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    06直线与椭圆综合-北京市各地区2023年高考数学模拟(一模)高考考点试题汇编

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    06直线与椭圆综合-北京市各地区2023年高考数学模拟(一模)高考考点试题汇编

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    这是一份06直线与椭圆综合-北京市各地区2023年高考数学模拟(一模)高考考点试题汇编,共21页。试卷主要包含了,离心率为,,离心率e=,,且离心率为,已知椭圆C,,焦距为2等内容,欢迎下载使用。
    06直线与椭圆综合-北京市各地区2023年高考数学模拟(一模)高考考点试题汇编
    一.解答题(共12小题)
    1.(2023•通州区一模)已知椭圆C:(a>b>0)过点A(2,1),离心率为.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)设点A关于y轴的对称点为B,直线l与OA平行,且与椭圆C相交于M,N两点,直线AM,AN分别与y轴交于P,Q两点.求证:四边形APBQ为菱形.
    2.(2023•延庆区一模)已知椭圆经过点C(0,1),离心率为,M与x轴交于两点A(a,0),B(﹣a,0),过点C的直线l与M交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
    (Ⅰ)求椭圆M的方程;
    (Ⅱ)设O为原点,当点P异于点B时,求证:为定值.
    3.(2023•海淀区一模)已知椭圆的左、右顶点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B1,B2,|B1B2|=2,四边形A1B1A2B2的周长为.
    (Ⅰ)求椭圆E的方程;
    (Ⅱ)设斜率为k的直线l与x轴交于点P,与椭圆E交于不同的两点M,N,点M关于y轴的对称点为M’,直线M’N与y轴交于点Q,若△OPQ的面积为2,求k的值.
    4.(2023•门头沟区一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴的左端点为A(﹣2,0).
    (Ⅰ)求C的方程;
    (Ⅱ)过椭圆c的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M,N两点,且AM,AN与直线x=4,分别相交于D,E两点,求证:以DE为直径的圆恒过x轴上定点,并求出定点.
    5.(2023•东城区一模)已知椭圆E:=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率e=.
    (Ⅰ)求椭圆E的方程;
    (Ⅱ)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.
    设椭圆的左顶点为D,求的值.
    6.(2023•西城区一模)已知椭圆C:x2+2y2=2,点A,B在椭圆C上,且OA⊥OB(O为原点).设AB的中点为M,射线OM交椭圆C于点N.
    (Ⅰ)当直线AB与x轴垂直时,求直线AB的方程;
    (Ⅱ)求的取值范围.
    7.(2023•朝阳区一模)已知椭圆E:=1(0<n<4)经过点(,1).
    (Ⅰ)求椭圆E的方程及离心率;
    (Ⅱ)设椭圆E的左顶点为A,直线l:x=my+1与E相交于M,N两点,直线AM与直线x=4相交于点Q.问:直线NQ是否经过x轴上的定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,说明理由.
    8.(2023•河西区二模)已知椭圆过点B(0,1),且离心率为.
    (1)求椭圆E的标准方程;
    (2)若直线l与椭圆E相切,过点M(1,0)作直线l的垂线,垂足为N,O为坐标原点,证明:|ON|为定值.
    9.(2023•宜春模拟)已知椭圆C:过点,且离心率为.
    (Ⅰ)求椭圆C的方程;
    (Ⅱ)过点P(﹣1,1)且互相垂直的直线l1,l2分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.求的取值范围.
    10.(2023•丰台区一模)已知椭圆的一个顶点为A(0,1),焦距为2.
    (1)求椭圆E的方程;
    (2)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于B,C两点,过点B,C分别作直线l:x=t的垂线(点B,C在直线l的两侧).垂足分别为M,N,记△BMP,△MNP,△CNP的面积分别为S1,S2,S3,试问:是否存在常数t,使得S1,,S3总成等比数列?若存在,求出t的值.若不存在,请说明理由.
    11.(2023•平谷区一模)已知椭圆经过两点,设过点P(﹣2,1)的直线椭圆交E于M,N两点,过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T,点H满足.
    (1)求椭圆E的方程:
    (2)证明:直线HN过定点.
    12.(2023•顺义区一模)已知椭圆经过点,离心率为.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)设直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点,O为坐标原点.若以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积是定值.

