2024年新高考数学一轮复习讲义 专题11 函数的图象

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专题11 函数的图象
【命题方向目录】
题型一：由解析式选图（识图）
题型二：由图象选表达式
题型三：表达式含参数的图象问题
题型四：函数图象应用题
题型五：函数图像的综合应用
命题点1　研究函数的性质
命题点2　函数图象在不等式中的应用
命题点3　求参数的取值范围
题型六：函数的图像的变换
【2024年高考预测】
2023年高考函数 图象部分仍以考查图像的变换和识别为重点，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题．
【知识点总结】
1、利用描点法作函数图象的方法步骤

2、利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换

（2）伸缩变换
：，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍．
：，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍．
（3）对称变换
：关于轴对称；：关于轴对称；：关于原点对称．
（4）翻折变换
：去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边；
：留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去．
【方法技巧与总结】
（1），则的图像关于对称．
（2）函数与的图象关于对称．
（3），则的图象关于对称．
（4）与的图象关于对称．
（5）与的图象关于对称．
（6）与的图象关于点中心对称．
【典例例题】
题型一：由解析式选图（识图）
例1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的部分图象大致形状是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
【答案】C
【解析】由，，定义域关于原点对称，
得，
则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除BD；
当时，，，，所以，
排除A.
故选：C.
例2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（    ）
A．      B．  
C．   D．  
【答案】C
【解析】令，
求导得
，
当时，由解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当和时，取极大值；当时，取极小值，
由于，
可得，当时，
结合图象，只有C选项满足．
故选：C．
例3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数的大致图象可能为（    ）
A．   B．  
C．    D．  
【答案】A
【解析】由题知，，，

是奇函数，故排除B；
，排除C；
，
，排除D，
故选：A
变式1．（2023·山东德州·三模）函数的图象大致是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
【答案】D
【解析】由函数，都可其定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，可排除A、B选项；
当时，；当时，；当时，，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得时，，可排除C选项.
故选：D.
变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）函数在上的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为,
且,
所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.
又,排除B.
故选:A.
变式3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）函数 在 上的大致图象为（    ）
A．   B．  
C．   D．  
【答案】B
【解析】由于函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数，故图象关于轴对称，
且，故此时可排除AD,当时，，
因此排除C，
故选：B
【通性通解总结】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
题型二：由图象选表达式
例4．（2023·山东·模拟预测）已知函数，，则如图所示图象对应的函数可能是（    ）
  
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为定义域为，且，
所以为奇函数，
又，所以定义域为，
且，
所以为偶函数，
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故A、B排除；
当时，则，故排除D.
故选：C
例5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知的图象如图，则的解析式可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数的图象可知函数的定义域为，
而选项B，的定义域为，由此即可排除选项；
函数图象关于原点对称，即为奇函数，
而选项A, ， ，
所以为偶函数，由此可排除选项A；
根据图象可知，而选项D, ，
, 由此可排除D，选项C满足图象特征.
故选：C.
例6．（2023·广东·高三专题练习）某个函数的大致图像如图所示，则该函数可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】4个选项函数定义域均为R，
对于A, ，故为奇函数，且
对于B, 故为奇函数，，
对于C, ,故为偶函数，
对于D，故为奇函数，，
由图知为奇函数，故排除C；由，排除A,由，排除D,
故选：B．
变式4．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数f(x)的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数图象分析可知，图象过点，排除C、D，
因为函数值不可能等于4，排除A.
故选：B.
变式5．（2023·天津和平·统考三模）函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，为偶函数，则图象关于轴对称，与已知图象不符，A错误；
对于B，当时，，与已知图象不符，B错误；
对于D，，不是奇函数，则图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误；
对于C，，，
为奇函数，图象关于原点对称；
为上的减函数，为上的增函数；
又，图象与已知图象符合，C正确.
故选：C.
变式6．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知y关于x的函数图象如图所示，则实数x，y满足的关系式可以为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以，即，
化为指数式，得，
其图象是将函数 的图象向右平移1个单位长度得到的，
即为题中所给图象，所以选项A正确；
对于选项B，取，则由，得，
与已知图象不符，所以选项B错误；
由，得，其图象是将函数的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：

与题中所给的图象不符，所以选项C错误；
由，得，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，
显然与题中图象不符，所以选项D错误，
故选：A.
【通性通解总结】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断对称性；
3、从周期性判断循环往复；
4、从单调性判断变化趋势；
5、从特征点排除错误选项．
题型三：表达式含参数的图象问题
例7．（2023·广东广州·广州六中校考三模）函数的图象如图所示，则（    ）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【解析】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，
所以得：，故C错误；
由图象可知，故D错误；
因为定义域不连续，所以有两个根可得，即异号，，即B错误，A正确.
故选：A
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的图象如图所示，则（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】法一：当时，
设，其中，则，另外，所以，故，解得：，又因为，所以，
故选：B.
法二：由，，从而，由于，所以，解得：，又从图象可以看出，即，从而，解得：，由于，故.
故选：B.
例9．（2023·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由为偶函数得到为偶函数，从而得到，再由得到，从而得到解析式，通过求导找到极大值点，代入计算即可.因为为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，
又，所以，由图象及，所以
解得，结合时，知
所以，因为和为偶函数，所以只需考虑
的情况，当时，，
当，即时，有极大值， 此时.
故选：B.
变式7．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知：，所以，
当时，函数无意义，由图知：，所以.
令，解得，由图知：，
又因为，所以.
综上：，，.
故选：A
变式8．（2023·浙江·高三浙江省江山中学校联考期中）函数的图象如图所示，则（    ）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【解析】因为函数图象关于轴对称，所以为偶函数，
所以，解得，
由图象可得，得，
由图象可得分母有解，所以有解，
所以，解得.
故选：A.
变式9．（多选题）（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由可知函数定义域为，
由图象可知 ，C正确；
因为 ，B正确；
令，由图象知，A错误；
由，D正确，
故选：.
【通性通解总结】
根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．
题型四：函数图象应用题
例10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ）

A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；
对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；
对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；
对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.
故选：BCD.
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.小明沿走时，与点的直线距离保持不变，
沿走时，随时间增加与点的距离越来越小，
沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.
故选：D.
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当点在上时：
当点在上时：
当点在上时：
由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数
故选：A
变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0