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2024年新高考数学一轮复习讲义 专题10 对数与对数函数
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这是一份2024年新高考数学一轮复习讲义 专题10 对数与对数函数，文件包含专题10对数与对数函数解析版docx、专题10对数与对数函数原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
专题10 对数与对数函数
【命题方向目录】
题型一：对数运算
题型二：对数函数的定义及图像
题型三：对数方程、对数不等式
题型四：对数函数的性质（定义域、单调性、最值（值域））
题型五：对数函数中的恒成立问题
题型六：对数函数的综合问题
题型七：比较指数式、对数式大小
题型八：利用反函数性质解方程、不等式
【2024年高考预测】
2024年高考仍将重点考查对数与对数函数这两个考点，考查利用对数运算、及利用指对数函数图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．
【知识点总结】
1、对数式的运算
（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
（2）常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
（3） 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②（其中且，）；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
3、反函数的定义
设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成，的形式．函数，与函数，为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域．
【方法技巧与总结】
1、，．
2、如图给出4个对数函数的图象
则，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3、对数函数 （且）的图象恒过点．
4、反函数的性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典例例题】
题型一：对数运算
例1．（2023·河南·校联考模拟预测）若，，则____________.
【答案】1
【解析】因为，，所以，，
则，所以.
故答案为：
例2．（2023·四川凉山·三模）若，则______．
【答案】/
【解析】由题意可得：，故.
故答案为：
例3．（2023·天津南开·统考二模）计算的值为______.
【答案】8
【解析】原式
.
故答案为：8.
变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）若，则______．
【答案】10
【解析】因为，
所以，
所以，
则，
所以．
故答案为：10.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【解析】因为，所以，解得或，
因为，所以，则，即，
因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：5.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）若，，用a，b表示____________
【答案】
【解析】因为，所以，
.
故答案为：.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若，，则___________．
【答案】1
【解析】因为，所以
所以.
故答案为：1
【通性通解总结】
解决对数运算问题的常用方法
（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
（2）将同底对数的和、差、倍合并．
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
题型二：对数函数的定义及图像
例4．（2023·全国·高三专题练习）写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义域上是增函数，故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数的反函数图像经过点，则的值为___________.
【答案】
【解析】本题首先可根据过点求出，然后根据两函数互为反函数得出，最后代入即可得出结果.因为函数图像经过点，
所以，解得，，
因为函数与函数互为反函数，
所以，，
故答案为：.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，即为，即有ab＝1；
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足，
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD，
在同一坐标系中的图像只能是B，
故选：B．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，
故选：C.
变式6．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
则，
当且仅当，时，
的最小值为，
故选:A．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且，则该函数图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数经过定点
所以函数且的图象经过定点.
故选：B
变式8．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
变式9．（2023·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）已知函数，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，显然，
则，即，
则，则，，即，解得，
，设，，
令，解得，
根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减，
故其值域为.
故选：C.
【通性通解总结】
研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法．图像问题是数形结合．它为研究函数问题提供了思维方向．
题型三：对数方程、对数不等式
例7．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）不等式的解集是 _____.
【答案】
【解析】因为函数在上为增函数，由可得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
例8．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程的解集为________．
【答案】
【解析】因为,
则，解得，
所以方程的解集为.
故答案为：
例9．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】当时，，解得，
当时，，即，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
变式10．（2023·上海·高三校联考阶段练习）不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】,
所以原不等式的解集为．
故答案为：
变式11．（2023·上海杨浦·统考一模）方程的解是________．
【答案】
【解析】由得：，
即，解得：.
故答案为：.
变式12．（2023·上海·高三专题练习）方程的解为___________．
【答案】
【解析】依题意，
，
，
，
，
即或，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去.
所以.
故答案为：
变式13．（2023·全国·高三专题练习）方程的实数解为_________.
【答案】
【解析】令（），则，
即舍去，即，
故答案为：
【通性通解总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等．对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正．
题型四：对数函数的性质（定义域、单调性、最值（值域））
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的定义域是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】要使有意义，则，
即，解得，所以函数的定义域为，
要使有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若，则，
因为，
所以，
因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m，
所以.
