四川省乐山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份四川省乐山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共28页。
四川省乐山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2023•乐山）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
​

三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•乐山）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．
（1）求b的值；
（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．
当0≤x≤2时，探究下列问题：
①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．
4．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

5．（2021•乐山）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
四．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝　 　．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．



五．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•乐山）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．
​（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；
（2）若sinE＝，⊙O的半径为3，求AD的长．

六．圆的综合题（共1小题）
8．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：　 　；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 　 　；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
​
七．解直角三角形（共1小题）
9．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．

八．列表法与树状图法（共1小题）
10．（2021•乐山）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
（1）求这组数据的平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．


四川省乐山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【答案】摩托车的速度为40千米/小时．
【解答】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，
依题意，得：﹣＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意．
答：摩托车的速度为40千米/小时．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2023•乐山）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
​

【答案】（1）m＝1，一次函数的解析式为y＝x+3；
（2）点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数 的图象上，
∴，
∴m＝1，
∴A（1，4），
又∵点A（1，4）、C（0，3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+3；
（2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，
∴OB＝3，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，
∵S△OBP＝2S△OAC，
∴，即，
解得PD＝2，
∴点P的纵坐标为2或﹣2，
将y＝2或﹣2代入 得x＝2或﹣2，
∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．

三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•乐山）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．
（1）求b的值；
（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．
当0≤x≤2时，探究下列问题：
①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．
【答案】（1）b＝0；
（2）①2≤m≤2+2；
②．
【解答】解：（1）由题可知：y1＝﹣+bx1，y2＝﹣+bx2，
∵当x1+x2＝0 时，总有 y1＝y2，
∴﹣+bx1＝﹣+bx2，
整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣4b）＝0，
∵x1≠x2，
∴x1﹣x2≠0，
∴x1+x2﹣4b＝0，
∴b＝0；
（2）①注意到抛物线 C2 最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移．
下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 C2 过点（0，0）时，如图1所示，

此时，x＝0，，解得m＝2或﹣2（舍）．
（i）当抛物线 C2 过点（2，﹣1）时，如图2所示，

此时，x＝2，
解得 或 （舍）．
综上所述，2≤m≤2+2；
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 C2 过点（0，﹣1）时，如图3所示，

此时，x＝0，，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 C2 过点（2，0）时，如图4所示，

此时，x＝2，，解得 m＝4 或0（舍）．
综上所述，．
如图5，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上，

，解得 xA＝m﹣2，xB＝m+2，
∴HB＝m+2﹣m＝2，
∵FB＝FC．
∴FH2+HB2＝FG2+GC2，
设FH＝t，
∴t2+22＝（﹣1﹣t）2+m2，
∴（﹣1）2﹣2（﹣1）t+m2﹣4＝0，
∴（﹣1）（﹣2t+3）＝0，
∵m≥2，
∴﹣1≠0，
∴，即 ，
∵
∴，即＜FH≤，
∵EF＝FH+1，
∴．
4．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；
（2）P（1+，）或（1﹣，﹣）；
（3）．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵∠AOC＝90°，
∴tan∠OAC＝＝2，
∴OC＝2OA＝2，
∴点C（0，﹣2），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）•（x﹣2），
∴a•1×（﹣2）＝﹣2，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣2）＝x2﹣x﹣2；
（2）（方法一）如图①，

作DF∥BC，
∵抛物线的对称轴为直线y＝，CD∥x轴，C（0，﹣2），
∴点D（1，﹣2），DF的解析式为：y＝x﹣3，
由x2﹣x﹣2＝x﹣3得，
x2﹣2x+1＝0，
∴x1＝x2＝1，
∴DF与抛物线只有一个公共点，
延长DC至E使CE＝CD＝1，作EP1∥BC，交抛物线于P1，P2，
∴E（﹣1，﹣2），
∴EP1的解析式为y＝x﹣1，
由x2﹣x﹣2＝x﹣1得，
x＝1，
当x＝1﹣时，y＝（1﹣）2﹣（1﹣）﹣2＝﹣，
当x＝1+时，y＝（1+）2﹣（1+﹣2＝，
∴P（1+，）或（1﹣，﹣）；
（方法二）如图2，

当点P在直线BC的上方时，
过点P作PQ∥y轴，叫BC的延长线于点Q，
设点P（m，m2﹣m﹣2），则点Q（m，m﹣2），
∵S△PBC＝S△BPQ﹣S△CPQ＝PQ•OB＝＝PQ，
S△BCD＝1，
∴PQ＝1，
∴m2﹣2m＝1，
∴m＝1，
∴P（1+，）或（1﹣，﹣），
当点P在BC的下方时，
同理得出PQ＝1，
∴﹣m2+2m＝1，
∴m＝1，
此时点P和点D重合，故舍去，
∴P（1+，）或（1﹣，﹣）；
（3）如图3，

作PN⊥AB于N，交BC于M，
∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），
∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴＝＝﹣+，
∴当t＝1时，（）最大＝．
5．（2021•乐山）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）b＝﹣2a﹣1（a＞0）．
（2）a＝．
（3）≤a≤．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，﹣），
∴，
∴b＝﹣2a﹣1（a＞0）．

