04离散型随机变量的期望与方差-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编

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04离散型随机变量的期望与方差-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编
一．解答题（共12小题）
1．（2023•平谷区一模）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011﹣2020年的植树成活率（%）统计如表：（表中“/”表示该年末植树）：

2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
甲
95.5
92
96.5
91.6
96.3
94.6
/
/
/
/
乙
95.1
91.6
93.2
97.8
95.6
92.3
96.6
/
/
/
丙
97.0
95.4
98.2
93.5
94.8
95.5
94.5
93.5
98.0
92.5
规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．
（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；
（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X表示这3年中优质工程的个数，求X的分布列；
（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？
2．（2023•顺义区一模）为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
康复时间
只服用药物A
只服用药物B
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
（1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
（2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：
（3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“P100（k）”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中k＝0，1，2，⋯，100．当P100（k）最大时，写出k的值．（只需写出结论）
3．（2023•通州区一模）某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：
营业情况分行业
营业收入单位（亿元）
营业成本单位（亿元）
分行业1
41
38
分行业2
12
9
分行业3
8
2
分行业4
6
5
分行业5
3
2
分行业6
2
1
分行业7
0.8
0.4
（一般地，行业收益率＝．）
（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；
（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望；
（3）设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
4．（2023•延庆区一模）某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0～500元；500～1000元；1000～1500元；1500～2000元四个档次，针对A，B两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：
档次
人群
0～
500元
500～
1000元
1000～
1500元
1500～
2000元
A类
20
50
20
10
B类
50
30
10
10
月均服装消费额低于1000元的人群视为中低消费人群，不低于1000元的人群视为中高消费人群．
（Ⅰ）从A类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；
（Ⅱ）从A，B两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；
（Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计A，B两类人群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）．
5．（2023•海淀区一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如图：
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响．
（Ⅰ）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；
（Ⅱ）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望E（X）；
（Ⅲ）从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记ξ1为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，ξ2为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差D（ξ1）与D（ξ2）的大小．（结论不要求证明）

6．（2023•门头沟区一模）周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：

父亲
母亲
弟弟
比赛的次数
50
60
40
李梦获胜的次数
10
30
32
以上表中的频率作为概率，求解下列问题．
（Ⅰ）如果按照第一场与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛．
（i）求李梦连胜三场的概率；
（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；
（Ⅱ）记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大（不必计算）？如果无关，请给出简要说明．
7．（2023•东城区一模）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀．两位同学的测试成绩如表：
次数
同学
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
80
78
82
86
95
93
﹣
乙
76
81
80
85
89
96
94
（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；
（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望E（X）；
（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望E（Y）与（2）中E（X）的大小．（结论不要求证明）
8．（2023•西城区一模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级
高三男生
高三女生
优秀
260及以上
194及以上
良好
245～259
180～193
及格
205～244
150～179
不及格
204及以下
149及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：
男生：
180
205
213
220
235
245
250
258
261
270
275
280
女生：
148
160
162
169
172
184
195
196
196
197
208
220
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B．判断A与B是否相互独立．（结论不要求证明）
9．（2023•朝阳区一模）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立．
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
​（Ⅰ）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p0；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p1；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p2，试比较p0与的大小．（结论不要求证明）
10．（2023•房山区一模）某社区组织了一次公益讲座．向社区居民普及垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民．让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷．这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如表：
编号
准确率
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
讲座前
65%
60%
70%
100%
65%
75%
90%
85%
80%
60%
讲座后
90%
85%
80%
95%
85%
85%
95%
100%
85%
90%
（1）从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份．求这份答卷正确率低于80%的概率；
（2）从正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数．求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）判断此次公益讲座的宣传效果．并说明你的理由．
11．（2023•石景山区一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组．观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如表．
株高增量（单位：厘米）
（4，7]
（7，10]
（10，13]
（13，16]
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．
（Ⅰ）从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，估计株高增量为（7，10]厘米的概率；
（Ⅱ）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为（7，10]厘米，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）用“ξk＝1”表示第k组鸡冠花的株高增量为（4，10]，“ξk＝0”表示第k组鸡冠花的株高增量为（10，16]厘米，k＝1，2，3，直接写出方差D（ξ1），D（ξ2），D（ξ3）的大小关系．（结论不要求证明）
12．（2023•丰台区一模）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：TPI＝，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI
[1，1.5）
[1.5，2）
[2，4）
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如图：