故选：C.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的最小值为，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
【解析】因为当时，，的最小值为，
所以函数在上取最小值，
所以，解得.
故选：B
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为，
所以，所以的最小值为1，
故选：B
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于任意，存在有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于任意，存在有º，，.
由，函数1)，可得
，，
令，
设，
则，
，
故选：A．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于，且在上递增，
，
所以的值域为.
故选：B
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以的定义域为，
解得，所以该函数的定义域为；
所以，
所以
，所以，
当时，，当时，，
所以；
所以函数的值域是．
故选：B．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
变式21．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得，
在上是增函数；
即
，是方程的两个根，
设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；
解得：，
满足条件的范围是.
故选：A
变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的单调递区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为
令，又在定义域内为减函数，
故只需求函数在定义域上的单调递减区间，
又因为函数在上单调递减，
的单调递区间为.
故选：B
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，在R上是减函数，
则有，解得.
故选：D.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
【通性通解总结】
研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法．性质问题是数形结合．它为研究函数问题提供了思维方向．
题型五：对数函数中的恒成立问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意可知只需求出的最大值，再解不等式即可，当时，时，由指数，对数函数图像可
知，，，所以，则在上恒成立不符，舍去；
当时，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递
增，即当时，，则，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【解析】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】画出函数的图像，如图所示：
关于的不等式在上恒成立，等价于函数的图像恒在直线的图像的下方，
又直线恒过定点
当直线与相切时，设切点，
求导，可得，
解得：，则直线斜率为，即
当直线与相切时，此时由
整理得：，
令，解得或（舍去）
所以由图像可知，实数的取值范围是
故答案为：
变式25．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，由，可得，则，
又由，此时不等式不成立，不合题意；
当时，函数在上单调递减，
此时函数在上单调递增，
又由在上单调递增，
要使得不等式在内恒成立，
可得，解得.
故选：A.
【通性通解总结】
（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题．
（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键．
题型六：对数函数的综合问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【解析】因为函数的值域为R，
所以取得一切正数，
即方程有实数解，
得，解得或；
又函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，且在上恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围为或.
故选：B
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得：
∴5．
故选：B
例18．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：，，
，，，，
，即，
在上单调递增，，
；
设，则，
与在上单调递增，在上单调递增，
，即.
故选：A.
变式26．（2023·广西·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，得的图象关于直线对称，
且，由得，
所以，即，则，
所以函数的一个周期为6，则，
当时，，又的图象关于直线对称，
所以，
由得，的图象关于点对称，
又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又，
所以，
所以.
故选：A
变式27．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象，
再经过向右平移1个单位，可得的图象，
最终经过翻折变换，可得的图象，如下图：
则函数的图象关于直线对称，
令
因为函数最小的零点为，且，
故当时，方程有4个零点，
所以，要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为,则，或，
所以，关于方程的两个实数根为
所以，由韦达定理得，
故选：B
变式28．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，当时函数单调递增，
当时函数单调递减，
要使函数存在最大值，则最大值一定是在处取得，
即，此时，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B
变式29．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则为增函数，
因为，
所以，
所以，所以，所以A正确，B错误；
，当时，，此时，有，当时，，此时，有，所以C、D错误．
故选：A．
变式30．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
（当且仅当，也即时取等号）
∴，
故选：C.
题型七：比较指数式、对数式大小
例19．（2023·北京通州·统考三模）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，
所以，化简得；
因为在上单调递减，且，
所以，化简得；
因为在上单调递增，且，
所以，化简得；
综上，可知.
故选：A
例20．（2023·北京密云·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以.
故选：B
例21．（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由单调递减可知：.
由单调递增可知：，所以，即，且.
由单调递减可知：，所以.
