山东省枣庄市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份山东省枣庄市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共37页。试卷主要包含了两点，问题情境等内容，欢迎下载使用。
山东省枣庄市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数的应用（共1小题）
1．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．

三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

四．四边形综合题（共2小题）
6．（2021•枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

7．（2023•枣庄）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF，GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB，AC，BC于点E，F，G，H．

猜想证明：（1）如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由；
问题解决：（2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB，BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
五．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

六．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．

七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2022•枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？


八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2022•枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题
测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图

测量步骤
如图②
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；
（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）

九．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2023•枣庄）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 　 　名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 　 　名，“D烹饪与营养”的男生有 　 　名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
13．（2021•枣庄）某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A，B，C，D四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是 　 　（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 　 　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为 　 　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

山东省枣庄市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数的应用（共1小题）
1．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

【答案】（1）y＝﹣2.5x+12；
（2）y＝；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝（x≥3）；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：
当x＝15时，y＝＝0.9，
∵13.5＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．

【答案】（1）一次函数的表达式为y＝x﹣1，该函数的图象见解答；
（2）x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（m，1），B（﹣2，n）两点，
∴1＝，n＝＝﹣2，
解得：m＝4，
∴A（4，1），B（﹣2，﹣2），
将A（4，1），B（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣1，该函数的图象如图所示：

（2）由图可得，不等式kx+b﹣＜0的解集范围是x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）设直线AB交x轴于C，交y轴于D，
在y＝x﹣1中，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
当y＝0时，得x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（0，a），A（4，1），
∴PD＝|a+1|，
∵S△APC＝，
∴|a+1|•（4﹣2）＝，
解得：a＝或﹣，
∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）MH+DH的最小值为；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，

则DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M＝＝，
∴MH+DH的最小值为；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，n），
当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，3）；
当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，1）；
当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
4．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；
（2）P点坐标为（，﹣）；
（3）3≤h≤4；
（4）点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
＝PG•AE
＝×3×（﹣m2+5m﹣3）
＝﹣（m2﹣5m+3）
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，△OPE面积最大，
此时，P点坐标为（，﹣）；

（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），

∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；

（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1＝（舍）或m2＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，

如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1＝或m2＝（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m＝或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
方法二：作直线DE：y＝x﹣2，

E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，
易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，
联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，
解得x1＝，x2＝，
同理可得x3＝或x4＝；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
5．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

【答案】（1）y＝x2﹣2x；点M的坐标为（3，﹣3）；（2）点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）；（3）见解答．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，
故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝×36+6b，解得b＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；
则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝﹣3，
则点M的坐标为（3，﹣3）；

（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，

设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，﹣x+3），
则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝6×（﹣x+3﹣x2+2x）＝，
解得x＝1或，
故点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）；

（3）∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣3），
故直线CM的表达式为y＝﹣（x﹣3）﹣3＝﹣x﹣，
令y＝﹣x﹣＝0，解得x＝﹣3，
故点C（﹣3，0）；
过点D作DH⊥CM于点H，

∵直线CM的表达式为y＝﹣x﹣，故tan∠MCD＝，则sin∠MCD＝，
则DH＝CDsin∠MCD＝（2+3）×＝，
由点D、M的坐标得，DM＝＝，
则sin∠HMD＝＝，
故∠HMD＝45°＝∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM＝45°，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
四．四边形综合题（共2小题）
6．（2021•枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形；证明见解答；
（2）AD2+BC2＝AB2+CD2；证明见解答；
（3）GE＝．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，

∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，
理由如下：
如图1中，

∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，

∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
7．（2023•枣庄）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF，GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB，AC，BC于点E，F，G，H．

