得到△AED，
∴AE＝AC，∠CAD＝∠EAD，
∵∠ABC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BAE＝120°﹣2∠CAD，
∵AB＝AE＝AC，
∴∠AEB＝＝30°+∠CAD；
（3）如图，连接OA，

∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴OA⊥BC，
∵∠ABC＝∠ACB＝30°，AC＝4，
∴AO＝2，OC＝2，
∵OD2＝AD2﹣AO2，
∴OD＝，
∵S△ADC＝×OC×AO﹣×OD×OA，
∴x＝×2×2﹣×2×，
∴y＝（2﹣x）2+4．
七．切线的性质（共1小题）
8．（2022•新疆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE；
（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）DB的长为．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）证明：∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵∠ACB＝∠E＝90°，∠CAB＝∠CDB，
∴△ACB∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
∵∠CBE＝∠ABC，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴BD＝DE﹣BE＝﹣＝，
∴DB的长为．

八．切线的判定与性质（共2小题）
9．（2023•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点C，F是⊙O上的点，且∠CBF＝∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BE＝4，求FH的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）FH的长是．
【解答】（1）证明：连接OC交BF于点I，则OC＝OA，
∵∠CBF＝∠BAC，∠CBF＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴＝，
∴OC垂直平分BF，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AF交AF的延长线于点D，
∴∠D＝∠AFB＝90°，
∴DE∥FB，
∴∠OCE＝∠OIB＝90°，
∵OC是⊙O的半径，DE经过点C且DE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：作BL⊥CE于点L，则∠BLE＝∠BLC＝90°，
∵∠BIC＝∠ICL＝90°，
∴四边形BICL是矩形，
∵＝tanE＝，
∴BL＝EL，
∵BE＝4，OB＝OC，
∴BE＝＝＝EL＝4，
∴EL＝，
∴IC＝BL＝×＝，
∴＝＝sinE＝＝，
∴OC＝OE＝（OC+4），
∴OB＝OC＝6，
∴OE＝OB+BE＝6+4＝10，
∴CE＝＝＝8，
∵OI＝OC﹣IC＝6﹣＝，
∴AF＝2OI＝2×＝，
∵FG⊥AB于点G，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFH＝∠E＝90°﹣∠DAE，
∵∠FAH＝∠ECB＝90°﹣∠ACD，
∴△AFH∽△CEB，
∴＝＝＝，
∴FH＝BE＝×4＝，
∴FH的长是．

10．（2021•新疆）如图，AC是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，且CD平分∠ACE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：∠CDE＝∠DBE；
（3）若DE＝6，tan∠CDE＝，求BF的长．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：

∵CD平分∠ACE，
∴∠OCD＝∠DCE，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DCE＝∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接AB，如图：

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠DBC＝90°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ODC，
∴∠ABD＝∠ODC，
∴∠ODC+∠DBC＝90°，
∵∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DBC，即∠CDE＝∠DBE；
（3）解：Rt△CDE中，DE＝6，tan∠CDE＝，
∴＝，
∴CE＝4，
由（2）知∠CDE＝∠DBE，
Rt△BDE中，DE＝6，tan∠DBE＝，
∴＝，
∴BE＝9，
∴BC＝BE﹣CE＝5，
∵M为BC的中点，
∴OM⊥BC，BM＝BC＝，
Rt△BFM中，BM＝，tan∠DBE＝，
∴＝，
∴FM＝，
∴BF＝＝．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
11．（2023•新疆）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）

【答案】烽燧BC的高度约为13.5米．
【解答】解：过点A作AE⊥AD于E交BC的延长线于点E，则BE＝AD＝31.5米，

在Rt△ABE中，BE＝31.5米，∠AEB＝90°，∠BAE＝65°，tan∠BAD＝，
∴AE≈＝15（米m），
在Rt△ACE中，∠CAE＝50°，tan∠CAD＝，
∴CE＝AEtan∠CAE＝15tan50°≈15×1.2＝18（米），
∴BC＝BE﹣CE＝31.5﹣18＝13.5（米），
答：烽燧BC的高度约为13.5米．
12．（2022•新疆）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】52.5m．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，则AE＝CD＝30m，
在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，AE＝30m，
∴BE＝AE＝30m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝37°，AE＝30m，
∴CE＝tan37°×AE≈0.75×30＝22.5（m），
∴BC＝BE+CE＝52.5（m），
答：这栋楼的高度大约为52.5m．

一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
13．（2022•新疆）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育．该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对七年级学生一周参加家庭劳动次数情况，开展了一次调查研究，请将下面过程补全．
（1）收集数据
①兴趣小组计划抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是 　C　．
A．从该校七年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校七作级女生中随机抽取20名学生
C．从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学生
②通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3 1 2 2 4 3 3 2 3 4
3 4 0 5 5 2 6 4 6 3
（2）整理、描述数据
整理数据，结果如下：
分组
频数
0≤x＜2
2
2≤x＜4
10
4≤x＜6
6
6≤x＜8
2
（3）分析数据
平均数
中位数
众数
3.25
a
3
根据以上信息，解答下列问题：
①补全频数分布直方图；
②填空：a＝　3　；
③该校七年级现有400名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数；
④根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论．

【答案】（1）C；
（3）①见解答；
②3；
③160人；
④七年级一周参加家庭劳动的次数偏少，故学校应该加强学生的劳动教育．（答案不唯一）．
【解答】解：（1）①兴趣小组计划抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学生，
故答案为：C；
（3）①补全频数分布直方图如下：

②被抽取的20名学生每人一周参加家庭劳动的次数从小到大排列，排在中间的两个数分别为3、3，故中位数a＝＝3，
故答案为：3；
③由题意可知，被抽取的20名学生中达到平均水平及以上的学生人数有8人，
400×＝160（人），
答：估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生有160人；
④根据以上数据可知，七年级一周参加家庭劳动的次数偏少，故学校应该加强学生的劳动教育．（答案不唯一）．
一十一．众数（共1小题）
14．（2023•新疆）跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148
152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数
众数
中位数
145
a
b
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝　165　，b＝　150　；
（2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
【答案】（1）165；150；
（2）84名；
（3）超过年级一半的学生，理由见解答．
【解答】解：（1）在被抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，165出现的次数最多，故众数a＝165；
把被抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是148，152，故中位数b＝＝150．
故答案为：165；150；
（2）240×＝84（名），
答：估计七年级240名学生中，约有84名学生能达到优秀；
（3）超过年级一半的学生，理由如下：
∵152＞150，
∴推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．