故选：D
变式31．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，则．
∵，
∴，
，，则，
∵，∴，则，故．
故选：C．
【通性通解总结】
①单调性法．
②中间量法．
③分类讨论法．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
题型八：利用反函数性质解方程、不等式
例22．（2023·全国·高三专题练习）对于，不等式（，且）恒成立，则a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】因为，对恒成立，
所以，，
所以，
所以，
所以，
令，则
因为在上为增函数，
所以，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，即，
所以，所以，
所以a的取值范围是
故答案为：
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】先将不等式变形为，令，，由与互为反函数得只需要即可，即，然后用导数求出左边的最小值即可.显然，由，得，则令，
，因为与互为反函数，
所以只需要即可，即，
令，则，
所以可得在上单调递减，在上单调递增
所以，
即.
故答案为：
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知是方程的解，是方程的解，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在中，令，则有，
因为与互为反函数，图象关于对称.
依题意可知，就是直线与曲线，交点的横坐标，
所以，所以，即.
故选：C.
变式32．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）定义在上的函数的反函数为，且对任意的都有，若,则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】因为对任意的都有，
所以关于点成中心对称，
所以的反函数关于点成中心对称，
即
因为
所以，
所以，
故选D项.
变式33．（2023·陕西汉中·统考二模）设分别是函数和的零点(其中)，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，得即，所以是图像与图像的交点，且显然，
令，得，即，所以是图像与图像的交点，
因为与关于对称，所以两根也关于对称，所以有，
所以，令在上单调递减，所以
故选：C
变式34．（2023·全国·高三专题练习）对于恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得恒成立，
因为函数互为反函数，
所以原命题等价于恒成立，
即恒成立，
令，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以.
所以.
故选：D
变式35．（2023·河北廊坊·高三校考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，
∵与 互为反函数，
∴与的图象关于对称，
∴ 与垂直，且交点为，则为、的中点，
∴， 故A项正确；
B项：∵
∴ ，故B项正确；
C项：由图知：，， ，
故C项正确；
D项：方法1：由排除法可知D项错误.
方法2：设 ， ，
∵当时， ，又∵ ，∴，
∴ ①
∵当时，，又∵，∴，
∴ ②
∴由①②知：
∵当时，，
由上式知，∴，∴，③
∵当时，，
由上式知，∴， ④
∴由③④知：
∴，故D项错误.
故选：D.
变式36．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）已知，分别是方程，的根，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，
因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以，得，
故选：B
【通性通解总结】
一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为，所以.
判断四个选项，只有B正确.
故选：B.
2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
【答案】D
【解析】最初的质量是500g，经过一年后，质量变为，
经过2年后，质量变为，
经过t年后，质量变为，
令，则，
则，.
则这种元素的半衰期年.
故选：D.
3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为且，所以，且，所以，且，
且有，，所以，，，
所以，，则，
又因为且，解得.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，与的图象关于原点对称，则（ ）
A． B．
C．2 D．0
【答案】D
【解析】设，则，
所以，即，
设是图象上任一点，它关于原点的对称点在函数图象上，所以，即，所以，
．
故选：D．
5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足，即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
6．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
又，所以.
故选：B
7．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程和依次化为：和，
因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标，
而函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，因此直线与曲线和的交点关于直线对称，
于是，函数，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）
A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]
【答案】A
【解析】由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）
其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，
转化为 “存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据，化简整理得ex=x2﹣x+a
记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】AB选项，易知，，
因为，所以，A错误，B正确；
CD选项，因为，，所以，D正确，
故，C正确.
故选：BCD
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点，
作出的图象与的图象，如下：
则当时，与有2个交点，
当时，与有且只有1个交点，
故BCD符合条件
故选：BCD
11．（2023·全国·高三专题练习）下列正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，且，则
【答案】ABD
【解析】A选项： ，故A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：，，故C错误；
D选项：，则，， 同理，，则，解得，故D正确.
故选：ABD
12．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
【答案】AC
【解析】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，
即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；
对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，
此时对称轴为直线，故C正确；
对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.
故选：AC
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域是，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】由题意，函数的值域是，可得，解得，
所以函数的定义域为，
又由函数满足，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，若对使得，则实数的取值范围是________________.