    06直线与椭圆综合-北京市各地区2023年高考数学模拟(一模)高考考点试题汇编
    参考答案与试题解析
    一.解答题(共12小题)
    1.(2023•通州区一模)已知椭圆C:(a>b>0)过点A(2,1),离心率为.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)设点A关于y轴的对称点为B,直线l与OA平行,且与椭圆C相交于M,N两点,直线AM,AN分别与y轴交于P,Q两点.求证:四边形APBQ为菱形.
    【答案】(1);
    (2)证明见解析.
    【解答】解:(1)由题意可知,解得,
    所以椭圆C的标准方程为;
    证明:(2)点A(2,1)关于y轴的对称点为点B的坐标为(﹣2,1),
    直线OA的斜率为,
    因为直线l与OA平行,设直线l的方程为,
    由得x2+2tx+2t2﹣4=0,
    由Δ=4t2﹣4(2t2﹣4)=16﹣4t2>0,得﹣2<t<2,且t≠0,
    设M(x1,y1),N(x2,y2),则,
    直线AM的方程为,
    令x=0,得P点的纵坐标为.
    同理可得Q点的纵坐标为.
    =,
    所以线段PQ中点坐标为(0,1).
    又线段AB中点坐标也为(0,1),
    所以线段AB,PQ垂直且平分,
    所以四边形APBQ为菱形.

    2.(2023•延庆区一模)已知椭圆经过点C(0,1),离心率为,M与x轴交于两点A(a,0),B(﹣a,0),过点C的直线l与M交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
    (Ⅰ)求椭圆M的方程;
    (Ⅱ)设O为原点,当点P异于点B时,求证:为定值.
    【答案】(Ⅰ)+y2=1.
    (Ⅱ)证明见解答.
    【解答】解:(Ⅰ)由已知得b=1,=,由a2=c2+b2=c2+1,
    解得a=,
    故椭圆方程为+y2=1.
    (Ⅱ)证明:当直线l与x轴垂直时,D(0,﹣1),此时kAC=kBD=﹣,AC∥BD,不符合题意.
    当直线斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).代入椭圆方程得(2k2+1)x2+4kx=0.
    解得x1=0,x2=,代入直线l的方程得y1=1,y2=kx2+1=k×+1=,
    所以D点的坐标为(,).kBD===,
    直线BD的方程为y=(x+),
    kAC=﹣=﹣,直线AC的方程为y=﹣x+1,
    联立直线AC,BD的方程,得x=﹣2k,y=k+1,
    因此Q(﹣2k,k+1),又P(﹣,0).
    所以=(﹣,0)•(﹣2k,k+1)=2.
    故为定值.
    3.(2023•海淀区一模)已知椭圆的左、右顶点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B1,B2,|B1B2|=2,四边形A1B1A2B2的周长为.
    (Ⅰ)求椭圆E的方程;
    (Ⅱ)设斜率为k的直线l与x轴交于点P,与椭圆E交于不同的两点M,N,点M关于y轴的对称点为M’,直线M’N与y轴交于点Q,若△OPQ的面积为2,求k的值.
    【答案】(Ⅰ)+y2=1;
    (Ⅱ)±.
    【解答】解:(Ⅰ)依题意可得,解得,
    ∴椭圆E的方程为+y2=1;
    (Ⅱ)依题意,可设直线l的方程为y=kx+m(km≠0),
    M(x1,y1),N(x2,y2),
    联立方程,可得(5k2+1)x2+10kmx+5m2﹣5=0,
    Δ=(10km)2﹣4(5k2+1)(5m2﹣5)=100k2﹣20m2+20>0,即5k2>m2﹣1,
    ∴x1+x2=﹣,x1x2=,
    在直线l的方程中,令y=0,得x=﹣,得P(﹣,0),
    依题意得M′(﹣x1,y1),得直线M′N的方程为y=(x+x1)+y1,
    令x=0,得yQ=,
    ∴S△OPQ=|xP|•|yQ|=||•||,
    ∴x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)=2kx1x2+m(x1+x2)=2k×﹣m×=,
    ∴S△OPQ=||•||=2,解得k=±.
    ∴k的值为±.
    4.(2023•门头沟区一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴的左端点为A(﹣2,0).
    (Ⅰ)求C的方程;
    (Ⅱ)过椭圆c的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M,N两点,且AM,AN与直线x=4,分别相交于D,E两点,求证:以DE为直径的圆恒过x轴上定点,并求出定点.
    【答案】(Ⅰ);
    (Ⅱ)证明见解析,定点分别为(1,0)(7,0).