（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望E（X）；
（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为a1，a2，⋯，a7，将2022年同期TPI依次记为b1，b2，⋯，b7，记ci＝ai﹣bi（i＝1，2，⋯，7），．请直接写出|取得最大值时i的值．

04离散型随机变量的期望与方差-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编
参考答案与试题解析
一．解答题（共12小题）
1．（2023•平谷区一模）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011﹣2020年的植树成活率（%）统计如表：（表中“/”表示该年末植树）：

2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
甲
95.5
92
96.5
91.6
96.3
94.6
/
/
/
/
乙
95.1
91.6
93.2
97.8
95.6
92.3
96.6
/
/
/
丙
97.0
95.4
98.2
93.5
94.8
95.5
94.5
93.5
98.0
92.5
规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．
（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；
（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X表示这3年中优质工程的个数，求X的分布列；
（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？
【答案】（1）；
（2）分布列见解析；
（3）不能，理由见解析．
【解答】解：（1）乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，
从乙林场植树的年份中任抽取两年，这两年都是优质工程为事件A，
所以．
（2）甲林场植树共6年，其中优质工程有3年，
乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，
丙林场植树共10年，其中优质工程有5年，
则X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




（3）不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小．
因为乙、丙两个林场优质工程概率分别为，且．
则设乙、丙林场植树成活率平均数分别为，，，
所以乙、丙这两个林场植树成活率平均数分别为：94.6，95.29，且丙林场植树成活率大于乙林场植树成活率，
所以不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小．
2．（2023•顺义区一模）为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
康复时间
只服用药物A
只服用药物B
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
（1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
（2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：
（3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“P100（k）”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中k＝0，1，2，⋯，100．当P100（k）最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】（1）；
（2）分布列见解答，E（X）＝1；
（3）k＝2．
【解答】解：（1）只服用药物A的人数为360+228+12＝600人，且能在14天内康复的人数有360+228＝588人，
故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为＝．
（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为＝，
只服用药物B的患者7天内康复的概率为＝，
其中X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝（1﹣）×（1﹣）＝，
P（X＝1）＝×（1﹣）+（1﹣）×＝，
P（X＝2）＝×＝，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P



E（X）＝0×+1×+2×＝1．
（3）只服用药物A的患者，14天内未康复的概率为＝，
P100（k）＝，k＝0，1，2，⋯，100，
令，即，
解得≤k≤，因为k∈N，所以k＝2．
3．（2023•通州区一模）某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：
营业情况分行业
营业收入单位（亿元）
营业成本单位（亿元）
分行业1
41
38
分行业2
12
9
分行业3
8
2
分行业4
6
5
分行业5
3
2
分行业6
2
1
分行业7
0.8
0.4
（一般地，行业收益率＝．）
（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；
（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望；
（3）设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）；
（2）X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P




E（X）＝；
（3）．
【解答】解：（1）分行业1行业收益率：，
分行业2行业收益率：，
分行业3行业收益率：，
分行业4行业收益率：，
分行业5行业收益率：，
分行业6行业收益率：，
分行业7行业收益率：，
行业收益率不低于50%的有4个行业，
故任选一个分行业，行业收益率不低于50%的概率为．
（2）有（1）可知收益率高于50%的行业有3个，收益率不高于50%的行业有4个，
所以X的取值有0、1、2、3，
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P