【答案】
【解析】当时，单调递增，根据复合函数的单调性可得此时也单调递增，
所以；
当时，单调递减，所以.
因为对使得，所以，
即，解得.
故答案为：
15．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知，则实数的取值范围___________.
【答案】
【解析】，即，解得；
，即，
当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
综上所述，.
故答案为：.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）若，则实数由小到大排列为__________<__________<__________.
【答案】 b c a
【解析】依题意，，而，
令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，而，于是，
又，所以.
故答案为：b；c；a
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）解下列方程：；
【解析】由，可得，
所以，
所以或，
由，可得，故，
由，可得，即，所以，即，
所以或；
18．（2023·全国·高三专题练习）计算求值
(1)；
(2)；
(3)已知，求的值．
【解析】（1）；
（2）
；
（3），，
则，；
所以．
19．（2023·高三课时练习）已知函数（）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是严格增函数；
(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.
【解析】（1）令，解得，所以.
对任意，，
所以函数是奇函数.
（2）设，且，则.
因为，，，
所以，得.
又，于是，即，
所以函数在上是严格增函数.
（3）由（2）知，函数在上是严格增函数.
因为时，的值域是，
所以且在上的值域是，
因为在上单调递减，
所以，且，
所以，由，得，解得或（舍去），
所以，.
20．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知对数函数的图像过点求当，时的函数值；
（2）已知定义在上的指数函数的图象过点已知，求的取值范围.
【解析】（1）将代入得，解得，
所以对数函数为，
当时，；当时，；
（2）设指数函数，
将代入得，解得，
所以，
因为是定义在上的单调递减函数，且，
所以，解得，
所以的取值范围为
21．（2023·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在上单调递减，设实数a的取值集合为M．
(1)求；
(2)若函数在区间M上单调递增，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为，所以．
因为函数在上单调递减，
所以对成立，
所以对成立，
又
所以，
所以实数a的取值集合为；
（2）函数在区间上单调递增，
所以函数为上的增函数， 且当时，恒成立，
由函数性质可得
所以0
专题10 对数与对数函数
【命题方向目录】
题型一：对数运算
题型二：对数函数的定义及图像
题型三：对数方程、对数不等式
题型四：对数函数的性质（定义域、单调性、最值（值域））
题型五：对数函数中的恒成立问题
题型六：对数函数的综合问题
题型七：比较指数式、对数式大小
题型八：利用反函数性质解方程、不等式
【2024年高考预测】
2024年高考仍将重点考查对数与对数函数这两个考点，考查利用对数运算、及利用指对数函数图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．
【知识点总结】
1、对数式的运算
（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
（2）常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
（3） 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②（其中且，）；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
3、反函数的定义
设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成，的形式．函数，与函数，为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域．
【方法技巧与总结】
1、，．
2、如图给出4个对数函数的图象
则，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3、对数函数 （且）的图象恒过点．
4、反函数的性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典例例题】
题型一：对数运算
例1．（2023·河南·校联考模拟预测）若，，则____________.
【答案】1
【解析】因为，，所以，，
则，所以.
故答案为：
例2．（2023·四川凉山·三模）若，则______．
【答案】/
【解析】由题意可得：，故.
故答案为：
例3．（2023·天津南开·统考二模）计算的值为______.
【答案】8
【解析】原式
.
故答案为：8.
变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）若，则______．
【答案】10
【解析】因为，
所以，
所以，
则，
所以．
故答案为：10.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【解析】因为，所以，解得或，
因为，所以，则，即，
因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：5.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）若，，用a，b表示____________
【答案】
【解析】因为，所以，
.
故答案为：.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若，，则___________．
【答案】1
【解析】因为，所以
所以.
故答案为：1
【通性通解总结】
解决对数运算问题的常用方法
（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
（2）将同底对数的和、差、倍合并．
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
题型二：对数函数的定义及图像
例4．（2023·全国·高三专题练习）写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义域上是增函数，故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数的反函数图像经过点，则的值为___________.
