山西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

这是一份山西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共17页。试卷主要包含了+|﹣2|；，阅读与思考，解方程等内容，欢迎下载使用。

山西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．解二元一次方程组（共1小题）
1．（2022•山西）（1）计算：（﹣3）2×3﹣1+（﹣5+2）+|﹣2|；
（2）解方程组：．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2022•山西）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是相应的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标（﹣，）和一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，分别分a＞0和a＜0两种情况进行分析：
（1）a＞0时，抛物线开口向上．
①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，有4ac﹣b2＜0．∵a＞0，∴顶点纵坐标＜0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，有4ac﹣b2＝0．∵a＞0，∴顶点纵坐标＝0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，
……
（2）a＜0时，抛物线开口向下．
……
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 　 　（从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论
D．转化思想
（2）请参照小论文中当a＞0时①②的分析过程，写出③中当a＞0，Δ＜0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 　 　．

三．一元二次方程的应用（共1小题）
3．（2021•山西）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

四．解分式方程（共1小题）
4．（2023•山西）解方程：．
五．分式方程的应用（共2小题）
5．（2022•山西）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．

6．（2021•山西）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．

六．解一元一次不等式（共1小题）
7．（2021•山西）（1）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步
4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步
4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步
﹣5x＞﹣10……第四步
x＞2……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 　 　（运算律）进行变形的；
②第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
七．矩形的性质（共1小题）
8．（2022•山西）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．

八．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2021•山西）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．

九．条形统计图（共1小题）
10．（2022•山西）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代•奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
调查主题
××中学学生读书情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项
您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
A.8小时及以上；
B.6～8小时；
C.4～6小时；
D.0～4小时．

第二项
您阅读的课外书的主要来源是（可多选）
E．自行购买；
F．从图书馆借阅；
G．免费数字阅读；
H．向他人借阅．

调查结论
……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．

山西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．解二元一次方程组（共1小题）
1．（2022•山西）（1）计算：（﹣3）2×3﹣1+（﹣5+2）+|﹣2|；
（2）解方程组：．
【答案】（1）2；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝9×+（﹣3）+2
＝3+（﹣3）+2
＝2；
（2）①+②得：3x＝9，
∴x＝3，
将x＝3代入②得：3+y＝6，
∴y＝3，
∴原方程组的解为．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2022•山西）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是相应的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标（﹣，）和一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，分别分a＞0和a＜0两种情况进行分析：
（1）a＞0时，抛物线开口向上．
①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，有4ac﹣b2＜0．∵a＞0，∴顶点纵坐标＜0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，有4ac﹣b2＝0．∵a＞0，∴顶点纵坐标＝0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，
……
（2）a＜0时，抛物线开口向下．
……
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 　AC　（从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论
D．转化思想
（2）请参照小论文中当a＞0时①②的分析过程，写出③中当a＞0，Δ＜0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 　可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）　．

【答案】（1）AC；
（2）见解答；
（3）可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）．
【解答】解：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是AC；
故答案为：AC；
（2）a＞0时，抛物线开口向上，
当Δ＝b2﹣4ac＜0时，有4ac﹣b2＞0．
∵a＞0，
∴顶点纵坐标＞0
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，如图，

∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）无实数根；
（3）可用函数观点认识二元一次方程组的解；
故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
3．（2021•山西）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），
依题意得：x（x+8）＝65，
整理得：x2+8x﹣65＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
四．解分式方程（共1小题）
4．（2023•山西）解方程：．
【答案】x＝．
【解答】解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），
∴原方程可化为：
2+2x﹣2＝3．
∴x＝．
检验：把x＝代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左边＝右边．
∴原方程的解为x＝．
五．分式方程的应用（共2小题）
5．（2022•山西）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．

【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，
根据题意，得，
解得x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
6．（2021•山西）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．
根据题意，得．
解得x＝25．
经检验，x＝25是原方程的解且符合实际．
答：走路线一到达太原机场需要25分钟．
六．解一元一次不等式（共1小题）
7．（2021•山西）（1）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步
4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步
4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步
﹣5x＞﹣10……第四步
x＞2……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 　乘法分配律　（运算律）进行变形的；
②第 　五　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变　；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2
＝1×8﹣8×
＝8﹣2
＝6；
（2），
2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步，
4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步，
4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步，
﹣5x＞﹣10……第四步，
x＞2……第五步，
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；
任务二：该不等式的正确解集是x＜2．
故答案为：乘法分配律；五，不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；x＜2．
七．矩形的性质（共1小题）
8．（2022•山西）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）见解答过程；
（2）AE＝CF，证明见解答过程．
【解答】解：（1）如图，

（2）AE＝CF，证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2021•山西）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．

【答案】153.1cm．
【解答】解：过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形，如图所示：

∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，
∴BP∥DG，
∴∠CBP＝∠BCD＝75°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，
在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin45°＝，
∴AP＝AB•sin45°＝100×＝50cm，
在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin75°＝，
∴BN＝BC•sin75°≈80×0.97＝77.6cm，
∴PM＝BN＝77.6cm，
∴AH＝AP+PM+MH＝5077.6+5≈153.1cm．
答：指示牌最高点A到地面EF的距离约为153.1cm．
九．条形统计图（共1小题）
10．（2022•山西）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代•奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
调查主题
××中学学生读书情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项
您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
A.8小时及以上；
B.6～8小时；
C.4～6小时；
D.0～4小时．

第二项
您阅读的课外书的主要来源是（可多选）
E．自行购买；
F．从图书馆借阅；
G．免费数字阅读；
H．向他人借阅．

调查结论
……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
【答案】（1）300，186；
（2）1152；
（3）答案不唯一，如：
由第一项可知：
阅读时间为“4～6小时”的人数最多，“0～4小时”的人数最少，
由第二项可知：
阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．
【解答】解：（1）∵平均每周阅读课外书的时间大约是0～4小时的人数为33人，占抽样学生人数的11%，
∴参与本次抽样调查的学生人数为：33÷11%＝300（人），
∵从图书馆借阅的人数占总数人的62%，
∴选择“从图书馆借阅”的人数为：300×62%＝186（人），
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
（2）∵平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为32%，
∴3600×32%＝1152（人），
答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数约为1152人；
（3）答案不唯一，如：
由第一项可知：
阅读时间为“4～6小时”的人数最多，“0～4小时”的人数最少，
由第二项可知：
阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．