所以E（X）＝0×＝；
（3）7个分行业营业收入的平均值为：，

，7个分行业营业成本的平均值为：，

，故．
4．（2023•延庆区一模）某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0～500元；500～1000元；1000～1500元；1500～2000元四个档次，针对A，B两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：
档次
人群
0～
500元
500～
1000元
1000～
1500元
1500～
2000元
A类
20
50
20
10
B类
50
30
10
10
月均服装消费额低于1000元的人群视为中低消费人群，不低于1000元的人群视为中高消费人群．
（Ⅰ）从A类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；
（Ⅱ）从A，B两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；
（Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计A，B两类人群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）．
【答案】（Ⅰ）0.7；（Ⅱ）0.78；（Ⅲ）B的方差比较大．
【解答】解：（I）设此人属于中低消费人群为事件M，
则＝0.7；
（Ⅱ）设甲的消费档次不低于乙的消费档次为事件N，
则＝＝0.78；
（Ⅲ）由统计表分析可得B类分布较为分散，则B的方差比较大．
5．（2023•海淀区一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如图：
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响．
（Ⅰ）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；
（Ⅱ）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望E（X）；
（Ⅲ）从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记ξ1为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，ξ2为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差D（ξ1）与D（ξ2）的大小．（结论不要求证明）

【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）1；
（Ⅲ）D（ξ1）＝D（ξ2）．
【解答】解：（Ⅰ）设C事件为“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20“，
又在A组10户中超过20次的有3户，
∴由样本估计总体可得所求概率为P（C）＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，
则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，
同理：从二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，
则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，
∴X＝0，1，2，又P（X＝0）＝（1﹣）×（1﹣）＝，
P（X＝1）＝×（1﹣）+（1﹣）×＝，
P（X＝2）＝＝，
∴E（X）＝＝1；
（Ⅲ）根据题意可得ξ1，ξ2的取值可能为0，1，2，且得ξ1，ξ2服从超几何分布，
又P（ξ1＝0）＝＝，P（ξ1＝1）＝＝，P（ξ1＝2）＝＝，
P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ1＝1）＝＝，P（ξ1＝0）＝＝，
∴E（ξ1）＝＝，E（ξ2）＝＝，
∴D（ξ1）＝＝，
D（ξ2）＝＝，
∴D（ξ1）＝D（ξ2）．
6．（2023•门头沟区一模）周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：

父亲
母亲
弟弟
比赛的次数
50
60
40
李梦获胜的次数
10
30
32
以上表中的频率作为概率，求解下列问题．
（Ⅰ）如果按照第一场与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛．
（i）求李梦连胜三场的概率；
（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；
（Ⅱ）记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大（不必计算）？如果无关，请给出简要说明．
【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）分布列见解析；期望为；
（Ⅱ）有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈时p最大．
【解答】解：（Ⅰ）（i）李梦与爸爸比赛获胜概率为；
与妈妈比赛获胜概率为；
与弟弟比赛获胜概率为；
则李梦连胜三场的概率为；
（ii）X的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
故分布列为
X
0
1
2
3
P




．
（Ⅱ）若出场顺序为爸爸妈妈弟弟：；
若出场顺序为爸爸弟弟妈妈：；
若出场顺序为妈妈爸爸弟弟：；
若出场顺序为妈妈弟弟爸爸：；
若出场顺序为弟弟妈妈爸爸：；
若出场顺序为弟弟爸爸妈妈：；
故与出场的顺序有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈概率p最大．
7．（2023•东城区一模）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀．两位同学的测试成绩如表：
次数
同学
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
80
78
82
86
95
93
﹣
乙
76
81
80
85
89
96
94
（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；
（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望E（X）；
（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望E（Y）与（2）中E（X）的大小．（结论不要求证明）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，
测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得，
所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次测试成绩超过90分的概率；
（2）由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数X的可能取值为1，2，3，
则；；，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P



所以．
（3）由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数Y的可能取值为0，1，2，3，
则；；
；，
所以Y的分布列为：
Y
0
1
2
3
P




所以，E（X）＞E（Y）．
8．（2023•西城区一模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级
高三男生
高三女生
优秀
260及以上
194及以上
良好
245～259
180～193
及格
205～244
150～179
不及格
204及以下
149及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：
男生：
180
205
213
220
235
245
250
258
261
270
275
280
女生：
148
160
162
169
172
184
195
196
196
197
208
220
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B．判断A与B是否相互独立．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）；（Ⅲ）A与B相互独立．
【解答】解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
（Ⅱ）由题设，X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝，
P（X＝1）＝+＝，
P（X＝2）＝+（）2×＝，
P（X＝3）＝＝，
E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
（Ⅲ）P（A）＝＝，
P（B）＝+×＝，
P（AB）＝＝，
P（AB）＝P（A）P（B），所以A与B相互独立．
9．（2023•朝阳区一模）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立．
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
​（Ⅰ）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p0；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p1；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p2，试比较p0与的大小．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）X的分布列为：
X
0
1
2
P