【答案】
【解析】本题首先可根据过点求出，然后根据两函数互为反函数得出，最后代入即可得出结果.因为函数图像经过点，
所以，解得，，
因为函数与函数互为反函数，
所以，，
故答案为：.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，即为，即有ab＝1；
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足，
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD，
在同一坐标系中的图像只能是B，
故选：B．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，
故选：C.
变式6．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
则，
当且仅当，时，
的最小值为，
故选:A．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且，则该函数图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数经过定点
所以函数且的图象经过定点.
故选：B
变式8．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
变式9．（2023·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）已知函数，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，显然，
则，即，
则，则，，即，解得，
，设，，
令，解得，
根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减，
故其值域为.
故选：C.
【通性通解总结】
研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法．图像问题是数形结合．它为研究函数问题提供了思维方向．
题型三：对数方程、对数不等式
例7．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）不等式的解集是 _____.
【答案】
【解析】因为函数在上为增函数，由可得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
例8．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程的解集为________．
【答案】
【解析】因为,
则，解得，
所以方程的解集为.
故答案为：
例9．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】当时，，解得，
当时，，即，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
变式10．（2023·上海·高三校联考阶段练习）不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】,
所以原不等式的解集为．
故答案为：
变式11．（2023·上海杨浦·统考一模）方程的解是________．
【答案】
【解析】由得：，
即，解得：.
故答案为：.
变式12．（2023·上海·高三专题练习）方程的解为___________．
【答案】
【解析】依题意，
，
，
，
，
即或，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去.
所以.
故答案为：
变式13．（2023·全国·高三专题练习）方程的实数解为_________.
【答案】
【解析】令（），则，
即舍去，即，
故答案为：
【通性通解总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等．对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正．
题型四：对数函数的性质（定义域、单调性、最值（值域））
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的定义域是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】要使有意义，则，
即，解得，所以函数的定义域为，
要使有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若，则，
因为，
所以，
因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m，
所以.
故选：C.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的最小值为，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
【解析】因为当时，，的最小值为，
所以函数在上取最小值，
所以，解得.
故选：B
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为，
所以，所以的最小值为1，
故选：B
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于任意，存在有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于任意，存在有º，，.
由，函数1)，可得
，，
令，
设，
则，
，
故选：A．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于，且在上递增，
，
所以的值域为.
故选：B
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以的定义域为，
解得，所以该函数的定义域为；
所以，
所以
，所以，
当时，，当时，，
所以；
所以函数的值域是．
故选：B．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
变式21．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得，
在上是增函数；
即
，是方程的两个根，
设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；
解得：，
满足条件的范围是.
故选：A
变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的单调递区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为
令，又在定义域内为减函数，
故只需求函数在定义域上的单调递减区间，
又因为函数在上单调递减，
的单调递区间为.
故选：B
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，在R上是减函数，
则有，解得.
故选：D.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
【通性通解总结】
研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法．性质问题是数形结合．它为研究函数问题提供了思维方向．
题型五：对数函数中的恒成立问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意可知只需求出的最大值，再解不等式即可，当时，时，由指数，对数函数图像可
知，，，所以，则在上恒成立不符，舍去；
当时，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递
增，即当时，，则，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【解析】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】画出函数的图像，如图所示：
关于的不等式在上恒成立，等价于函数的图像恒在直线的图像的下方，
又直线恒过定点
当直线与相切时，设切点，
求导，可得，
解得：，则直线斜率为，即
当直线与相切时，此时由
整理得：，
令，解得或（舍去）
所以由图像可知，实数的取值范围是
故答案为：
变式25．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，由，可得，则，
又由，此时不等式不成立，不合题意；
当时，函数在上单调递减，
此时函数在上单调递增，
又由在上单调递增，
要使得不等式在内恒成立，
可得，解得.
故选：A.