（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+，a＞0，在1≤x≤3时，y的最大值为1，
∴x＝1时，y＝1或x＝3时，y＝1，
∴1＝a﹣（2a+1）+或1＝9a﹣3（2a+1）+，
解得a＝﹣（舍弃）或a＝．
∴a＝．

（3）∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，
∴A′（2，），B′（4，﹣），
∴直线A′B′的解析式为y＝﹣x+，
∵抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x++4a在2≤x≤4的范围内仅有一个交点，
∴即方程ax2﹣（2a+1）x++4a＝﹣x+在2≤x≤4的范围内仅有一个根，
整理得ax2﹣2ax+4a﹣3＝0在2≤x≤4的范围内只有一个解，
即抛物线y＝ax2﹣2ax+4a﹣3在2≤x≤4的范围内与x轴只有一个交点，

观察图象可知，x＝2时，y≤0，x＝4时，y≥0，
∴，
解得，≤a≤，
∴≤a≤．
当方程ax2﹣（2a+1）x++4a＝﹣x+有等根时，Δ＝0，
∴ax2﹣2ax+4a﹣3＝0，
∴4a2﹣4a（4a﹣3）＝0，
解得a＝1或0（舍弃），
当a＝1时，交点的横坐标为1，不符合题意，舍弃．
∴≤a≤．
四．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝　　．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．



【答案】（1）结论：＝1．证明见解析部分；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）结论：＝1．
理由：如图（1）中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，

∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴＝1；

（2）如图（2）中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，

∴AM＝HF，AN＝EG，
在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
∴＝，
∵AB＝m，BC＝AD＝n，
∴＝．
故答案为：；

（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．

∵CM⊥AB，
∴∠CME＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵CE⊥BF，
∴∠BOE＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△CME∽△BAF，
∴＝，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴＝＝sin60°＝．
五．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•乐山）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．
​（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；
（2）若sinE＝，⊙O的半径为3，求AD的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）AD的长是．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠B，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠B，
∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O是的切线．
（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，
∵∠E＝∠CAE＝∠B，
∴＝sinB＝sinE＝＝，
∵OA＝OB＝3，
∴AB＝6，
∴CE＝CA＝AB＝×6＝4，
∴CF＝CE＝×4＝，
∴AF＝BF＝＝＝，
∴AD＝AE＝2AF＝2×＝，
∴AD的长是．

六．圆的综合题（共1小题）
8．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：　旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等　；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 　cm　；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
​
【答案】【问题解决】
（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①作图见解答过程；
②cm；
【问题拓展】
两个纸板重叠部分的面积是cm2．
【解答】解：【问题解决】
（1）根据题意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，
故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①如图：

作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；
②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，
∴△BOB'是等腰直角三角形，
∵BB'＝6，
∴OB＝＝3，
∵＝（cm），
∴点B经过的路径长为cm，
故答案为：cm；
【问题拓展】
连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，如图：

∵点P为中点，
∴∠PAB＝，
由旋转得∠PA'B'＝30°，PA＝PA′＝4，
在Rt△PAM中，PM＝PA•sin∠PAM＝4×sin30°＝2，
∴A'M＝PA'﹣PM＝4﹣2＝2，
在Rt△A′DM中，
A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，
∴S△A'DP＝××4＝；
S扇形PA'B'＝＝，
下面证明阴影部分关于PD对称：
∵∠PAC＝∠PA'B'＝30°，∠ADN＝∠A'DM，
∴∠AND＝∠A'MD＝90°，
∴∠PNA'＝90°，
∴PN＝PA'＝2，
∴AN＝PA﹣PN＝2，
∴AN＝A′M，
∴△AND≌△A'MD（AAS），
∴AD＝A′D，
∴CD＝B'D，
∵PD＝PD，PB'＝PC，
∴△PB′D≌△PCD（SSS），
∴阴影部分面积被PD等分，
∴S阴影＝2（S扇形PA'B'﹣S△A'DP）＝2（﹣）＝（cm2）．
∴两个纸板重叠部分的面积是cm2．
七．解直角三角形（共1小题）
9．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．

【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵线段AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDG＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CDG＝∠DAF，
∵＝，
∴∠DAF＝∠DCG，
∴∠CDG＝∠DCG，
∴CG＝DG；
（2）连接OD，交CE于H，

∵＝，
∴OD⊥EC，
∵sin∠ACE＝＝，
∵BC＝4，OD＝OC＝6，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠COH＝∠BOD，
∴△COH∽△BOD，
∴∠BDO＝∠CHO＝90°，
∴OD⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线．
八．列表法与树状图法（共1小题）
10．（2021•乐山）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
（1）求这组数据的平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．

【答案】（1）20.5元，20元；
（2）3150元；
（3）．
【解答】解：（1）这组数据的平均数＝＝20.5（元），
其中20元出现的次数最多，
∴这组数据的众数为20元；
（2）调查的20人中，身上的零花钱多于15元的有12人，
估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：1000××20×20%+1000××25×20%+1000××30×20%+1000××40×20%＝3150（元）；
（3）把捐款最多的两人记为A、B，另一个学校选出的两人记为C、D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，
∴两人来自不同学校的概率为＝．