E（X）＝；
（Ⅲ）p0＞．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，
则P（A）＝＝．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，
事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”，
由题设知，事件B，C相互独立，
且P（B）＝，P（C）＝，
所以P（X＝0）＝（1﹣）×（1﹣）＝，
P（X＝1）＝+（1﹣）×＝，
P（X＝2）＝，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



故X的数学期望E（X）＝0×．
（Ⅲ）p0＞，理由：根据频率估计概率得
p0＝，由（Ⅱ）知p1＝，p2＝，
故＝，
则p0＞．
10．（2023•房山区一模）某社区组织了一次公益讲座．向社区居民普及垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民．让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷．这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如表：
编号
准确率
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
讲座前
65%
60%
70%
100%
65%
75%
90%
85%
80%
60%
讲座后
90%
85%
80%
95%
85%
85%
95%
100%
85%
90%
（1）从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份．求这份答卷正确率低于80%的概率；
（2）从正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数．求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）判断此次公益讲座的宣传效果．并说明你的理由．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，数学期望为；
（3）答案见解析．
【解答】解：（1）共10份书卷，准确率低于80%有6份，∴所求概率为；
（2）正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，
∴X＝0，1，2，又；；，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P



∴；
（3）此次公益讲座的宣传效果很好，理由如下：
讲座前的平均准确率为：，
讲座后的平均准确率为：，
平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好．
11．（2023•石景山区一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组．观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如表．
株高增量（单位：厘米）
（4，7]
（7，10]
（10，13]
（13，16]
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．
（Ⅰ）从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，估计株高增量为（7，10]厘米的概率；
（Ⅱ）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为（7，10]厘米，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）用“ξk＝1”表示第k组鸡冠花的株高增量为（4，10]，“ξk＝0”表示第k组鸡冠花的株高增量为（10，16]厘米，k＝1，2，3，直接写出方差D（ξ1），D（ξ2），D（ξ3）的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）分布列见解析，；
（Ⅲ）D（ξ1）＜D（ξ3）＜D（ξ2）．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为（7，10]厘米”，
根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为（7，10]厘米，
所以P（A）估计为．
（Ⅱ）设事件B为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为（7，10]厘米”，
设事件C为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为（7，10]厘米”，
根据题中数据，P（B）估计为，P（C）估计为，
根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.3，且
＝；
＝＝；
＝＝；
，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




所以E（X）＝．
（Ⅲ）D（ξ1）＜D（ξ3）＜D（ξ2），
理由如下：
，所以，；
同理可得，
所以D（ξ1）＜D（ξ3）＜D（ξ2）．
12．（2023•丰台区一模）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：TPI＝，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI
[1，1.5）
[1.5，2）
[2，4）
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如图：

（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望E（X）；
（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为a1，a2，⋯，a7，将2022年同期TPI依次记为b1，b2，⋯，b7，记ci＝ai﹣bi（i＝1，2，⋯，7），．请直接写出|取得最大值时i的值．
【答案】（1）；
（2）答案见解析；
（3）i＝6．
【解答】解：（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，
所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为；
（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，
所以，，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



数学期望；
（3）由题意，c1＝a1﹣b1＝1.908﹣2.055＝﹣0.147，c2＝a2﹣b2＝2.081﹣2.393＝﹣0.312，c3＝a3﹣b3＝1.331﹣1.529＝﹣0.198，c4＝a4﹣b4＝1.202﹣1.302＝﹣0.1，c5＝a5﹣b5＝1.271﹣1.642＝﹣0.371，c6＝a6﹣b6＝2.256﹣1.837＝0.419，c7＝a7﹣b7＝2.012﹣1.755＝0.257，
所以，
所以取得最大值时，i＝6．