    【解答】解:(Ⅰ)因为椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴的左端点为A(﹣2,0),
    所以,得,
    所以椭圆C的方程:;
    (Ⅱ)证明:椭圆右焦点坐标为(1,0),由题直线斜率不为零,设直线l方程为x=my+1,
    设M(x1,y1),N(x2,y2),
    由题,联立方程组,消去x得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
    所以,
    直线,得,
    同理,直线,得,
    设x轴上一点P(t,0),则,同理得:,
    所以,
    因为(x1+2)(x2+2)=(my1+3)(my2+3),
    所以,
    解得:t﹣4=±3,即t=1或t=7,
    所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点,定点分别为(1,0),(7,0).
    5.(2023•东城区一模)已知椭圆E:=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率e=.
    (Ⅰ)求椭圆E的方程;
    (Ⅱ)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.
    设椭圆的左顶点为D,求的值.
    【答案】见试题解答内容
    【解答】解:(Ⅰ)由题设得,解得a=,b=1,c=,
    所以椭圆的方程为+y2=1.
    (Ⅱ)直线BC的方程为y﹣1=k(x+),
    联立,得(3k2+1)x2+(6k2+6k)x+9k2+6k=0,
    由Δ=(6k2+6k)2﹣4(3k2+1)(9k2+6k)>0,解得k<0,
    设B(x1,y1),C(x2,y2),
    所以x1+x2=﹣,x1x2=,
    直线AB的方程为y=x+1,
    令y=0得M点的横坐标为xM=﹣=﹣,
    同理可得N点的横坐标为xN=﹣=﹣,
    所以xM+xN=﹣(+)=﹣•
    =﹣•
    =﹣•=﹣2,
    因为点D的坐标为(﹣,0),
    所以D为线段MN的中点,
    所以=.
    6.(2023•西城区一模)已知椭圆C:x2+2y2=2,点A,B在椭圆C上,且OA⊥OB(O为原点).设AB的中点为M,射线OM交椭圆C于点N.
    (Ⅰ)当直线AB与x轴垂直时,求直线AB的方程;
    (Ⅱ)求的取值范围.
    【答案】(Ⅰ)x=±;
    (Ⅱ)∈[,].
    【解答】解:(Ⅰ)由题意设直线AB的方程为x=t,设A(t,y1),B(t,﹣y1),
    因为OA⊥OB,由同样的对称性可知t=y1,即A(t,t),
    代入椭圆的方程:t2+2t2=2,解得t=±,
    即直线AB的方程为:x=±;
    (Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,则AB的中点M(±,0),
    若M(,0),由题意可得N(,0),这时==;
    由椭圆的对称性,当M(﹣,0)时,=;
    当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,k≠0,
    设A(x1,y1),B(x2,y2),
    联立,整理可得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
    Δ=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0,可得m2<1+2k2,
    且x1+x2=﹣,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,
    y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=+km•+m2=,
    因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,
    即+=0,可得3m2﹣2k2=2,
    且M(﹣,),k≠0,|OM|==,
    设线OM的方程为y=﹣x,
    代入椭圆的方程可得x2+x2=2,解得x2=,y2=•=,
    所以|ON|==,
    所以===•<,当k→0时,→,
    当k=0时,m2=,可得m=±,即M(0,±),
    当M(0,)时,则射线OM的方程为:x=0,可得N(0,1),
    所以==,
    由椭圆的对称性可知当M(0,﹣)时,=,
    综上所述:∈[,].
    7.(2023•朝阳区一模)已知椭圆E:=1(0<n<4)经过点(,1).
    (Ⅰ)求椭圆E的方程及离心率;
    (Ⅱ)设椭圆E的左顶点为A,直线l:x=my+1与E相交于M,N两点,直线AM与直线x=4相交于点Q.问:直线NQ是否经过x轴上的定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,说明理由.
    【答案】(Ⅰ)椭圆方程为,离心率e=;
    (Ⅱ)直线NQ经过x轴上的定点(2,0),证明过程见解析.
    【解答】解:(Ⅰ)由题意,,即n=2,
    ∴椭圆方程为,则a=2,b=,c=,
    椭圆的离心率e=;
    (Ⅱ)直线NQ经过x轴上的定点(2,0),理由如下:
    联立,得(m2+2)y2+2my﹣3=0.