【通性通解总结】
（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题．
（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键．
题型六：对数函数的综合问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【解析】因为函数的值域为R，
所以取得一切正数，
即方程有实数解，
得，解得或；
又函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，且在上恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围为或.
故选：B
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得：
∴5．
故选：B
例18．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：，，
，，，，
，即，
在上单调递增，，
；
设，则，
与在上单调递增，在上单调递增，
，即.
故选：A.
变式26．（2023·广西·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，得的图象关于直线对称，
且，由得，
所以，即，则，
所以函数的一个周期为6，则，
当时，，又的图象关于直线对称，
所以，
由得，的图象关于点对称，
又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又，
所以，
所以.
故选：A
变式27．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象，
再经过向右平移1个单位，可得的图象，
最终经过翻折变换，可得的图象，如下图：
则函数的图象关于直线对称，
令
因为函数最小的零点为，且，
故当时，方程有4个零点，
所以，要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为,则，或，
所以，关于方程的两个实数根为
所以，由韦达定理得，
故选：B
变式28．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，当时函数单调递增，
当时函数单调递减，
要使函数存在最大值，则最大值一定是在处取得，
即，此时，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B
变式29．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则为增函数，
因为，
所以，
所以，所以，所以A正确，B错误；
，当时，，此时，有，当时，，此时，有，所以C、D错误．
故选：A．
变式30．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
（当且仅当，也即时取等号）
∴，
故选：C.
题型七：比较指数式、对数式大小
例19．（2023·北京通州·统考三模）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，
所以，化简得；
因为在上单调递减，且，
所以，化简得；
因为在上单调递增，且，
所以，化简得；
综上，可知.
故选：A
例20．（2023·北京密云·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以.
故选：B
例21．（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由单调递减可知：.
由单调递增可知：，所以，即，且.
由单调递减可知：，所以.
故选：D
变式31．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，则．
∵，
∴，
，，则，
∵，∴，则，故．
故选：C．
【通性通解总结】
①单调性法．
②中间量法．
③分类讨论法．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
题型八：利用反函数性质解方程、不等式
例22．（2023·全国·高三专题练习）对于，不等式（，且）恒成立，则a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】因为，对恒成立，
所以，，
所以，
所以，
所以，
令，则
因为在上为增函数，
所以，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，即，
所以，所以，
所以a的取值范围是
故答案为：
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】先将不等式变形为，令，，由与互为反函数得只需要即可，即，然后用导数求出左边的最小值即可.显然，由，得，则令，
，因为与互为反函数，
所以只需要即可，即，
令，则，
所以可得在上单调递减，在上单调递增
所以，
即.
故答案为：
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知是方程的解，是方程的解，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在中，令，则有，
因为与互为反函数，图象关于对称.
依题意可知，就是直线与曲线，交点的横坐标，
所以，所以，即.
故选：C.
变式32．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）定义在上的函数的反函数为，且对任意的都有，若,则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】因为对任意的都有，
所以关于点成中心对称，
所以的反函数关于点成中心对称，
即
因为
所以，
所以，
故选D项.
变式33．（2023·陕西汉中·统考二模）设分别是函数和的零点(其中)，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，得即，所以是图像与图像的交点，且显然，
令，得，即，所以是图像与图像的交点，
因为与关于对称，所以两根也关于对称，所以有，
所以，令在上单调递减，所以
故选：C
变式34．（2023·全国·高三专题练习）对于恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得恒成立，
因为函数互为反函数，
所以原命题等价于恒成立，
即恒成立，
令，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以.
所以.
故选：D
变式35．（2023·河北廊坊·高三校考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，
∵与 互为反函数，
∴与的图象关于对称，
∴ 与垂直，且交点为，则为、的中点，
∴， 故A项正确；
B项：∵
∴ ，故B项正确；
C项：由图知：，， ，
故C项正确；
D项：方法1：由排除法可知D项错误.
方法2：设 ， ，
∵当时， ，又∵ ，∴，
∴ ①
∵当时，，又∵，∴，
∴ ②
∴由①②知：
∵当时，，
由上式知，∴，∴，③
∵当时，，
由上式知，∴， ④
∴由③④知：
∴，故D项错误.