猜想证明：（1）如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由；
问题解决：（2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB，BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
【答案】（1）四边形AEDG是菱形，理由见解答；
（2）四边形MKGA的面积是30．
【解答】解：（1）四边形AEDG是菱形，
理由：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD＝BC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由折叠得BF＝DF＝BD，CH＝DH＝CD，EF⊥BD，GH⊥CD，
∴EF∥GH∥AD，
∴＝＝1，＝＝1，
∴BE＝AE，CG＝AG，
∴DE＝AE＝AB，GD＝AG＝AC，
∵AB＝AC，
∴DE＝AE＝GD＝AG，
∴四边形AEDG是菱形．
（2）如图3，作KI⊥DH于点I，则∠KIH＝90°，
∵AB＝AC＝17，BC＝30，
∴BD＝CD＝BC＝×30＝15，
∴AD＝＝＝8，CH＝DH＝CD＝×15＝，
∴GH＝AD＝×8＝4，BH＝BC﹣CH＝30﹣＝，
由折叠得BN＝HN＝BH＝×＝，MN⊥BH，
∴MN∥AD，
∴△MBN∽△ABD，
∴＝＝＝，
∴MN＝AD＝×8＝6，
∵∠KHD＝∠B，∠KDH＝∠C，且∠B＝∠C，
∴∠KHD＝∠KDH，
∴KD＝KH，
∴DI＝HI＝DH＝×＝，
∵∠KHI＝∠B＝∠C，
∴＝tan∠KHI＝tanC＝＝，
∴KI＝HI＝×＝2，
∴S四边形MKGA＝A△ABC﹣S△MBH﹣S△GDC+S△KDH，
∴S四边形MKGA＝×30×8﹣××6﹣×15×4+××2＝30，
∴四边形MKGA的面积是30．

五．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

【答案】（1）见解析；
（2）cm．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6cm，
∴AC＝12cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即＝，
∴AD＝cm．
六．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．

【答案】（1）证明见解答．
（2）BC的长为2．
（3）阴影部分的面积为．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∵点C是的中点，
∴，
∴∠ABC＝∠EBC，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠EBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CE，
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接AC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠EBC，
∴△ACB∽△CEB，
∴，
∴，
∴．
答：BC的长为2．
（3）解：如图，连接OD、CD，

∵AB＝4，
∴OC＝OB＝2，
在Rt△BCE中，，
∴，
∴∠CBE＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠CDO＝∠AOC，
∴CD∥AB，
∴S△COD＝S△CBD，
∴．
答：阴影部分的面积为．
七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2022•枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？


【答案】（1）当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）当t的值为时，四边形QPCP′为菱形．
【解答】解：（1）如图①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝＝＝4（cm），
由题意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（4﹣t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图②，
AP＝tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，
∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，
∵四边形PECD为矩形，
∴PD＝EC＝（4﹣t）cm，
∴BD＝（4﹣t）cm，
∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，
在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（4﹣t）2，
在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PQ＝PC，
∴t2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∴t1＝，t2＝4（舍去）．
∴当t的值为时，四边形QPCP′为菱形．


八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2022•枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题
测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图

测量步骤
如图②
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；
（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）

【答案】约为17米．
【解答】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x（米），
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）（米），
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝，
∴OP≈1.5x＝1.5×≈17（米），
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．
九．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2023•枣庄）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 　20　名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 　2　名，“D烹饪与营养”的男生有 　1　名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；2；1；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），
所以本次调查中，一共调查了20名学生，
“C家用器具使用与维护”的女生数为25%×20﹣3＝2（名），
“D烹饪与营养”的男生数为20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名）；
故答案为：20；2；1；
（2）选择“D烹饪与营养”的人数所占的百分比为：×100%＝10%，
补全上面的条形统计图和扇形统计图为：

（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12，
所以所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．
13．（2021•枣庄）某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A，B，C，D四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是 　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 　24　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为 　150°　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【答案】（1）抽样调查，24；
（2）150°；
（3）．
【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查；
王老师所调查的4个班共征集到作品有4÷＝24（件），
B班级的件数有：24﹣4﹣10﹣4＝6（件），补全统计图如下：

故答案为：抽样调查，24；

（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角是：360°×＝150°；
故答案为：150°；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率＝＝．