    Δ=4m2+12(m2+2)=16m2+24>0,
    设M(x1,y1),N(x2,y2),则,,
    AM:,令x=4,可得Q(4,),
    ∴,且kNQ≠0,
    ∴NQ:,
    令y=0,可得x==
    ==
    ==.
    ∴直线NQ经过x轴上的定点(2,0).
    8.(2023•河西区二模)已知椭圆过点B(0,1),且离心率为.
    (1)求椭圆E的标准方程;
    (2)若直线l与椭圆E相切,过点M(1,0)作直线l的垂线,垂足为N,O为坐标原点,证明:|ON|为定值.
    【答案】(1);
    (2).
    【解答】解:(1)因为椭圆过点B(0,1),所以b=1,
    又,a2=b2+c2,所以,得到,
    所以椭圆E的标准方程为;
    证明:(2)当直线斜率l存在且不为0时,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),
    联立直线l和椭圆E的方程得,消去y并整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
    因为直线l与椭圆E有且只有一个公共点,所以方程有两个相等的根,Δ=16k2m2﹣4(2k2+1)(2m2﹣2)=0,
    化简整理得m2=2k2+1,
    因为直线MN与l垂直,所以直线MN的方程为,
    联立得,解得,∴,
    所以,
    把m2=2k2+1代入上式得,,所以,为定值;
    当直线l斜率为0时,直线l:y=±1,过点M(1,0)作直线l的垂线,则垂线方程为x=1,
    此时N(1,1)或N(1,﹣1),,为定值;
    当直线l斜率不存在时,直线,过点M(1,0)作直线l的垂线,则垂线方程为y=0,
    此时或,,为定值;
    综上所述,,为定值.
    9.(2023•宜春模拟)已知椭圆C:过点,且离心率为.
    (Ⅰ)求椭圆C的方程;
    (Ⅱ)过点P(﹣1,1)且互相垂直的直线l1,l2分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.求的取值范围.
    【答案】(Ⅰ)+=1;
    (Ⅱ)[,].
    【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,解得a2=4,b2=3,
    所以椭圆的方程为:+=1;
    (Ⅱ)法(i)设直线l1的参数方程为(t为参数,α为直线l1的倾斜角),
    将直线l1的方程代入椭圆的方程可得:3(﹣1+tcosα)2+4(1+tsinα)2=12,
    整理可得:(3cos2α+4sin2α)t2+(8tsinα﹣6tcosα)t﹣5=0,设t1,t2分别为M,N的参数,
    可得t1t2=,所以|PM||PN|=|t1t2|=,
    因为l1⊥l2,所以直线l2的参数方程为,即(t为参数),
    代入椭圆的方程可得(3sin2α+4cos2α)t2+(8cosα+6sinα)t﹣5=0,
    设t3,t4为S,T的参数,则t3t4=,
    所以|PS||PT|=|t3t4|=,
    所以=,
    当α=时,则=,
    当α≠时,则===+∈(,],
    综上所述:∈[,].
    法(ii)当直线l1的斜率不存在时,则l2的斜率为0,
    可得直线l1的方程为x=﹣1,代入椭圆的方程可得y2=3(1﹣)=,解得y=±,设M(﹣1,),N(﹣1,﹣),
    这时|PM|•|PN|=•=,
    直线l2的方程为y=1,代入椭圆的方程可得x2=4(1﹣)=,解得x=±,设S(﹣,1),T(,1),
    这时|PS|•|PT|=|﹣1+|•|﹣1﹣|=|1﹣|=,
    这时==;
    同理可得当直线l2的斜率不存在时,则l1的斜率为0时,
    ==;
    (ii)当两条直线的斜率存在且不为0时,
    设直线l1的方程为y=kx+t,点P(﹣1,1)在直线上,则1=﹣k+t,即t=k+1,
    联立,整理可得:(3+4k2)x2+8ktx+4t2﹣12=0,
    P在椭圆内部,所以Δ>0,x1+x2=﹣,x1x2=,
    则|PM|==•|x1+1|,
    同理可得|PN|=•|x2+1|,
    所以|PM|•|PN|=•|x1+1|••|x2+1|=(1+k2)•|x1x2+x1+x2+1|=(1+k2)•|﹣+1|,t=k+1,
    设S(x3,y3),T(x4,y4),
    同理可得x3+x4==,x3x4==,
    |PS|==|x3+1|•,|PT|=|x4+1|•,
    所以==×=+<+=,
    综上所述的取值范围为[,].