故选：D.
变式36．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）已知，分别是方程，的根，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，
因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以，得，
故选：B
【通性通解总结】
一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为，所以.
判断四个选项，只有B正确.
故选：B.
2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
【答案】D
【解析】最初的质量是500g，经过一年后，质量变为，
经过2年后，质量变为，
经过t年后，质量变为，
令，则，
则，.
则这种元素的半衰期年.
故选：D.
3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为且，所以，且，所以，且，
且有，，所以，，，
所以，，则，
又因为且，解得.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，与的图象关于原点对称，则（ ）
A． B．
C．2 D．0
【答案】D
【解析】设，则，
所以，即，
设是图象上任一点，它关于原点的对称点在函数图象上，所以，即，所以，
．
故选：D．
5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足，即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
6．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
又，所以.
故选：B
7．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程和依次化为：和，
因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标，
而函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，因此直线与曲线和的交点关于直线对称，
于是，函数，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）
A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]
【答案】A
【解析】由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）
其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，
转化为 “存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据，化简整理得ex=x2﹣x+a
记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】AB选项，易知，，
因为，所以，A错误，B正确；
CD选项，因为，，所以，D正确，
故，C正确.
故选：BCD
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点，
作出的图象与的图象，如下：
则当时，与有2个交点，
当时，与有且只有1个交点，
故BCD符合条件
故选：BCD
11．（2023·全国·高三专题练习）下列正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，且，则
【答案】ABD
【解析】A选项： ，故A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：，，故C错误；
D选项：，则，， 同理，，则，解得，故D正确.
故选：ABD
12．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
【答案】AC
【解析】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，
即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；
对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，
此时对称轴为直线，故C正确；
对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.
故选：AC
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域是，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】由题意，函数的值域是，可得，解得，
所以函数的定义域为，
又由函数满足，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，若对使得，则实数的取值范围是________________.
【答案】
【解析】当时，单调递增，根据复合函数的单调性可得此时也单调递增，
所以；
当时，单调递减，所以.
因为对使得，所以，
即，解得.
故答案为：
15．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知，则实数的取值范围___________.
【答案】
【解析】，即，解得；
，即，
当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
综上所述，.
故答案为：.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）若，则实数由小到大排列为__________<__________<__________.
【答案】 b c a
【解析】依题意，，而，
令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，而，于是，
又，所以.
故答案为：b；c；a
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）解下列方程：；
【解析】由，可得，
所以，
所以或，
由，可得，故，
由，可得，即，所以，即，
所以或；
18．（2023·全国·高三专题练习）计算求值
(1)；
(2)；
(3)已知，求的值．
【解析】（1）；
（2）
；
（3），，
则，；
所以．
19．（2023·高三课时练习）已知函数（）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是严格增函数；
(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.
【解析】（1）令，解得，所以.
对任意，，
所以函数是奇函数.
（2）设，且，则.
因为，，，
所以，得.
又，于是，即，
所以函数在上是严格增函数.
（3）由（2）知，函数在上是严格增函数.
因为时，的值域是，
所以且在上的值域是，
因为在上单调递减，
所以，且，
所以，由，得，解得或（舍去），
所以，.
20．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知对数函数的图像过点求当，时的函数值；
（2）已知定义在上的指数函数的图象过点已知，求的取值范围.
【解析】（1）将代入得，解得，
所以对数函数为，
当时，；当时，；
（2）设指数函数，
将代入得，解得，
所以，
因为是定义在上的单调递减函数，且，
所以，解得，
所以的取值范围为
21．（2023·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在上单调递减，设实数a的取值集合为M．
(1)求；
(2)若函数在区间M上单调递增，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为，所以．
因为函数在上单调递减，
所以对成立，
所以对成立，
又
所以，
所以实数a的取值集合为；
（2）函数在区间上单调递增，
所以函数为上的增函数， 且当时，恒成立，
由函数性质可得
所以0
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