02双曲线的性质-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编

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02双曲线的性质-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编
一．选择题（共6小题）
1．（2023•顺义区一模）若双曲线的离心率为e，则e的取值范围是（　　）
A．（1，2） B． C． D．（2，+∞）
2．（2023•通州区一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点坐标为（　　）
A．（0，±2） B．（±2，0） C． D．
3．（2023•门头沟区一模）双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±2x
4．（2023•西城区一模）已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023•朝阳区一模）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．或2
6．（2023•石景山区一模）已知双曲线的离心率是2，则b＝（　　）
A．12 B． C． D．
二．填空题（共6小题）
7．（2023•平谷区一模）已知双曲线的离心率为2，则实数m＝　 　．
8．（2023•延庆区一模）若双曲线kx2+y2＝1的焦距是6，则实数k＝　 　．
9．（2023•海淀区一模）已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为　 　．
10．（2023•东城区一模）已知双曲线的一个焦点为，且与直线y＝±2x没有公共点，则双曲线的方程可以为 　 　．
11．（2023•房山区一模）已知双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为　 　．
12．（2023•丰台区一模）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300～350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则．
①双曲线H的离心率为 　 　；
②若∠ACB＝，，CE交AB于点P，则|OP|＝　 　．


02双曲线的性质-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2023•顺义区一模）若双曲线的离心率为e，则e的取值范围是（　　）
A．（1，2） B． C． D．（2，+∞）
【答案】C
【解答】解：∵a＞b＞0，
∴e＝＝＜＝，
又e＞1，
∴e∈（1，），
故选：C．
2．（2023•通州区一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点坐标为（　　）
A．（0，±2） B．（±2，0） C． D．
【答案】B
【解答】解：令，解得双曲线渐近线为，
即，，
由此可得双曲线焦点坐标为（±2，0）．
故选：B．
3．（2023•门头沟区一模）双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±2x
【答案】C
【解答】解：已知双曲线的离心率为2，
则，
即b2＝3a2，
即，
则其渐近线方程为＝．
故选：C．
4．（2023•西城区一模）已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】见试题解答内容
【解答】解：若双曲线C的离心率为2，则，
∴，若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为；
若双曲线C的焦点在y轴上，则渐近线方程为y＝±＝±x；
∴“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为”的充分条件；
反之，双曲线C的一条渐近线为，
若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为，则，此时离心率；
若双曲线C的焦点在y轴上，则渐近线方程为，则，此时离心率，
∴“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为”的必要条件；
综上所述，“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5．（2023•朝阳区一模）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．或2
【答案】B
【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，则，
所以，
故选：B．
6．（2023•石景山区一模）已知双曲线的离心率是2，则b＝（　　）
A．12 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意可得e＝＝＝2，（b＞0），
∴b＝，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
7．（2023•平谷区一模）已知双曲线的离心率为2，则实数m＝　﹣9　．
【答案】﹣9．
【解答】解：∵表示双曲线，∴m＜0，
则a＝，b＝，c＝，
∴，解得m＝﹣9．
故答案为：﹣9．
8．（2023•延庆区一模）若双曲线kx2+y2＝1的焦距是6，则实数k＝　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：由kx2+y2＝1，得，
∴双曲线的焦点在y轴上，且（k＜0），
∴，
由题意，2c＝2＝6，解得k＝．
故答案为：﹣．
9．（2023•海淀区一模）已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，∵双曲线的渐近线方程为，
∴
∴＝4
∴e＝2
故答案为：2
10．（2023•东城区一模）已知双曲线的一个焦点为，且与直线y＝±2x没有公共点，则双曲线的方程可以为 　x2﹣＝1（答案不唯一）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得c＝，且双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∵双曲线与直线y＝±2x没有公共点，
∴取直线y＝±2x为渐近线，则＝2，
又c2＝a2+b2，则a2＝1，b2＝4，
∴双曲线的方程可以是x2﹣＝1．
故答案为：x2﹣＝1（答案不唯一）．
11．（2023•房山区一模）已知双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，可得＝，即，解得e＝2．
故答案为：2．
12．（2023•丰台区一模）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300～350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则．
①双曲线H的离心率为 　2　；
②若∠ACB＝，，CE交AB于点P，则|OP|＝　　．

【答案】2； ．
【解答】解：①由题可得|OA|＝a，|OB|＝c，所以c＝2a，
所以双曲线H的离心率为；
②因为，且，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
因为，解得，
所以，
故答案为：2； ．
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