    10.(2023•丰台区一模)已知椭圆的一个顶点为A(0,1),焦距为2.
    (1)求椭圆E的方程;
    (2)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于B,C两点,过点B,C分别作直线l:x=t的垂线(点B,C在直线l的两侧).垂足分别为M,N,记△BMP,△MNP,△CNP的面积分别为S1,S2,S3,试问:是否存在常数t,使得S1,,S3总成等比数列?若存在,求出t的值.若不存在,请说明理由.
    【答案】(1);
    (2)存在t=1,使得S1,,S3总成等比数列.
    【解答】解:(1)根据已知可得b=1,2c=2,
    所以b=1,c=1,a2=b2+c2=2,
    所以椭圆E的方程为;
    (2)由已知得,BC的斜率存在,且B,C在x轴的同侧,
    设直线BC的方程为y=k(x﹣2),B(x1,y1),C(x2,y2),不妨设x1<x2,
    则y1y2>0,x1<t<x2,
    由得(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,
    所以,
    因为,
    所以====,===,
    要使S1,,S3总成等比数列,则应有﹣t2+2=(t﹣2)2解得t=1,
    所以存在t=1,使得S1,,S3总成等比数列.
    11.(2023•平谷区一模)已知椭圆经过两点,设过点P(﹣2,1)的直线椭圆交E于M,N两点,过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T,点H满足.
    (1)求椭圆E的方程:
    (2)证明:直线HN过定点.
    【答案】(1)+=1;
    (2)证明见解答.
    【解答】解:(1)设E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n),
    将两点代入得,
    解得m=,n=,
    故E的方程为+=1;
    (2)证明:由可得线段AB:y=(x+2)①,
    ①若过点 P(﹣2,1)的直线过原点,直线y=﹣.代入+=1,
    可得M(﹣,),N((,﹣),代入y=(x+2),可得T(﹣,(﹣+2)),得到H(﹣,﹣+6),
    求得 HN 方程:y=(x+2),过点 (﹣2,0).
    ②分析可得过P(﹣2,1)的直线的斜率存在,设kx﹣y+2k+1=0,M(x1,y1),N(x2,y2),
    联立,得(4k2+3)x2+8k(1+2k)x+4(4k2+4k﹣2)=0,
    ∴x1+x2=﹣,x1x2=,
    ∴y1+y2=k(x1+x2)+4k+2=,y1y2=(kx1+2k+1)(kx2+2k+1)=k2x1x2+(2k2+k)x1+x2)+(2k+1)2=(*),
    x1y2+x2y1=x1(kx2+2k+1)+x2(kx1+2k+1)
    =2kx1x2+(2k+1)(x1+x2)=,
    ∵点H满足.∴T为MH的中点,
    联立,可得T(x1,(x1+2)).H(x1,3(x1+2)﹣y1),
    可求得此时HN:y﹣y2=(x﹣x2),
    将(﹣2,0)代入整理得﹣6(x1+x2)+2(y1+y2)+x1y2+x2y1﹣3x1x2﹣12=0,
    将(*)代入,得96k2+48k+24k+12﹣24k﹣48k2﹣48k+24﹣48k2﹣36=0,
    显然成立.
    综上,可得直线HN过定点(﹣2,0).
    12.(2023•顺义区一模)已知椭圆经过点,离心率为.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)设直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点,O为坐标原点.若以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积是定值.
    【答案】(1)椭圆方程为;
    (2)证明见解析.
    【解答】解:(1)由题意可得,解得a2=2,b2=1.
    ∴椭圆方程为;
    (2)证明:联立,得(2k2+1)x2+4ktx+2(t2﹣1)=0.
    ∴Δ=(4kt)2﹣8(2k2+1)(t2﹣1)=8(2k2+1﹣t2)>0.
    设A(x1,y1),B(x2,y2),
    则x1+x2=,x1x2=,
    ∴y1+y2=k(x1+x2)+2t=,
    ∵四边形OAPB是平行四边形,
    ∴=+=(x1+x2,y1+y2)=(,),
    则P(,),
    又∵点P在椭圆上,∴()2+2()2=2,
    即4t2=2k2+1,
    ∵|AB|===,
    又点O到直线l的距离d=,
    ∴平行四边形OAPB的面积S=2S△OAB=|AB|•d==,
    即平行四边形OAPB的面积为定值.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/7/12 16:43:39;用户:19105419585;邮箱:19105419585;学号:43689695

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